(人教A版选择性必修第二、三册)4.1数列的概念与简单的表示-(教师版).docx

数列的概念与简单的表示知识剖析1数列的相关概念(I)定义：数列是按照一定次序排列的一列数；(2)数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，第一项常称为首项;(3)数列的表示:数列的一般形式可以写成的,劭，%1,，简记Qj2数列的分类分类标准名称含义例子按项的个数有穷数列项数有限的数列1,2,3,4,.fn无穷数列项数无限的数列1,2,3,4,n,n+1.按项的大小递增数列an>an_r(n2)2,4,8,2n,.递减数列an<an_r(n2)1111-,2,3,'",n,"'常数列每项都相等的数列1,-摆动数列每项的大小忽大忽小的数列1,2,3,4,5,.3数列与函数的关系数列就是定义在正整数集N*(或它的有限子集1,2,3.几)上的函数/(几)，其图象是一系列有限或无限孤立的点.PS日后研究数列的性质可以从函数的角度出发，比如单调性，最值等.4通项公式如果数列%1的第n项与序号九之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.Eg数列1,0,1,0,，其通项公式可以是册=上甘丝=Sif冒等.注：(I)时与(是不同的概念，时表示数列的,a2,，而即表示的是数列的第九项；(2)数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值.5递推公式若已知数列ar的第一项的（或前几项）,且任一项r和它的前一项（或前?!项）间的关系可以用一公式表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式.Eg的（初始条件）,an=2an.1+3n（递推关系）；a1=1fa2=2（初始条件），（=3n_1-2%_2（递推关系）6册与SrI的关系若Sr1为数列Qr1的前Ti项和,即Sr1=Q1+2+.+n.则FS1Sr1T,71t经典例题【题型一】对数列的相关概念的理解【典题1下列有关数列的说法正确的是（）数列1,2,3可以表示成1,2,3；数列1,0,1与数列1,0,1是同一数列；数歹U。的第k1项是W；数列中的每一项都与它的序号有关.A.B.C.D.【解析】对于，1,2,3是集合，不是数列，故选项错误；对于，数列是有序的，故数列-1,0,1与数列1,0,-1是不同的数列，故选项错误；对于，数列的第/c-1项是Fr故选项正确；对于，由数列的定义可知，数列中的每一项都与它的序号有关，故选项正确.故选：B.【点拨】注意集合与数列的在“顺序、异同性、表示方法”上的区别.数列是有序性，集合是无序性的；集合是互异性的，但数列不作要求.【典题2】数列%J为从Q°开始的非负整数有限数列，见表示在这个数列中i出现的次数.那么数列的项数不可能是（）A.4B.5C.6D.7【解析】七表示在这个数列中i出现的次数.(理解这个是关键)当劭=2=O,劭=2,g=。时，满足条件，此时数列有4项，故排除4当劭=2fa1=1,a2=2fa3=O,a4=O时，满足条件，此时数列有5项，故排除3；当劭=3,a1=2fa2=1,a3=1,a4=O,as=0,a=0时，满足条件，此时数列有7项，故排除D；故选：C.【点拨】本题是选择题，优先考虑排除法.【典题3】求数歹U强是增减性.【解析】方法一作差法_n+1n_2%+1ann+3n+2(n+3)(n+2)'所以%+1>Q小故数列毒是增数列.方法二作商法an+1_n+1n+2_n2+3n+21ann+3nn2+3n'又1>0,所以%+>%1,故数列看是增数列.方法三函数思想n1M=能二字'n."(%)=W在(0,+8)递增，.an=展也是随着?!的增大而增大，Xn故数列热是增数列.或册=看=1后，由/(%)=1-高在(0,+8)递增也可得结论.【点拨】求证数列单调性，常用方法有三：作差法，比较%+1%与O的大小；作商法，比较笠;与1的大小，此时要注意时的正负；视通项公式为函数解析式，用函数单调性的方法处理，此时要注意几的取值范围是正整数.【典题4】已知数列g满足“=24(-/，若数列.是单调递减数列，则实数4的取值范围是.【解析】数列g是单调递减数歹U,则b71+bn-2/(一(71+I)22(+Ti2-6/(2九10,(利用减数列的概念，相当于得到一个恒成立问题，可想到分类参数法求解，由于(一3九的存在，需要对般的奇偶性进行分类讨论)当九为偶数时，64<*=(2几+1)(-2)n=(2n+1)2n,由于(2九+1)2九为递增数列，则数列(2九+1)2n的最小值(2×2+1)-22=20,.6<20,即2<协由于(2n+1)2九为递减数列，则数列(2n+1)2马的最大值(2×1+1)-2=-6,综上所述实数4的取值范围是(-1号.【点拨】本题充分考核了数列单调性的运用，其中也满满的“函数思想、遇到类似(-(),(-1尸式子进行奇偶性分类讨论是常用手段.【典题5】若数列9+4)(|中的最大项是第Zc项，求上【解析】令%1=n(n+4)()n,假设皿=空产号r=1m1(作商法)ann(n+4)(-)n3n(+4)则2(+1)(n+5)3n(n+4),即M10,又九是整数，即九3时，an+1>an;当n4时，n+1<n;所以04最大.【点拨】本题通过讨论数列mm+4)()的增减性，从而得到最大值，其中就有函数思想的影子.巩固练习1(*)下列叙述正确的是()A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是同一数列B.数列0,1,2,3,的通项公式是“=九C.-1f1f-1f1,是常数列D.1,2,22,23,是递增数列，也是无穷数列【解析】根据题意，依次分析选项：对于4、数列135,7与数列7,531中顺序不同，不是同一数列，故Z错误；对于3、数列0,1,2,3,的通项公式是。九=九一1，故3错误；对于C、常数列的通项为%1=,则一1,1,1,1,不是常数列，故C错误；对于。、1222/3,是递增数列，也是无穷数列，故。正确.故选：D.2()对于项数都为Tn的数列r和¼1,记瓦为Q1,劭,，ac(k=1,2,，n)中的最小值，给出下列命题：若数列%的前5项依次为5,5,3,3,1,则以=3;若数列%是递减数列，则数列%1也是递减数列；数列g可能是先递减后递增的数列；若数列&1是递增数列，则数列g是常数列.其中，是真命题的为()A.B.C.D.【答案】D【解析】由数列%的前5项依次为55331，可知%=5,25,%=3,43,错误；若数列%是递减数列，则数列%1也是递减数列是正确的；若数列%J是递增数列或常数列时，则¼J是常数列，若数列%1是递减数列时，则¼J是递减的，.是错误的；是正确的.故选：D.3(*)数列1,1,2,3,5,%,13,中的%等于()A.6B.7C.8D.11【答案】C【解析】数列的规律为每两项相加的数值为后一项，则3+5=x=8,故选：C.4()【多选题】满足下列条件的数列3JSN*)是递增数列的为()A.C1nB.an=n2+nC.an=12nD.an=2n+1【解析】根据题意，依次分析选项:对于4an=-,a1=1,a2=不是递增数列，不符合题意，“T11Z2/、2对于B,an=n2+n,anan_1=n2+n(n1)(-1)=2n>0,是递增数列，符合题意,对于C,an=12n,an-an-1=(12n)12(-1)=2,不是递增数列，不符合题意，对于。，an=2n+1f函数y=2、+1为递增函数，则即=2"+1是递增数列，符合题意，故选：BD.?()已知数列时是递增数列，且对于任意几N*,时=n2+2Q+1,则实数4的取值范围是【答案】A>I【解析】数列%1是递增数列，.对于任意nN*,an+1>an,(71+I)?+2(+1)+1>Ti2+2/71+1,化为：>,数列-2:1单调递减,>|.“)已知数列册=8+符若其最大项和最小项分别为M和租，则Tn+M的值为1【答案】翳【解析】数列时=8+等，若其最大项为Ti项，则优咤FT1anan+1（8+也>8+迎W;fn<iiB）2九-2n-1-2岗8+也>8+%空?V2n-2n+1I2nEN,九=5,a5=五为最大项，n+8时,an8,V1y最小项为3，1,1rrtr311.11.259435m+M的值为5+=7()已知时满足=(九一4)2九(nN*),若%J是递增数列，则实数4的取值范围是【答案】(一8,3)【解析】,时是递增数列，an+1>an,.(n+1)2n+1>(n-)2n,化为：<n+2,对VN*都成立.故答案为:(8,3).8()在数列<中，已知r=,且。2a3求通项公式时;(2)求证：%J是递增数列；(3)求证：1Qr<.【答案】(DM=翁(2)见解析(3)见解析【解析】解：由题意，可知2a63a9°2=砺=T%=砺=7整理联立方程组,得短罂二%解得f13n*C1ri-.n2n+1(2)证明:(1),知_3(n+1)_3(九+1)“九+1-2(n+1)+1-2n+3'则册+1f=3一4=3(n÷1)(2n÷1)-3n(2n÷3)=_3_n+1n2n+32n+1(2n+1)(2n+3)(2n+1)(2n+3)数列%J是递增数列.(3)证明:由(2),可知当T1=1时，数列%1取得最小值Q1=1,.1n<|,故得证.【题型二】数列与函数的关系【典题1】数列<的通项0=-3+2023几+1,当QrI取最大值时，n=【解析】方法一数列的单调性2根据题意，an.1=-3(n-1)+2023(n-1)+1,则Qnn-1=-6n+2023,当1336时，QrI-Qr1>0,即ar>(,当Ti337时，Qr1-a71<0,即<%_:而由37>。336，故数列®1各项中最大项是第337项.方法二函数法依题意，an=-3n2+2023n+1,表示抛物线/(n)=3n2+2023n+1当九为正整数时对应的函数值，又y=3x2+2023%+1为开口向下的抛物线，故到对称轴=-野=手距离越近的点，函数值越大，2X(-3)3故当71=337时，即=/(九)有最大值.【点拨】数列是特殊的函数，可用数形结合的方法，但要注意自变量九是正整数.【典题2】数列%J的通项即=，则数列册中的最大值是.