专题01 有理数（原卷版）.docx
专题O1有理数【题型汇总】【知识要点】知识点一有理数基础概念有理数正数：大于0的数叫做正数。根据需要，有时在正数前面加上正号“+”，但是正数前面的正号“+”，一般省略不写。负数：正数前面加上符号“-”的数叫负数。负数前面的负号“-”不能省略。【易错点】1）0既不是正数，也不是负数，也可以说0是正数和负数的分界线。2）-a可能是正数、负数或0。（当a是正数时，F是负数；当a是负数时，-a是正数；当a=0时，-a=0,0不分正负。）3）正数和负数表示具有相反意义的量。若用正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反的量，反之亦然。常见的表示相反意义的量（举例）：上升与下降，增长与减小等。【如何判断一组词是否具有相反意义的量】解题的关键是理解''正和''负的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量.在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.热考题型一理解正数与负数【解题思路】1）大于O的数叫做正数。小于O的数叫做负数。2）正数和负数表示具有相反意义的量。若用正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反的量，反之亦然。典例1.（2023云南中考真题）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家.若零上10团记作+10团，则零下10国可记作（）A.100B.00C.-100D.-20回变式11.（2023四川巴中市教育科学研究所中考真题）下列各数是负数的是（）A.（1）2B.I31C.（5）D.V-8变式12（2023江苏镇江中考真题）五月天山雪，无花只有寒，反映出地形对气温的影响.大致海拔每升高IOO米，气温约下降0.6冤.有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是6久，则此时山顶的气温约为.有理数的分类：正整数T类（有理数性质分类有理数定义分类O负整数正分数负分数正有理数O负有理数正整数正分数负整数负分数【易错点】1）有限小数和无限循环小数可以转化为分数,因此有限小数和无限循环小数是有理数。（例：0.53、1.333333.等）2）无限不循环小数不能化成分数,因此无限不循环小数不是有理数。（例如：）3）对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0。4）最小的正整数1。最大的负整数1。最小的自然数O。热考题型二理解有理数【解题思路】理解有理数的定义，熟练掌握与正确理解有理数的分类是解题的关键。典例2.（2023广西来宾中考真题）下列各数是有理数的是（）变式21（2023山东省诸城市三模）若x+W=O,那么实数工一定是（）A.负数B.正数C.零D.非正数变式22（2019湖北咸宁中考真题）下列关于。的说法正确的是（）A.0是正数B.0是负数C.。是有理数D.。是无理数变式23（2019四川乐山中考真题）一。一定是（）A.正数B.负数C.0D.以上选项都不正确数轴概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。画数轴步骤：画直线-取原点-规定正方向-单位长度。【易错点】1）数轴是一条可向两段无限延伸直线。2）数轴的三要素缺一不可。3）同一数轴上的单位长度要统一。4）在数轴上原点，正方向的选取（通常规定向右方向），单位长度的大小需根据实际情况而定。5）任何有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数，所以有理数与数轴上的点不是二一对应的,实数与数轴上的点一一对应。利用数轴比较两个数大小：依据：数轴上的点表示的数从左到右依次增大;原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.方法：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大。热考题型三用数轴上的点表示有理数【解题思路】任何有理数都可以用数轴上的点表示，数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数。典例3.（2023内蒙古鄂尔多斯中考真题）如图，数轴上点八表示的数的相反数是（）A-3-2-101231a-2B.-C.2D.3变式31.（2023广西玉林中考真题）若X是非负整数，则表示三用的值的对应点落在下图数轴上x+2（%+2）2的范围是（）/、/y、/V110132.5xA.B.C.D.或变式32（2023山东临沂中考真题）如图，4B位于数轴上原点两侧，且。区=2。4若点B表示的数是6,则点Z表示的数是（）40P0A.-2B.-3C.-4D.-5变式33（2023江苏盐城中考真题）实数。力在数轴上表示的位置如图所示，则（）U0J-A.1>0B.a>bC.a<bD.，|<网变式34（2023北京中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示.若实数h满足-贝Uh的值可以是（）aAQ1AA.A-3-2-10123A.2B.-1C.-2D.-3变式35（2023内蒙古中考真题）点八在数轴上，点八所对应的数用2+1表示，且点八到原点的距离等于3,则。的值为（）A.2或1B.2或2C.-2D.1热考题型四根据点在数轴的位置判断式子正负【解题思路】数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数。典例4.（2023宁夏中考真题）已知实数,b在数轴上的位置如图所示，则含+白的值是（）Ia1Ib1I11»a0bA.-2B.-1C.0D.2变式41.（2023四川内江中考真题）如图，数轴上的两点4B对应的实数分别是q、b,则下列式子中成立的是（）IIIIIP1A-2-1012b3A.1-20>1-2bB.-a<-bC.cz+b<OD.a-b>0变式42.（2023内蒙古内蒙古中考真题）实数Q在数轴上的对应位置如图所示，则笳+1+1|的化简结果是（）-1012A.1B.2C.20D.1-2a变式43.（2023江苏镇江中考真题）如图，数轴上的点八和点B分别在原点的左侧和右侧，点小B对应的实数分别是Q、b,下列结论一定成立的是（）i_1Ja0bA.a+b<0B.ba<0C.2a>2bD.+2<h+2相反数概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）【注意事项】D特别注意，0的相反数是0。2）相反数是成对出现的，不能单独存在，并且这两个数除符号不同以外数字完全相同。意义：任何一个数都有且只有一个相反数。（正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0.）几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧;反之，位于原点两侧且到原点距离相等的点所表示的两个数互为相反数。表示方法：通常一个数a的相反数可以表示为-a。【注意事项】D通常a与F互为相反数；2） a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0；3） 一个数的前面加上“-”号表示这个数的相反数。4）解题关键，若两个数互为相反数，则它们的和为0。5）相反数等于它本身的数只有0。多重符号化简：当“-”号的个数为偶数时，化简结果为正；当“-”号个数为奇数时，化简结果为负。热考题型五相反数的判定【解题思路】理解相反数的概念。典例5.（2023河南中考真题）-押相反数是（）1 1A.-2B.2C.D.2 2变式51.（2023湖北宜昌中考真题）下列说法正确的个数是（）一2023的相反数是2023；一2023的绝对值是2023；心的倒数是2023.A.3B.2C.1D.O变式52（2023内蒙古包头中考真题）若a,b互为相反数，c的倒数是4,贝3q+3b-4C的值为（）A.-8B.-5C.-1D.16变式53（2023湖南湘潭中考真题）如图，点4、B表示的实数互为相反数，则点B表示的实数是（）AB-2OA.2B.-2C.-D.-22变式54（2023湖北荆州中考真题）实数Q,b,c,d在数轴上对应点的位置如图，其中有一对互为相反数，它们是（）I1111»abCOdA.o与dB.b与dC.C与dD.Q与C绝对值概念：一般数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值，记作a,读作“a的绝对值。几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。（a（>0）,绝对值的表示方法：-II'II-0（<0）.【扩展】1）非负数的绝对值等于他本身，即aZ0a=a。2）非正数的绝对值等于它本身的相反数，即aW0oa=-a。3） 一个数的绝对值不可能为负数。4） 一个负数的绝对值是它的相反数。性质（解题思路）：1）任何一个数的绝对值总是正数或零（非负性），BP：a0o2）0的绝对值是0,即：a=0oa=0。（扩展：绝对值最小的数是0）3）互为相反数的两个数绝对值相等,BP：a+b=O或a=-boa=b04）绝对值相等的两个数相等或互为相反数,即：Ia1=Ibna=b或a-b。5）绝对值等于同一个整数的数有两个，它们互为相反数，即：x=ax=土a。6）若几个数的绝对值的和为0,则这几个数分别为0,BP：a+b+c+.+m=0a=b=c=.=m=0o7）若WU=,则a>0,若叵!,则a0。C1C1利用绝对值比较两个有理数的方法：1）两个负数比较，绝对值大的反而小。2）两个正数比较，绝对值大数越大。对含有字母的绝对值化简求值（重点难点）：步骤：I）首先判断这个数是正数、负数还是0.2）再根据绝对值的意义判断去掉绝对值的符号。例1：化简-4第一步：取0点：令X-4=0,得X=4;第二步：取范围：xW4和x>4或x<4和x24；第三步：在各范围内化简：当x4时，-40,.*.I-41=-（-4）=-+4当x>4时，-4>0,.*.I-41=-4.例2：求IX-I1+x+2的最小值解：由x-1+x+2的几何意义是数轴上表示数X的点到表示数1和-2两点的距离的和，要使和最小，则表示数X的这点必在-2和1之间（包括这两个端点）取值。|x-1+x+2的最小值是3热考题型六求一个数的绝对值【解题思路】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；。的绝对值是0。典例6.（2023广东中考真题）I-2|的值等于（）D.-2)D.-202311A-2B.-5C.-变式61.（2023辽宁锦州中考真题）-2023的绝对值是（变式62（2023四川南充中考真题）下列计算结果为5的是（）A.（+5）B.+（5）C.（5）D.I51变式63.（2023浙江衢州中考真题）计算结果等于2的是（）A.-2B.
