专题07 经典超越不等式（解析版）.docx

专题07经典超越不等式一、结论对数形式：X1+Inx(x>0),当且仅当X=I时,等号成立.(2)指数形式：/%+1(%R),当且仅当X=0时,等号成立.进一步可得到一组不等式链：x>x+1>x>1+1nx(x>0x1)上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数：丫2丫3丫"+11n(1+x)=X+(1)+o(xn+1)；23+1截取片段：exx+1(xR)1n(1+%)%(%>-1),当且仅当X=O时,等号成立；进而：InXVX1(x>0)当且仅当X=I时,等号成立二、典型例题1(2023江苏苏州高三期末)已知”>b+1>1则下列不等式一定成立的是()A.b-c'>hB.a>bT1 1abb+1ez,171C.<D.Q+1nb<b+1nQa-1Ina【答案】c【解析】取=10=8,贝|妆_4<，故A选项错误；取=3,b=1,+-=+y,贝IJB选项错误；3ab取a=3,Z?=1,贝!j+1nb=3,+16z=1+13<1+1n2=3,即a+1nZ?>/?+In”,故D选项错误；关于C选项，先证明一个不等式：ex+1,令y=e。X-1,y=ex-1,于是x>o时y>o,>递增；<0时y<。，)递减；所以X=O时，>有极小值，也是最小值e°-0-1=0,于是y=e“7-10,当且仅当x=0取得等号，由1%+1,当x>-1时，同时取对数可得，x1n(x+1),再用1-1替换元，得至Ux11nx,当且仅当=1取得等号，n_1U_|_17I1Pb由于1>b+1>1,得至InaVa-1,>1>,即<，Inaea_naC选项正确.故选：C.【反思】对于指数形式：x+1(x7?),当且仅当X=O时,等号成立，该不等式是可以变形使用的：exx+1(xR)-x+1,BP-1-x1-x岂me%J-1-x注意使用时X的取值范围;同样的还可以如下处理："x+1(xR)两边同时取对数：x1(x+1)(x>-1),同样可以变形使用：%1n(x+1)(x>-1)>x-11nx(x>O)左右两边同乘以''?>一-n(>0)；1用“匕替换“%”1-11-x<-nxx>0)<>1-1-(>0)>1InX=<nxXXX注意使用时X的取值范围.2.(2023安徽高三阶段练习(文)已知函数"同=-1(H).若对Dx>0,都有/(x)>。，求实数。的取值范围；(2)若。、>O,且“+b=1,求证：对任意x0,都有：ex>(1+ax)(1+bx).【答案】01(2)证明见解析【解析】(1)由x>0时：f(x)=ex-1-ojc>0又：fx)=ex-af若11时，由x>0,故e">1,所以对任意x>0,者K有：fx)=ex-a>O此时函数g(x)在(0,+8)上单调递增，故对任意x>0,都有：尤)=，-1ax>(0)=0满足条件.若时，由x>0,故：*'(x)=e'-=0nx=1n1故可得：X(o,1)Ina(1,+)-0+/(x)、极小值故函数/(x)在(Una)上单调递减，在(Ina,y)上单调递增，故：/(Ina)V/(O)=O不满足条件VcO,都有力>。,综上，实数。的取值范围为11.由(1)可知，当=1时，对任意x0,都有：f(x)=ex-1-x0f故对任意x0,都有：ex1+xf又。、Z?>0,故对任意x0,者K有：eax1+ax>Oebx1+te>0又+b=1,故：ebx=eax+bx=a+b)x=(1+6ix)(1+bx)故对任意x0,都有：ex(1+)(1+x).【反思】注意在解答题中ex1+x不能直接使用，需要证明后才可以使用，才可以进一步变形得到有利于解题的不等式.三、针对训练举一反三一、单选题1. (2023广东韶关一模)已知。=esmi=sin1,c=Cos1,贝U()A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b【答案】C【详解】(.1(5»)，一解：当x-r,-r,smx>cosx,又1-7,-r,所以sin1>cos1,故b>c44)44)记/(x)=e=x1,所以r(x)=e=1,令(x)<0,得<0,(x)>0,得>0,所以“X)在(-8，。)单调递减，在(0,+X)单调递增.所以/(x)(0)=0,BPe-x-1O,当X=O时取等号.所以a=esh111>(sin1-1)+1=sin1=b,所以c<h<1.故选：C.2. (2023山西运城(理)已知命题?：3x>0,1nx>x-1;命题4：VxR,e'1则下列命题中为真命题的是()b.PAqa.FR【答案】A【详解】令=111%+1且定义域为(0,+00),则y,=-1,所以(U)上y>。，y递增；(i,+)±y<o,)递减;所以yWy1mi=°,BP1nxx-1,又VXR,即1恒成立,所以命题为假命题，命题9为真命题，则为真命题，F为假命题，故予Aa为真，PM、PAf、-I(PV9)为彳炭.故选：A.3. (2023广东肇庆)下列不等式中，不恒成立的是()A.ex+2x+3(x7?)B.(jc+1)2>1n(x+1)(x>-1)【答案】D【详解】对于A：令/(x)=ex-(x+1),m=ex-,所以当%>0时，-(X)>o,/(X)单调递增,当<o时，r<o,/(%)单调递减，所以/(X)J(O)=O,所以.x+1,所以e"+2.+3,故A正确;对于B：令/(x)=X2-Inx,所以在(O,孝)上，(x)<0,/(X)单调递减,在(业，+)±,Jr(X)>o,/单调递增，2所以/(x).J(*)=(丰)2In()=；In丰=InaIn等>0,所以>In%,所以(X+1)2>1n(x+1),(x>-1),故B正确；对于C：令/(x)=1n%-(%-1),当了>时，r<o,/(%)单调递减，当OV尤V1时，AX)>0,/'(X)单调递增，所以/(%),"(1)=0,所以In%(%1),0,所以Inx),%-1,所以In(X+2),x+1,故C正确；对于D：取X=%,得H"=<7=sin(-万)+7,故D错误,eOS故选：D4. (2023安徽东至县第二中学(理)下列不等式正确的个数有()个.exx+1；x-11nx;(3)xx+1>(x+1),(x>)A.OB.1C.2D.3【答案】D【详解】对于，令=1,Jf(X)="-1,则/(%)在(-8,。)上递减，在(0,+上递增，AU(O)=O,xER,ex-x-1O,即%+1,正确；由%+1知，e>x(x>O)恒成立，则有IneXT1nx,即x11nx成立，正确；对于，令z(x)=g(x>e),1(X)=匕”<0,即入。)在(e,+)上单调递减，而x+1>x>e,贝U电>山('+0<>(+1)1x>X1n(X+1)oInxx+1>1(+1)x,Xx+1所以有一>(x+1)%G>e),正确.故选：D5. (2023黑龙江哈尔滨(理)下列四个命题中的假命题为()A.VxA,exx+1B.VxA,ex>-x+111C.3x0>O,Inx0>x0-1D.3x0>O,In>%0-1【答案】C【详解】构造函数/")="X1,/'(X)=/1,所以“X)在区间(一,o)上/(x)<0,/(x)递减，在区间(0,+8)上/(x)>0,/递增，所以“X)在X=O处取得极小值也即是最小值/(0)=0,所以/(%)0,即%+1在R上恒成立，将X改为T,贝I有"X-x+1在R上恒成立.所以AB选项为真命题.当XO=1时，1-=1,%-1<0,此时1n1>/T,所以D选项为真命题.eXO11_r构造函数g(x)=1nx-x+1(x>0),gx)=-1=，所以“X)在区间(0,1)上/(x)>0,g(x)递增，在区间(1+)上/(x)<0,/递减，所以g(x)在x=1处取得极大值也即是最大值g=0,所以g(x)O,即InXxT在(0,+")上恒成立.所以C选项为假命题.故选：C6. (2019湖北(文)下列不等式中正确的是SinXV%,%(0,+oo);(2)exx+1,xR；(3)1nx<x,x(0,+).A.B.C.D.【答案】B【详解】对于：令y=sin%-%,%(0,+oo),则y=cos%-10恒成立，则y=sinx-%,%(0,÷w)是减函数，所以有y<。恒成立，所以SinXVX,x(0,+oo)成立，所以正确；对于：exx+1,xRf令y=-x-1,y,=ex-1f当<0时，y,<0,当%>0时，y,>0,所以函数尸靖7-1在(-8，。)上是减函数，在(。，+上是增函数，所以在=。处取得最小值，所以0-1=。，所以/%+1,xH成立，所以正确；X对于，InX<x,x(0,+),=1nx-x,有y=I=,所以有当OVXVI时，y,>0,当X>1时，y,<o,所以函数y=1nx%在X=I时取得最大值，Bpj=1nx-x0-1<0,所以1nx<x,%(0,+8)恒成立，所以正确；所以正确命题的序号是，故选B.7. (2023全国(理)已知命题夕：Vx>0,ex>x+1,命题4：3(0,+),1n,则下列命题正确的是A.PAqB.1P)AqC.P八(f)D.(夕)(-)【答案】C【详解】»：fx)=ex-x-1jx)=ex-1,%>0时，/(x)>0,所以f(x)在(0,+动单调递增,f(x)>f(O)=O,:.ex>x+1,P真;11x,令g(x)=1n%-%,g(%)=1=，x(0,1),g(x)>O(1,+),g(x)<0，XXg(x)ma=g(1)=-1<O,所以g(x)O在(O,+a)恒成立，q假；故选C.8. (2023安徽毛坦厂中学高三阶段练习(理)设=1n1.01,人=等，。=工，(其30eIO1中自然对数的底数e=2.71828)贝U()A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b【答案】D【详解】构造函数x)=1nxx+1(x>0),J(I)=O,/(力=。_I=所以/(x)在(U)上/(%)>0j(x)递增,在(1,+)上/(x)<0,(x)递减，所以x)"1)=O,BP1nxx-1,令X=1o1,贝!ja=1nx,万,c=1一,，考虑至!j1nxx-1,可得1n'='-1,即-Inx-1,30e%XX