专题06 函数图象的对称性（解析版）.docx

专题06函数图象的对称性一、结论已知函数J(X)是定义在R上的函数.(1)若/(X+，)=/S-X)恒成立,则y=的图象关于直线X="对称,特别地，2若f(a+%)=f(a-X)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线X=Q对称；最常逆应用：若y=(%)关于X=Q对称：可得到如下结论中任意一个：fa+x)=fa-x)< f(x)=f(2-x)；/(-x)=(2+x)周期性与对称性记忆口诀：同号周期，异号对称.(2)若/(a+x)=/S)+g则尸/的图象关于点(审卷)对称.特别地,若f(a+x)=-f(a-x)+2b恒成立,则y=/的图象关于点(a,b)对称.特别地,若/(+X)=/(，1)恒成立,则y=J(X)的图象关于点(。,0)对称.最常逆应用：若V=/(%)关于=Q对称：可得到如下结论中任意一个：f(a+x)=-f(a-x)< f(x)=-f(2-x)f(-x)=-f(2+x)二、典型例题1. (2023四川雅安模拟预测(文)已知函数/(X)是定义域为R的奇函数，且/(x+1)是偶函数.当0<x1时，/(x)=x2-8x+15,贝J(7)=()A.-16B.-8C.8D.16【答案】B【解析】由%+1)是偶函数可知/对称轴为x=1,故/(T)=是(2+x).(1),又函数/为奇函数，故/(-%)=-/(%)(2),综合(1)(2)得：“X+2)=/(X)可得到函数最小正周期为7=4,所以7)=/(-1)=-1)=-(1-8+15)=-8.故选：B【反思】函数的对称性和周期性，奇偶性，往往是紧密结合在一起的，其综合性更丰富考查函数的性质，如本例中/(%)对称轴为X=1,可以得到很多结论，比如：f(I-X)=/(1+),/(%)=(2-x),x)=(2+x)等，那么在解题时如何取舍呢，选哪个结论能更快的解题？对于这个疑问，需同时兼顾本例中/(x)是定义域为R的奇函数，可得到/(-x)=-(x),纵观整体，可以看出对于/对称轴为x=1得到的结论中选取f(-x)=(2+x)从而进行快速求出周期.2. (2023全国模拟预测(文)2知定义在R上的奇函数/(“满足/(九+1)=-/(T+九),且在区间1,2上/是增函数，令Q=S吟=siy,C=Siny,则/，f,/(C)的大小关系为.【答案】H>(c)>()【解析】44)是定义在R上的奇函数，可得到：/(T)=-/(九+1)=/(1+x)n/(九+2)=-/(%)联立得/(x+2)=f(-x)所以关于=1对称.由于/(x)在1,2上递增，所以/(%)在0递减.5.(2兀1.2c-sin=sin=sin,7I7J7y=Sin%在(0,/上递增，所以a<c<b,所以/()>(c)>“"故答案为：H>(c)>()【反思】函数的对称性和周期性，奇偶性，往往是紧密结合在一起的，其综合性更丰富考查函数的性质，本例中，用数学符号/(-%)=-/(%)表示出/(%)是定义在R上的奇函数，通过化简x+1)=/(1+x)=(尤+2)=/(x)再联立，可得到：/(+2)=(-x)这样就得到了：/(%)关于x=1对称.这也是周期性，奇偶性，对称性常考的形式.解题时注意利用已知条件，尤其是对称性的逆应用.三、针对训练举一反三1. (2023黑龙江哈尔滨市第六中学校二模(理)已知定义域为R的函数/(同在2,+)单调递减，且"4)+(x)=0,则使得不等式/(/+*+2力<。成立的实数I的取值范围是()A.-4<x<1B.xv1或x>3C.1<-3或x>1D.x<T或x>1【答案】D【详解】解：/(4-x)+(x)=0,则/关于(2,0)对称,因为/(%)在2,+)单调递减，/(x)在R上单调递减，又/(2尤)=-7(4-2尤).f(x2+x)+f(2x)<0<(x2+x)-(4-2x)<0,/(f+)<(4-2x),*x2+x>4-2x<>x>1x<-4,故选：D.2. (2023宁夏六盘山高级中学一模(理)已知函数/是R上的满足/(1+x)=J1-%),且了(%)的图象关于点(1O)对称，当x0,1时，f(x)=2-2贝U/(O)+1)+/(2)+”2023)的值为()A.-2B.-1C.0D.1【答案】D【详解】/(1+)=(-1-)()=(-),又/(%)关于(1O)对称,./(%+2)=-/(-X)=-/(X)=/(%+4)=-/(x+2)=/(X),./(%)的周期为4,由函数解析式及性质易知，/(0)=1,/(1)=0,”2)=1,A3)=0,/(0)+/(1)+/(2)+/(2023)=505(0)+/(1)+/(2)+/(3)+/(2023)+/(2023)=0+/(0)+/(1)=1故选：D.3. (2023全国二模(理)已知/(九)是定义域为火的奇函数，/(1+x)=(1-尤)，当0九<1时，/(x)=-1,贝2x3时，/(%)的解析式为()A.f(x)=1-ex-2B./()=-2-1C.f(x)=1-ex-1D.f(x)=ex-1-1【答案】A【详解】AX)是定义域为R的，所以/(-%)=-/(%),因为/(1+x)=/(1-x),所以/(X)的一条对称轴方程为X=1=E=1,当O<x<1时，f(x)=ex-1,所以当一1xW0时，0-%1,/(-x)=e-1=-(x)所以/(X)=IjT,贝2x3时，一12-x0,所以/(2x)=1”3)=1_*2,即f()=1-ex-故选：A.4.(2023山东滨州一模)定义在区上的偶函数“满足2+九)=27),当了句2,0时，/(x)=x+2,设函数MX)=eTTj2<x<6)(。为自然对数的底数)，则/(x)与MX)的图象所有交点的横坐标之和为()A.5B.6C.7D.8【答案】D【详解】因为"4)满足"2+%)="27),所以/(%)图象关于直线x=2对称，因为44)是R上的偶函数，所以4k)图象关于直线X=。对称，所以八4)的周期为4,MX)=e*Z(_2<%<6)的图象关于直线X=2对称,由xe-2,0时，/(x)=x+2,作出/(x)图象如图和MX)=e*ZQ2<x<6)的图象且X+羽=2+=?22所以七+%+又=8,所以"x)与MX)的图象所有交点的横坐标之和为8,故选：D5. (2023河南二模(文)已知定义域为R的函数/(%)在2,+)单调递减，且/(4-x)+(x)=0,则使得不等式M+)+(+1)<O成立的实数X的取值范围是()A.-3<X<1B.X<-1或x>3C.XV-3或x>1D.x-1【答案】C【详解】/(4-x)+(x)=0,则/3关于(2,0)对称,因为了在2,+)单调递减，所以/在R上单调递减，所以%+1)=/(3%),由/(炉+,+/(%+1)。得+%)/%)<0,所以/(/+可</(3X),所以f+%>3-%,解得x>1或x<3.故选：C.6. (2023黑龙江肇州模拟预测(文)已知/(4)是定义在火上的函数，且对任意xR都有/(x+2)=/(2-x)+4/(2),若函数y=(%+D的图象关于点(TO)对称,且/=3,则/(2023)=()A.6B.3C.OD.-3【答案】D令x=O,得/(2)=/(2)+4/(2),即/(2)=0,所以/(x+2)=(2-%),因为函数J=/(x+D的图象关于点(T,。)对称，所以函数y=/(X)的图象关于点(0,0)对称,即f(-x)=-f(x),所以/(X+2)=/(2T)=-J(X-2),BP/(x+4)=-(x),可得/(+8)=/(x),则/(2023)=/(253X8-3)=/(-3)=/=-3,故选：D.7.(2023广西模拟预测(文)7知AX)是定义在R上的奇函数,满足了(1+九)=(1),/(1)=2,则/(2)+/(3)+/(4)=()A.0B.-2C.2D.6【答案】B【详解】因为/(1+x)=/(1-x),所以/关于直线x=1对称；又因为AX)是定义在R上的奇函数，所以/(1+x)=(1-x)=/(x1),/(0)=0,贝U/(x+2)=/(x),因止匕/(x+4)=/(x+2)=(x),所以了(%)是周期为4的函数，因此"4)=/(0)=0,/(3)=/(-1)=-/(1)=-2;又了关于直线x=1对称，所以2)=O)=0；因此2)+3)+4)=02+0=2。故选：B.8. (2023全国全国模拟预测)请写出一个同时满足条件的函数/(X)=.VxR,f(1-x)=f(1+x);函数/(x)的最小值为1函数/(#不是二次函数.【答案】-+【详解】由VxeR,41-x)="1+x)可得：函数/(%)图象的一条对称轴为直线x=1.因为函数4X)的最小值为1且函数八可不是二次函数，所以可选取")=+.(答案不唯一)故答案为：-1+19. (2023江西新余市第一中学模拟预测(文)已知定义在R上的奇函数/(%),满足f(x+2)=-/(x),且当x0,1Hf,f(x)=x2+x+sin,若方程f(x)=机(加>0)在区间-4,4上有四个不同的根不，%，%3，%4，贝IJ1+¾的值为.【答案】-4【详解】解：/(%-2)=-/(%),'.f(x-4)=-f(x-2)=f(x)f即函数的周期是4,且/(x2)=/=/(%),则函数的对称轴为：X=-I,“X)是奇函数，所以X=I也是对称轴，0,1时，/(x)=X2+x+sinx,函数是增函数，作出函数/(尤)的简图如下：若方程7(X)=机>。)在区间I，4上有四个不同的根4，元2，13，元4，则四个根分别关于=-3和X=1对称，不妨设，贝“$+=-6,x3+X4-2,贝I芯+%+%3+*4=-6+2=4,故答案为：-4.(2023江西上饶三模(理)已知函数/定义域为R,满足AX)="2-%),且对任【答案】(-8,0,+【详解】因为函数/(力满足/(X)=/(2-X),所以函数/(%)关于直线X=I对称，X1-X9八因为对任意1%<,均有7（X）（X丁"成立，所以函数/（X）在1+8）上单调递增.由对称性可知/（%）在（-,1上单调递减.因为1）"3x）0,即/（2九一1）（3九）,所以|2x11闫3%1|,gp2x-22-x,故答案为:4（-,O,+