小专题：活用二级结论.docx

活用二级结论结论一奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的xD,都有f(x)+f(-x)R.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若OD,则f(0)=0.例1已知函数/(x)和g(x)均为奇函数，z(x)=qf(x)+bg(x)+2在区间(0,+8)上有最大值5,那么z(x)在(8,0)上的最小值为A.-5B.-3C.-1D.5【答案】C【解析】令尸(X)=MX)-2=qf(x)+6g(x),因为尸(X)为奇函数,vx6(05-KX)B1,(x)<5,F(x)=A(x)-23,又xe(-oos0)时)xe(02÷x)>F(-x)3=>F(x)-33二%(x)3+2=-1>故选C.【变式训练】X2+Sinx+2017X2+2017(11 .已知函数/X+-2.2 .已知函数/(x)=;(xR)的最大值为M,最小值为m,则M+m=.X+COSX+1结论二函数周期性问题已知定义在R上的函数f(),若对任意R,总存在非零常数T,使得f(+T)=f(),则称f()是周期函数,T为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:学*-+-科网(1)如果f(x+a)m-f(x)(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.1(2)如果f(x+a)=7(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a.例2【山东省德州市2019届高三期末联考】已知定义在R的奇函数f(%)满足人第+2)=-/(对，当0黑1时,f(x)=2,贝Ijf(2019)=()A.20192b.1C.0D.-1【答案】D【解析】根据题意，函数F(X)满足F(x+2)=-r(x),则有f(x+4)=-r(+2)=f3,即函数是周期为4的周期函数，则f(2019)=f(-1+2023)=f(-1),又由函数为奇函数，则F(-1)=-/(1)=-(1)2=-1；则f(2019)=-1；故选：D.学科网【变式训练】1. 2018山西太原第五中学模拟】已知定义域为R的奇函数/(x)满足3x)+(x)=O,且当X-,0jst,f(x)=Iog2(2x+7),贝U/(2017)=A.-Iog25B.2C.-2D.1og25f(¾=2.已知函数/是周期为2的奇函数，且0时，f(%)=%,则2.结论三函数的对称性已知函数f()是定义在R上的函数.+b(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线X二'对称,特别地,若f(a+x)=f(a-)恒成立,则y=f()的图象关于直线=a对称；(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点(W2，对称.特别地,若f(a+x)+f(a-)=2b恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.例32018四川省广元市统考】已知定义在A上的函数/(x)满足/(1+x)+/(1x)=2,g(%)=(-1)3+1,若函数/(X)图象与函数g(x)图象的交点为(X1,乂),(%2，%)，(42018，以2018)，则2018Z(%,+y)=()z=1A. 8072B.6054C.4036D.2018【答案】B【解析】由题意知，函数g()=(-1)+1的图象也关于点(1D对称.X18故>K=(为+巧018)+(为+¾o7)再009+再O1o)=IoO9x2=2018)NM=(J'1+?2018)÷(>2+1*17)hh(M009÷>1010)=1×2=201820182018所以N(Xi+yJ=Z%+工必=2×2018=4036.选C.211【变式训练】1.【2018安徽省六安市第一中学模拟】设函数/(x)是定义在A上的偶函数，且"x+2)="2),(历Y当2,0时，/(%)=-1,若在区间(2,6)内关于X的方程k)gx+2)=0(i>0,1)有且只有4个不同的根，则实数Q的取值范围是(B. (1,4)C.(1,8)D.(8,+)(-0)2.【2019年安徽省宿州市十三所重点中学】定义在R上的偶函数y=/(、)，其图像关于点2对称，且当1f(x)=-%+%0,1时，2,则/(切=()结论四反函数的图象与性质若函数y=f(x)是定义在非空数集D上的单调函数,则存在反函数y=f(x).特别地,y=a'与y=1ogax(a>0且a1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x对称，即(xo,f(xo)与(f(xo),Xo)分别在函数y=f()与反函数y=fT(X)的图象上.例4【2019年上海市浦东新区】已知函数fS)="+b的图像经过点(1,7),反函数T()的图像经过点(4,0).(1)求1=/(%)的解析式;(2)求证：Fo)=f(%)-f(-%)是增函数.【答案】(1)/(第)=必+3(2)见证明【解析】Q+b=7r=4由题意可得：H+b=4,.&=3,.J(x)=4x+3(2)F()=/(%)-/(一汽)=4"一4一”,任取第1、x2ER且T1VX2,F(x1)-F(X2)=(4,4一，)一(44.%2).x1<X2XIX2.41-42<011 +>0x+xo又4<0F(x1)<F(X2)F(%)是增函数.学科。网【变式训练】2018四川省成都市9校联考】已知函数f(x)=X1-OXd<x<e,e为自然对数的底数)与g()二产的图象上存在关于直线y=%对称的点，则实数取值范围是1I1IIIIA.1eHB.1,cC.c,c-D.c,c结论五两个经典不等式X(1)对数形式:.Win(x+1)x(x>-1),当且仅当x=0时,等号成立.指数形式：exx+1(xR),当且仅当x=0时,等号成立.X例5设函数f(x)=1-ex.证明：当x>-1时，f(x)x+1.XXX1证明x>-1时，f(x)x+1<x>-1,1-exx+1<>1-+INer(X>-1)OAZ+1ez(x>-)<+1x(x>-1).当x>-1时,e'2x+1恒成立,所以当x>-1时，f(x)x+1.【变式训练】1.已知函数f(x)12.已知函数f(x)=ex,xR.证明：曲线y=f(x)与曲线y=-x2+x+1有唯一公共点.结论六三点共线的充要条件设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数人与,使得11-(Ta-(TbOP=入。4+。纥且入+=1.特别地,当P为线段AB的中点时,0P=2+2.例6【福建省厦门市2019届高三上期末】在平面四边形ABCD中，AACD面积是AABC面积的2倍，数列作/满足%=3,且"=(4+-3)C+-2)C,则c二()A.31B.33C.63D.65【答案】B【解析】设AC和BD交于点MZUCD和ZMBC的高分别为七&,.NACD的面积是214BC面积的2倍,.'.h1=2h2=DE=2EB,：.DE=2EB,即无-CD=2(CB-函，,CE=-CB-CD,33,又福=(n+1-3)+(QrI-2)CD,由ACE三点共线>设有=芯="冷+/而，由平面向量基本定理得an+-3=7an-2=an+13=2(an-2),即4+1T=2(4-I),数列4一1是以1=2为首项，以2为公比的等比数列，学科*网an-1=2-2n1=2nf即=2z+1所以0=32+1=331111A.1B.一C.D.211111【2018河南省郑州市质量检测】如图，在一ZRC中，N为线段AC上靠近A的三等分点，点尸在5N上且AP=I根+2a5+2bc,则实数加的值为（2.【河北省唐山一中2019届高三上期中】如图，在AABC中，CM=2而B,过点M的直线分别交射线AB、AC于不同的两点P、Q,若心=加脑,何="后，则m"+m的最小值为（）A.2B.23C.6D.63结论七三角形“四心”向量形式的充要条件设O为AABC所在平面上一点，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则a(1)0为AABC的外心oI曲I=I6bI=IOC=2sinAt(2)0为AABC的重心o以+而+/1=0.3 3)0为AABC的垂心O。/OB-OBOC-OCOA(4)0为AABC的内心u>a肩+b而+c应=0.例7【2019年吉林省辽源市田家炳高级中学】在力比1中，点是加的中点，7=1,点在2上，且满足AP=2PM,则以(+)等于()4 444A.-3B.-9C.3D,9【答案】B【解析】<M是BC的中点,知AM是BC边上的中线,又由点P在AM上且满足存=IPM二.P是三角形ABC的重心,PA(PBPC)=PA-AP=一再广又TAM=.41=7：.PA.(PB+PC)=-42=一；.【变式训练】AMAC=()2.0是平面上一定点,A、B、1.【吉林省长春市实验中学2019届高三上学期期中】点M为BC的重心，AB=2fBC=IfAABC=60°,则C是平面上不共线的三个点,动点P满足加二竺竺+入心，入0,+8),则P的轨迹一定通过AABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心3.0是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足二物+人(w+w!入0,+),则P的轨迹一定通过AABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心4.【吉林省长春市实验中学2019届高三期末】人B、C是平面上不共线的三点，。为A/BC所在平面内一点,OPD是48的中点，动点P满足(2-2)OD+(1+2)OC(R)，贝U点P的轨迹一定过BC心(内心、外心、垂心或重心).学科&网结论八等差数列设Sn为等差数列aj的前n项和.(1) an=a+(n-1)d=am+(n-m)d,p+q=m+>ap+aq=am+an(m,n,p,qN*).(2) apzzq,aq=p(PWq)zap+q=0.(3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,构成的数列是等差数列.是关于的一次函数或常函数,数列也是等差数列.n(5)Sn=-2)222(。1+an)n(a2+an_1)n(a3+an(6)若等差数列an的项数为偶数2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项S偶QyT1+之和S2m=m(am+am+),S偶一S奇二md,-=.3奇时(7)若等差数列aj的项数为奇数2mT,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S奇mSzm