因式分解的应用与探究(含答案)-.docx

因式分解的应用与探究【温馨提示】分解因式一章中，我们主要学习了分解因式的概念、会用两种方法分解因式，即提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）。具体要求有：1、经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识之间的整体（整式乘法与因式分解）联系。2、了解因式分解的意义，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）。3、通过乘法公式：（+b）（c-b）=/一/，（士62=±24z力+的逆向变形,进一步开展观察、归纳、类比、概括等能力，开展有条理思考及语言表达能力。在中考中，除了考查对一个整式进行分解因式等常规题型外，因式分解作为一种重要的解题方法和工具，经常出现于各种题型中，以下几种就值得引起注意。范例精讲例11构造求值型】【山西04x+y=1,那么+盯+J_y2的值为；22分析：通过条件，不能分别求出小j的值，所以要考虑把所求式进行变形，构造出x+y的整体形式，即;f+孙+；y2=；（2+2xj+/）=1J+y）2=；.在此过程中，我们先提取公因式;，再用完全平方公式对原式进行因式分解，产生x+y的整体形式，最后将x+y=1代入求出最终结果.例2【构造求值型】f+2x+y2+6y+10=0,求孙的值.答：xy=3例31构造求值型】：a=10000,b=9999,求/+加一2"6+66+9的值。解：。2+护_2。8一6o+6b+9=a-b22×tab）×3+32=（。一力-3）2=4例4【构造求值型】【广西桂林041计算：2-22-232,8-2,9+220=;分析：为了便于观察，我们将原式“倒过来”，即原式=220-2,9-2,823-22+2=2,9(2-1)-2,823-22÷2=219-21823-22+2=2,8(2-1)23-22+2=2,823-22+2=22+2=4+2=6此题的解题过程中，巧妙地用到了提公因式法进行分解因式，使结构特点明朗化，规律凸现出来。此题解法很多，比方，我们还可以采用整体思想，把原式看作一个整体,利用方程与提公因式法分解因式相结合的方法解答此题。设M=2-22-23218-219+22°,那么-M=-2+22+23+2,8+2,9-22°M=2(1-2-222,8+219)=21-(2+22+2,8-2,9)=2(1-(-M+4-2×2,9+22o)=2M-6,即M=2M-6,解得M=6例5【探索规律型】观察以下各式：I2+(1×2)2+22=9=32,22+(2×3)2÷32=49=72,32+(3×4)2+42=169=132,你发现了什么规律？请用含有(为正整数)的等式表示出来，并说明其中的道理。例6【探索规律型】阅读以下因式分解的过程，再答复所提出的问题：1+x÷x(1+x)+x(1+x)2=(1+)1+-+x(1÷x)=(1÷x)2(1÷x)=(1+x)3上述分解因式的方法是，共应用了次；假设分解1+x+(1+x)+x1+x)2+x(1+x)2叫那么需应用上述方法次，结果是;分解因式：1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x),(为正整数)例7【开放创新型】【四川03】多项式9f+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是(填上二个你认为正确的即可)：分析：根据完全平方公式/±2而+加=a±b)2的特点，假设92+1表示了/+的话，那么有=3x,b=1,所以，缺少的一项为±2而=±23x1=±6x,此时，9x2÷1±6=(3±1)2；如果认为92+1表示了加力+从的话，那么有=4.52,b=1,所以，缺少的一项为a2=(4.5x)2=20.25x4,此时，20.25x4+92÷1=(4.5x2+1)2.从另外一个角度考虑，“一个整式的完全平方中所指的“整式”既可以是上面所提到的多项式，也可以是单项式.注意到9f=(3x)2,1=12,所以，保存二项式92+1中的任何一项，都是“一个整式的完全平方"，故所加单项式还可以是一1或者一元，此时有92+11=9x2=(3)2,或者9x2+19x2=14综上分析，可知所加上的单项式可以是±6小20.25/、-1或者一9/.例8【开放创新型】【福建南平03】请你写出一个三项式，使它能先提公因式，再运用公式来分解.分析：利用整式乘法与因式分解的互逆关系，可以先利用乘法公式中的完全平方公式，写出一个等式，在它的两边都乘一个因式，比方：2mn-n2=2"?(m2÷2w7÷i2)=2nv,÷4m2n÷2mn2；3a(2-5y)2=3a(4x2-20xy÷25y2)=120r2-60xy+75a,等等.于是编写的三项式可以是2户+4切2+2加2,分解因式的结果是2？?+)2；或者编写的三项式可以是120r2-60a町+75y2,分解因式的结果是3(2x5y)2,等等.例9【数形结合型】【陕西02,桥西0203】如图，在边长为。的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b)f把余下的局部剪拼成一个矩形，通过计算两个图形(阴影局部)的面积，验证了一个等式，那么这个等式是(A)(A)a2-b2=(a+b)(a-b)(B)(a+b)2=a2+2ab+b2(C)(a-b)2a1-2ab+b2(D)a+2ba-b)=a2+ab-2b2例10【数形结合型】【福建福州05】如图，在边长为。的正方形中剪去一个边长为6的小正方形(a>b),把剩下的局部拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影局部的面积，验证了公式。2济=(+b)小一方)；例11【数形结合型】【济南02】请你观察右下方图形，依据图形面积间的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是5+y)5-y)=是一y2或2-V2=+y)5-y)或(X-y)2=/-2XV+y2;表中所列四种方案能拼成边长为(。+力)的正方形的是(A)方案7量1张)、(1)(2)(3)(A)I12(B)111(C)121(D)211bOa(3)例12【数形结合型】【山西03】有假设干张如下图的正方形和长方形卡片，那么分析：此题的本意就是判断哪些卡片的面积之和是ta+b因为/+2"+/=(+b)2,对照如下图的正方形和长方形卡片，可知三种卡片的面积分别为2、护和,而，它们分别需要1张、1张、2张，由此可选出正确答案为(A).例13【数形结合型】【山西太原03如图是用四张全等的矩形纸片bbb拼成的图形，请利用图中空白局部的面积的不同表示方法写出一个关于4、8的恒等式(+b)2-4ab=1。-6)2；分析：外框围成的大正方形面积为(+b)2,4个矩形的面积之和为4ab,中间的空白局部的面积为(一分2.于是，可以列出等式a+b2-4ab=(一幻2.对于它的正确性，可以用因式分解的方法证明:(+b)2-4ab=a2-2ab-b2-4ab=a2-2ab+b2=(a-b)2.bbbb例14【数形结合型】给你假设干个长方形和正方形的卡片，如下图，请你运用拼图的方法，下载相应的种类和数量的卡片，拼成一个矩形，使它的面积等于/+5昉+4/,并根据你拼成的图形分解多项式a2+5abi4b2.解：由o2÷5>÷4Z?2知，可用1张大正方形，5张长方形，4张小正方形，拼成的矩形如以下图所示，根据图形的面积可得2÷5ab÷4/?2=(arb(+48)优化训练一、选择题：1.计算(一2)n+(-2)o结果为0(A)2,0°(B)-2(C)0(D)-2,0°2 .4x2-x+m是一个关于X的完全平方式，那么m的值为()(A)4(B)±4(C)(D)16163 .4/+1+3是一个关于X的完全平方式，那么机的值为()(A)4(B)-4(C)16(D)±44 .iw=2002+2001×2002+2001×20022+2001×20022o,w=200221,那么正确的关系是()填空题:5 .x、y为正整数，且f=j2+37,那么4=；6 .方程f-y2=29的整数解为;7 .有假设干个大小相同的小球一个挨一个摆放，刚好摆成一个等边三角形（如图1）；将这些小球换一种摆法，仍一个挨一个摆放，又刚好摆成一个正方形（如图2）,那么这种小球最少有个；三、解答题：图1、20023-2×20022-200020023+20022-20039 .求2-4xy+5y22y+2004的最小值.10 .观察：1×2×3×4+1=52,2×3×4×5÷1=I12,3×4×5×6÷1=192,请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；根据，计算2000X2001X2002X2003+1的结果1用一个最简式子表示）.11 .一个自然数。恰等于另一个自然数。的平方，那么称自然数。为完全平方数，如64=82,64就是一个完全平方数.假设=20022+20022X20032+20032,求证：是一个完全平方数，并写出。的平方根.12 .公园长椅上坐着两位白发苍苍的老人，旁边站着两个年轻人，他们在交谈，老人说:“我们俩的年龄的平方差是195不等老人说完，青年人就说：“真巧，我们俩年龄的平方差也是195。这时一对中年夫妇也凑过来说：“真是巧极了，我们俩年龄的平方差也是195。"现在请你想一想，这三对人的年龄各是多少？其实符合年龄平方差为195的应有4对，如果你有余兴，不妨把第4对人的年龄也找出来。答案：一、选择题：2. 【桥西0102】计算（-2）13+（-2）10°结果为（D）3. 4/一x+相是一个关于X的完全平方式，那么W的值为(C)(A)4(B)+4(C)(D)16164. 4/+1+如是一个关于X的完全平方式，那么M的值为(D)(A)4(B)-4(C)16(D)±45. 【重庆02竞赛】设nz=2002÷2001×2002+2001×20022+2001×2OO22o,n=20022，那么正确的关系是(B)(A)n=i×2001(B)m=n(C)w=w÷2002(D)m=+2002二、填空题：5.【桥西0203x、y为正整数，且x2=y2+37,那么X=19:x=15X=I52_,；y=14y=-147 .有假设干个大小相同的小球一个挨一个摆放，刚好摆成一个等边三角形(如图1)；将这些小球换一种摆法，仍一个挨一个摆放，又刚好摆成一个正方形(如图2),那么这种小球最少有36个;图1图2三、解答题：C、320023-2×20022-20008 .计算：r=；20023+20022-2003220023-2×20022-200020022×2000-2000解.式=20023+20022-200320022×2003-2003_2000(20022-1)=20002003(20022-1)-20039 .求-4xy+5-2y+2004的最小值.解：原式=(-2y)2+(y-1)2+2003,，当x=2,y=1时，原式取得最小值200