因式分解培优专题(一).docx
分析：不要求解方程组，我们可以把2x+y和5x-3y看成整体，它们的值分别是3和-2,观察代数式，发现每一项都含有2x+y,利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x+y和5x-3y的式子，即可求出结果。解：4在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n,3+2一2+2+3”-2一定是10的倍数。分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。解：5、中考点拨：例1。因式分解3x(x-2)-(2-x)解：说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，假设没有，看是否能通过变形转换得到。例2.分解因式：4<7(1-p)3+2(p-1)2解：说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。举一反三:1、分解因式：1 1)-4z2z3+Mm3n2-2nn(2)。2父+2+成/+1-43一。公”5为正整数)(3) a(aZ?)3+2a2(b-a)1-2ab(b-a)22 .计算：(-2尸+(-2严的结果是OA2顺B-210C-9D-13 .x；都是正整数，且口,.,",.3_,)12,求X、y。4 .证明:8Y-279-93能被45整除。二、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：平方差公式片一=(a+b)(a-b)完全平方公式a?+2ab+b2=(a±b)2初三数学因式分解培优专题一一、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最根本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式确实定方法是：(1)当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次累。(2)系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1 .把以下各式因式分解(1) -a2xm+2+abx,n+1-acxm-axn,+3(2) a(a-b)3+2a2(b-a)2-2ab(b-a)分析：(1)假设多项式的第一项系数是负数，一般要提出“一”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“一号后，多项式的各项都要变号。解：(2)着时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，一份2"二一。产；(。一力)2t=一S-产,是在因式分解过程中常用的因式变换。解：2 .利用提公因式法简化计算过程例：计算的丝+268X也+456X箜521也1368136813681368分析：算式中每一项都含有987,可以把它看成公因式提取出来，再算出结1368果。解：3 .在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组2x+y=3,求代数式(2x+y)(2x-3y)+3x(2X+y)的5x-3y=2值。解：5、中考点拨：例1：因式分解：x3-4x=o说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。例2：分解因式：2x3y+8W+8xy3=。说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。题型展示：例1.：a=in+,b=1n+2,c=tn+3t222求4?+2ah+h2-fIac+C2-2历的值。解：说明：此题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。例2.a+b+c=O,a3+b3+c3=0,求证：a5+Z?5+c5=0证明：说明：利用补充公式确定小b,C的值，命题得证。例3.假设/+V=27,X2-xy+y2=9,求/+丁的值。解：说明：按常规需求出达y的值，此路行不通。用因式分解变形条件，简化计算过程。举一反三:1 .分解因式：(1)(4+2)2-(3"1)2xx-2y)+x2(2y-x)(3) a2(x-y)2+2(x-y)3÷(x-y)42.：X+=-3»求x4HT的值。XX43 .假设b,C是三角形的三条边，求证：a2-b2-C2-2bc<04 .：02+Q+=o,求fiM的值。5.，b,C是不全相等的实数，且"chO,03+b3+c3=3abcf试求(1) +A+c的值；立方和、立方差公式/±b3=(a±b)(a2+ab+b2)补充：欧拉公式：特别地：当+C=O时，有a?+b3+C?=Sabc(2)当c=o时，欧拉公式变为两数立方和公式。运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1 .把M+2-/-2h分解因式的结果是()A.(«-h)a+2)(Z?+2)B.a-h)a+h+2)C.(a/?)(«+Z?)+2D.(a-2b)(b"-2a)分析：a2+2a-b2-2b=a2+2a+-b2-2b-=(a+1)2-(b+V)2o再利用平方差公式进行分解，最后得到(a-b)(+Z>+2),应选择B。说明：解这类题目时.，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。2 .在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：多项式2/-/+加有一个因式是2x+I，求加的值。分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出口的值。解：3 .在几何题中的应用。例：力、C是AABC的三条边，且满足a?+/+/-ab-bc-ac=0,试判断A"C的形状。分析：因为题中有c/、b-ah,考虑到要用完全平方公式，首先要把一"转成-2海。所以两边同乘以2,然后拆开搭配得完全平方公式之和为0,从而得解。解：4 .在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。分析：先根据条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。7、3ax2+6axy+3ayx4-18x2+819、9x4-36y2四、代数式求值15分1、2x-y=-町，=2,求2i*)户一元3>4的值。2、假设x、y互为相反数，且*+2)2-(y+1)2=4,求x、y的值3、a+b=2t求伍2-/)2-8(42+/)的值五、计算：15NZX2001Z1×200010.75x3.66×2.662|+4I2)2×562+8×56×22+2×442六、试说明：对于任意自然数n,(+7)2-(-5)2都能被动24整除。(2)q(_1+_1)+力(_1+_1)+C(J_+J_)的值。bccaab因式分解练习题1、假设x+2(/773)x+16是完全平方式，那么m=o2、X2+()x+2=(x+2)(X+)3、I+"/+-+?+.产=0,那么6=.4、假设16(46)2+M+25是完全平方式M=。X2÷6x+()=(x÷3)2X2÷()+9=(x-3产，5、假设9/+Z+V是完全平方式，那么k=o6、假设/+4x-4的值为0,那么3/+12%一5的值是7、假i殳X?-15=(x+1)(x-15)刃"么=o8、假设x+y=4,Y+V=6那么孙=o9、方程fz+4=o,的解是o二、选择题：10分1多项式一。(4一幻。一。)+4。(一幻(。一幻的公因式是A、-a、B、-(-)(-)C、a(ax)D、axa)2、假设m1+AX+9=(2工一3尸，那么m,k的值分别是A、m=2,k=6,B、m=2,k=12,C、m=4,k=12、Dm=4,k=12>3、以下名式W-y2-2+y2i-2->()2+Cy)21一中能用平方差公式分解因式的有A、1个，B、2个，C、3个，D、4个4、计算(1-5)(1最).(I-J)Q一?)的值是An-Bx,C.,D.2201020三、分解因式：30分1、X，-2丁35x*2、3x63x3、25(x-2y)2-4(2y-4、x2-4-1+4y25、x5-x6、X3-1
