专题17 圆锥曲线中的一类定点问题（解析版）.docx

专题17圆锥曲线中的一类定点问题一、结论若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.=1（1>b>O）上异于右顶点的两动点A,B,以A3为直径的圆经过右顶点（见。）,则直线Iab过定点（/一空o）.同理，当以AB为直径的圆过左顶点a+b0）时,直线配过定点（-了?",0）.a+b22（2）对于双曲线吞A=>0/>0）上异于右顶点的两动点A,3,以A3为直径的圆ab经过右顶点（。,0）,则直线1过定点（、+”?”,（）.同理,对于左顶点（-0,0）,则定点为a-b（一（3）对于抛物线y2=2px（p>0）上异于顶点的两动点A,3,若OAOB=0,则弦AB所在直线过点（2p,。）,同理，抛物线12=2py（p>0）上异于顶点的两动点A,B,若OAOB=O,则直线AB过定点（0,2P）.二、典型例题1. （2023安徽蚌埠高二期末）已知直线/与抛物线V=4x交于不同的两点A,B,。为坐标原点，若直线OAO5的斜率之积为T,则直线/恒过定点（）D.(-4,0)A.(4,0)B.(0,4)C.(0,-4)【答案】A【详解】设直线方程为X=my+,A(M),5(X2,%),x-my+tC联立2:，整理得：-4my-4=0,需满足A=(4m)2+16Z1>。,即加+%>0,贝IJM+%=4m,m%=-今，22由2=4v%2=4%,得：X1X2=-=t2,16所以七%=%2="1=-1，即=二1,X1x1t故=4,所以直线/为：x=my+4,当，=。时，=4,即直线/恒过定点（4,0）,故选：A.另解：对于抛物线产=2PX（P>0）上异于顶点的两动点A,3,若OA06=0,则弦AB所在直线过点（2p,0）,本题中由于直线。AOB的斜率之积为T,所以oaOB=0,直接使用二级结论，A3所在直线过点（2p,0）,即（4,0）.【反思】圆锥曲线过定点问题，是一类重点提醒，在选择填空题中，先判断是否符合可以使用二级结论，在符合的情况下，小题可以直接使用二级结论，解答题可以把二级结论当做工具试探答案，但是不可以直接使用二级结论，如确实要用，需先证后用.2. （2023安徽合肥市第六中学高三开学考试（文）已知抛物线V=2"（P>O）,A和5分别为抛物线上的两个动点，若NAoBw（0为坐标原点），弦A5恒过定点（4,0）,则抛物线方程为（）A.y2=2xB.j2=4xC.y2=8xD.y2=16X【答案】B【详解】若直线AB与1轴重合，此时直线AB与抛物线V=2pMp>0）只有一个交点，不合乎题意.设点A（X,%）、B（x2,j2）,设直线A5的方程为X=my+4,x=my+4C联立I2C，消去工可得）一8=。，y=2px=4m2p2+32p>0,所以，J1J2=Sp,因为=,则OA-OB-x1x2+y1y2=（；）+%=16-8P=0,解得P=2.因此，抛物线的方程为V=4x.故选:B.另解：对于抛物线V=2PX（P>0）上异于顶点的两动点A,比若OA05=0,则弦AB所在直线过点（277,0）,本题中由于ZAOB=I,符合使用条件，由于弦A5恒过定点（4,0）,所以2p=4np=2.【反思】圆锥曲线过定点问题，是一类重点提醒，在选择填空题中，先判断是否符合可以使用二级结论，在符合的情况下，小题可以直接使用二级结论，注意先判断，后使用.3. （2023江苏高三专题练习）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章勾股，讲述了勾股定理及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称勾''股弦，且''勾2+股2二弦2，设直线/交抛物线尸92于a,Jg两点，若IQ4"O阿恰好是RtVoAB的勾股（O为坐标原点），则此直线/恒过定点（）C.(0,2)D.(0,4)【答案】D【详解】设直线AB的方程为=丘+b,A(x1,y1),B(¾,y2),y=kx+b由*=分得f-4fcr-4=0，由根与系数的关系可得：%+9=4攵，X1=-4,若IoA1,O同恰好是加VOAB的勾股（O为坐标原点），可得IOAABh所以04,08,即OA1O小所以QbOB=A1A2+%=°，Xy2=%义2=A(XX2，所以OA-OB=xix2+y1y2=xix2+(xa：?)2=-4+-×(-4Z?)2=O,16v12716v7即加一46=0,解得5=4或=0（舍）所以直线A5的方程为y=辰+4,恒过点（0,4）,故选：D另解：抛物线x=2py（p>0）上异于顶点的两动点A,3,若。4OB=O,则直线AB过定点（0,2p）,本例中，若IOH,|。同恰好是HZVOAB的勾"股"（0为坐标原点），可得|。4+3=四，所以Q4,o6,即QA1o小所以直线/过定点（0,2p）,即（0,4）.【反思】圆锥曲线过定点问题，是一类重点提醒，在选择填空题中，先判断是否符合可以使用二级结论，在符合的情况下，小题可以直接使用二级结论，注意先判断，后使用.224. （2023山东省实验中学高三阶段练习）已知椭圆U3+2=I（Q（）的左右焦点分ab别为乃，F2,左顶点为A,且满足大/2=2人片，椭圆。上的点到焦点距离的最大值为3.求椭圆的标准方程；（2）若P是椭圆上的任意一点，求WK4的取值范围；已知直线，：y=履+机与椭圆相交于不同的两点N（均不是长轴的端点），AH1MN,垂足为H且.2=MHHN，求证：直线/恒过定点.22【答案】5+g=1（2）0,12证明见解析Ia+c-3由已知/_0，解得=2,c=1,则1=J/_.2=6,Z1-Cj=ZC22故椭圆。的标准方程为乙+乙=1.4322设尸（如为）,则去+_=1,又A（2,0）,E（TO）.'PF1PA=1x0)(2x0)+yo+3%+5.由于F(XO,%)在椭圆。上，.2%2.由/(力=；Y+3%+5在区间-2,2上单调递增，可知当=-2时，/(不)取最小值为0；当/=2时，/()取最大值为12.故幽B4的取值范围是0,12y=kx+m,由(%2/消去y得：(3+4左2)f+8mx+4z-12=0.143设M(%,),N(X2,%)，则AV=(X+2,%),AN=(x2+2,y2)-Skm4m2-12X1+X2=-7，XX9=-.3+4V123+4左2由A>0得4左2+3>机2.AH=MHHNBPAH2=MHW,可得AM_1A2V,贝j(%+2,)(x2+2,%)=O,即xix2+2(AI+2)+4+(x1+m)(x2+m)=0(174m2-12/7八Skm2，C(1+F)-+(km+27+m+4=0'J3+4VI,3+4左2化简得4/16痴+7疗=0.1 7k=-m1k=-m,均适合4左2+3>m2.2 2当左=；机时，直线过A,舍去；当左=：小时，直线y=Ax+%过定点-1>。）.故直线/恒过定点C.【反思】在本题第（3）问中，由AH2=MH.HN，BPAH2=MHW,的两动点A'8'以AB为直径的圆经过右顶点3,。），则直线过定点（哈袈,。）.同理,当以A5为直径的圆过左顶点（-%。）时,直线配过定点（-丝三",0）.即1过定点a+b（-（J*,。）即（_28），注意，本题作为解答题，不可以直接使用该结论，但是可以4+37用该二级结论试探答案，做到心中有数.三、针对训练举一反三21.已知双曲线三二1,点A（1,0）,在双曲线上任取两点P、。满足AP1AQ,则直线PQ恒过定点；【答案】（3,0）【解析】设。的方程为=my+b,则由<X2-=>fm2y2+rbmy+b1-1=0.X=my+b-_2bmb2-1设P（X,x）,Q（2,%），则%，乃是该方程的两根MX+%=匚1，%42=工了.TTZTTT22又AAP_1AQ,故APAQ=O,0（x1+1）（x2+1）+y1y2=0,又玉=畋1+，x2=my2+b,2bm团（1+m2）%.%+优+1）根（+%）+（6+1）2=0,代入”+%m2-,2b2-1得:24bm'2m2-17+伍+1)2=0整理得：2伊+4加伍+1)m+(2/1)e+if=OMb2_2U_3=0Mb=3或b=-1当8=1时,PQ过A(-1,0)与题意不符,故舍去。当人=3时,FQ过定点(3,0).故答案为：(W222.(2023四川巴中一模(文)已知椭圆C：r+=1(>>0)的左、右焦点分别为4，ab工，点又1,3满足I阿+M1=2,且月"的面积为.求椭圆C的方程；设椭圆。的上顶点为P,不过点P的直线/交。于A,B两点，若PA1Pb,证明直线/恒过定点.22【答案】土+匕=1证明见解析.431 44由闺笈W=方则闺阊=2=2c,所以C=IMFMF22a,则点M在椭圆上19所以=+T=1，又'"+Ia4b联立解得“2=4/2=32 2所以椭圆。的方程；土+匕=I43由题意尸(。,石)，根据条件直线AB的斜率必存在设直线AB的方程为y=kx+mm,A(jq,y1),B(¾,y2)y=kx+m由VJ143-SkmEFR24m2-123+4左2得(4左2+3)f+8+4疗-12=0=(8hn)2-4(4左2+3)(4疗-12)>0(*)由1PB,贝IJpA.尸5=0PAFB=（%,y_N,%=52+卜1_百）卜2_百）=xix2+（处+m-3（kx2+机6）=（1+k23.(2023全国高三专题练习)已知椭圆氏±+21=I的左右顶点分别为A,5,点P为椭2圆上异于A,B的任意一点.(1)证明：直线尸A与直线尸5的斜率乘积为定值；(2)设Q(M)卜6),过点。作与1轴不重合的任意直线交椭圆E于，N两点.问：是否存在实数1使得以MN为直径的圆恒过定点5?若存在，求出,的值；若不存在，请说明理由.【答案】证明见解析(2)存在；=£人卜3。),8(3。)；设Pwn),且=则左PA=一+7，kp1i=苏x1x2+m-y3kx+工2）+（根_百）rIm1-6y3m-33+4公所以7机2-6y3m-3=0即(7机+百)(机g)=0,即相=_#或根=百(舍)将根=走代入(*)74×12j>0成立.49J所以直线AB的方程为>=丘-",7所以直线A5恒过点所以沙_/RPA.RPB2om-3设M(U%),N(X2,%)，直线MN的方程为X=殁+，；联立一+2-=1及X=切+乙32得（24+3）J+4mty+2/-6=0,若以MN为直径的圆过