专题02 函数的综合应用（解析版）.docx
专题02函数的综合应用【考点预测】高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等.【题型归纳目录】题型一：函数与数列的综合题型二：函数与不等式的综合题型三：函数中的创新题【典例例题】题型一：函数与数列的综合例1. （2022浙江效实中学模拟预测）已知数列可满足q = 1, e% = 2-T(N÷),n其中e是自然对数的底数，则（）A. 0 <<4043B.< <4043一°- 20221C 2022 < 2022 <D.1 < 2022 < 2【答案】B【解析】【分析】利用不等式e, x +1可得2- >。+1% + 1+ 1,吐一4，由累加法可得见4,利用不1cll11c1等式eY；可得2-<-,即<2,同理用累加法可得则17%+l l-+÷2/7-12/7-11<<-n即可求解.【详解】V exx+l （当 x = 0时等号成立），.e"z 川+ 1,当。>。时，edfl, = 2> 1 => an+i > 0,即 4 =1 >。=> >0,n则 e% > %+ +1 , e"lt" = 2> an +1,an +1an111整理得。即>1， +1向 %111 1111 1即> 1,> 1,，> 1,a2aa3a2aan-将个不等式相加得及-1,即all <-,4 4%n令（x） = ex（lr）7,则（x） =-北,当x<o时，r（）>o,当x<o时，r（x）<o,则“X）在（-8,。）上单调递增，在（。,+8）上单调递减，即/（X）在X = 0出取得最大值,（x）（0） = 0,所以e'（l）70 （当x = 0时等号成立），当XV1时，e'J-（当x = 0时等号成立），-x即当九>1 时，ert- < , 2 <!1 - 4+14+1 1-,÷同理利用累加法可得,<2(L1),即。>不二，4 a2?-1所以-<cn <(h>1),贝J<xp2 <-，2/?-1")4043一° 2022故选：B .例2. (2022辽宁东北育才学校二模)已知数列4满足0<4<05, ¾+1 =¾+ln(2-¾),则下列说法正确的是()A. 0<。2022 <°5B. 0.5 <a2022 < 1C. 1 < 22 <1 5D. 1.5 < 6f2022 < 2【答案】B【解析】【分析】利用lnxx7可得。“<1,且数列%是单调递增数列，得出0</<l,利用导数可得g(x) = x + ln(2-x),0<x<l在(0,1)单调递增，即可得出当>1 时，E2<% < 1,即可求解.【详解】令 (x) = lnx-x+l,x>。,则 r(x) = !x'由r(x)>O得0vxvl,由尸(力<0得x>l,所以/(“在(0,1)单调递增，在(l,+)单调递减，所以x)=0,所以 lnx<x-l,所以* =4+ln(2-%)q+(2f1) = 1，当且仅当4=1时等号成立，与己知矛盾，所则。+=ln(2-q)>lnl=O,所以数列4是单调递增数列，所以0<凡<1,令且(6=工+皿2-力,0<工<1,则/('=1>0,所以g(x)在(0,1)单调递增,则% = g>g= ln2,所以当 >1 时，In2<4<l,因为 ln2>0.5,所以 0.5<%<l,所以 0.5 <4022 < 1故选：B.例3. (2022浙江绍兴模拟预测)已知数列4满足4=U，¾+1+cos- = 0,则下列>72 说法正确的是()n12、万1Bc. c1+22r2及) Tc %-丁 丁&-2、兀、D. +1-y-l【答案】D【解析】【分析】将已知等式化为 .=sin an -2y ，根据/(力=乙Zx-sinx的单调性和/(0) = 0,可得j< r万-sin,由此可化简得到z% q-分别构造函数g(x) = -cosx-x、g2(x) = -cosx-x2、&(力=工cosx 3但x和gKx) = f-cosx-2,利用导数可求22、271271 34得各个函数在上的单调性，进而根据单调性得到最值，从而判断出各个选项的正误.4 4【详解】乃 八F"+cos-7 = 0, ¾+1- =-cosazl= sin an-,， ， )令(x) = x-sinx,则'(x) = l-cosx0,"(x)在 R上单调递增，又/(0) = 0, x讣inx,a l2= sin anan 2 ja.2%1 2 421 2p 解得：3兀an a2一7-2对于 A, ¾+1-¾=-cos¾-,令g(x) = -c°sx-天，则&'(x) = sinx-10' g(x)在 R上单调递减,.2巴包4"4 g"4)NgA错误;对于B,=cos an21 )-COSX XT ,2则 W(M = sinx,令(x) = (x),贝J r()=cosx-l0 ,g"x)在R上单调递减,又4(0) = 0,.当 x(-,0)时，g；(x)>0；当 x(0,+8)时，gf2 (x)<0；二4(同在(-8,0)上单调递增，在(0,+。)上单调递减,乃 / 一 , 3%/ 、2()2 yjl 1 2 2 32 2B错误;对于C,+l2222勺二彳- cosqra2令 g3(x) = _cosx_22x,则g；(x) = sinxTC令"(x) = W(x),则加(x) = cosx,当xw py时，m(x)>0i当代修岑时，质(%)<0；4(x)在(e)上单调递增，在(会与 上单调递减,又g322L也一迪<of(3r 2 22当 r=<I 4 J 2 :.3xl U,2j，使得 g；(xj = g；(无2)=。，.当(无)在，x2T上单调递增，在(内，%)上单调递减，_ 4 / 4 .二 g3(%)> g、3 ； J4-近,也使得 e()>5-&，C 错误;n2 乃2对于 D, yy 丁令g4(x) = g _ cosxx,则g：(x) = sin九一,2717力 开31 V511当xnj时，smx ,1.留在上单调递增，2.sinx>0 ,即 g：(x)>0,兀<网, 4 一 4 ' (¾)RJ = V2-1 >1222D正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数最值的问题，解题关键是能够根据k 卜祐H的特点，构造不等式求得知的取值范围，进而可以通过构造函数的方式，将问题转化为函数最值的求解问题，从而利用导数来进行求解.例4.(2022浙江慈溪中学模拟预测)已知数列4满足：4=,且.=岫 + 1)?，则下列关于数列q的叙述正确的是()2A. 4 > 4同B. 一;%< C. afl+1 >一一D. an<-，十乙【答案】D【解析】【分析】构造函数(x) = ln(x+l)-sinx (-g戈<0),由导数确定其单调性，从而利用数学归纳法证明一J4<(),然后构造函数g(x) = (x)-X = ln(x+l)-sinx-x (-x<0),利用导数证明g(x)>O,得/(x)x,利用此不等式可直接判断A,对选项B,由数列4的单调性与有界性知其极限存在，设"y = A,对数列的递推关系求极值可得A=0,从而判断B,2x对选项C,引入函数设p(x) = ln(x + l)-(-l<x<0),由导数证明P(x)<,得x + 22xln(x+l)<-(-l<x<0),从而利用不等式性质得出数列的不等关系，判断C,利用x + 2判断选项C所得正确不等式变形，并换元引入新数列得"前后项关系(求对数再变化)，类比等比数列的通项公式的方法得出结论后判断D.【详解】首先我们证明：-j<0,利用数学归纳法.事实上，当,2 = 1时，-61<0j假设当=2时，一Jq,<0,则当 = Z + 1 时，¾+1 =ln(¾÷l)-sin¾.111设函数 (x) = ln(x + l) - sinx(-弓 x<0),则 x) = -cosx>0, WJ(x)½ 一不,。上N 1单调递增,当一,x<0 时,2jj-lnsin = ÷ =()<(0) = 0设 g(x) = (x)-x = l(x+l)-sinx-x-x<0),2则 g'(x) =cosx-1x + 1设h(x) = gf(x) =cos%-l,x+1上单调递减,>0,(0)<01 (x) = -j-Pj+sinxo,则g'(x)在一Z所以存在 e(；,。)，使得g'(x0) = 0,<X<时，g'(x)>(), <xv。时，g'(九)<(),故g(x)在-g,)上先增后减，从而g(x)>ming(0),g -j =0 ,从而(x)>x.对于A选项：由于-;<0, +1=ln(¾+l)-sin>¾,故数列单调递增，选项A错误.对于B选项，由于%单调递增且-;4%<0,从而！吧。 =
