(人教A版选择性必修第二、三册)5.4导数与函数的极值、最值-(教师版).docx

导数与函数的极值、最值知识剖析1极值的概念若在点=Q附近的左侧尸(%)<0,右侧尸(%)>0,贝IJQ称为函数y=/(%)的极小值点，f()称为函数y=/(%)的极小值;若在点=b附近的左侧尸(%)>0,右侧/(%)<0,贝防称为函数y=/(%)的极大值点，/(b)称为函数y=“%)的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.PS：把函数图象看成一座“山脉1极大值就是“山峰1极小值就是“山谷1如下图；极值是“函数值y"，极值点是“自变量工值”，如下图有极大值f(-1)和f(1),极小值/(-2)和f(2),极大值点-1和1,极小值点-2和2.对于极值还有特别强调一下Eg设质是函数y=f(%)的极值点，则下列说法准确的是()A.必有f'(%o)=0B.尸(而)不存在C.=0或r(%。)不存在D.f'(%o)存在但可能不为0解析：函数/O)=/,f'(%)=3x2,(0)=O,但<O时，尸(X)>0；%>O时，f'(%)>0；故根据极值的定义，。不是函数f(%)=/的极值点，这个从函数图象也很容易知道.又如函数g(%)=x,当<0时，g'(%)=1<0；当>0时，g'(%)=1>0；所以g(%)在=0处取到极值，但在导数不存在；故选C.总结若f(%)可导，且%。是y=/(%)的极值，则&是f(%)=0的解;若%。是f'(%)=0的解，。不一定是y=/(%)的极值点.定义很重要.2求函数的极值的方法解方程广Q)=0,当,(x0)=。时:(1)如果在%。附近的左侧f'(%)>0,右侧/(%)<0,那么f(q)是极大值;(2)如果在&附近的左侧尸(%)<0,右侧/(%)>0,那么f(%。)是极小值.3函数y=(吗在口力上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y=f(%)在(Q,b)内的极值;(2)将函数y=f(%)的各极值与端点处的函数值/(),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.经典例题【题型一】极值的概念【典题11【多选题】设函数/(%)的定义域为R,%o(%oWO)是f(%)的极大值点，以下结论错误的是()A.V%R,f(x)/(X0)B.%。是/(一%)的极小值点C.%。是f(%)的极小值点D.%。是f(%)的极小值点【解析】对于4极大值并不一定是最大值，故错误；对于8,/(-%)是/(%)关于y轴对称的图象，-%o应是/(-%)的极大值点，故错误；对于C,/(%)是/(%)关于轴对称的图象，o应是一/(%)的极小值点，而%。W0,故错误；对于。，-/(-%)相当于f(%)关于原点对称的图象，-是-/(-%)的极小值点故正确.故选：ABC.【点拨】熟悉函数图象的变换：“一%)相当于/(%)关于y轴的对称图象，一/(%)相当于/(%)关于轴的对称图象,f(一%)相当于f(%)关于原点对称的对称图象；数形结合是个好方法.【典题2】如图，已知直线y=c%+in与曲线y=/0)相切于两点，则F(%)=/(%)-有()A.1个极大值点，2个极小值点B.2个零点C.0个零点D.2个极小值点，无极大值点【解析】由原图可知，k<0,m>0,设原图中的两切点横坐标为Qfb.再在同一坐标系中做出y=/(%)与y=c%的图象如图：由图可知，y=/(%)与y=h没有公共点，故函数尸(X)没有零点.直线=ri与y=f(%)、y=for分别交于点4、B,贝|尸(%)的函数值可以理解为线段43长度;由图可知：当(8,a)时，F(%)单调递减；当(q,c),F(%)单调递增；当e(c,b)时，F(%)单调递减；当久(b,+8)时，F(%)单调递增.故,b是函数F(%)的极小值点，C是RQ)的极大值点.故选：AC.【点拨】分析函数极值可先分析函数单调性.F(%)的函数值可以理解为线段/3长度这样更好由图象得到函数单调性.【典题3】若函数/(%)=/%+Q"工有两个不同的极值点，则实数的取值范围是【解析】因为f(%)=|%2-%+仇久有两个不同的极值点，所以/(%)=%1+(=宁三在(0,+8)有2个不同的零点，所以y=/%+。在(0,+8)有2个不同的零点，(二次函数零点分布问题，数形结合)所以4。>°,解得o<<1【点拨】对于可导函数/(%)有几个极值，则导函数/'(%)有几个零点；在求解过程中进行转化一定要注意等价转化，本题中不要若f(%)=一汽+。上久有两个不同的极值点ny=/一%。有2个不同的零点，那就错，它缺了“定义域工>(F的考量.巩固练习1()已知函数八%)的导函数为/'(w，函数g(%)=(%1)'(%)的图象如图所示，则下列结论正确的是()A./(%)在(8,2),(1,2)上为减函数B./(%)在(2,1),(2,+8)上为增函数C./(%)的极小值为/(-2),极大值为/(2)D.f(%)的极大值为/(-2),极小值为f(2)【答案】D【解析】当X£(8,2)时,X1<0,由图象可得g(x)=(-iyr(x)<O,则/(x)>Oi>)为增函数;当X(-2,1)时,X1<0,由图象可得g(x)=(x1»(X)>0,则/(x)<0<x)为减函数；当x(1,2)时,x1>0,由图象可得g(x)=(x1»(x)<0,则/(x)<0x)为减函数；当代(2,+8)时,%1>0,由图象可得g(x)=(11»(X)>0,则/(%)>0於)为增函数，所以加0的极大值为八一2),极小值为汽2),结合选项可知,只有选项D正确.故选：D.2")已知函数f(%)=等的极值点为=%。，则%。所在的区间为()A.(0，)B.(1,1)C.(1,2)D.(2,e)【答案】C【解析】f(X)=令g(x)=I-,阳则g(x)单调递减且g(1)=1>0,g(2)=I-1n2<0,由零点判定定理可得由£(1,2).故选：C.3(*)若函数f(%)=/一(+2)%+QM%既有极大值又有极小值，则实数Q的取值范围是【答案】。>0,且o2【解析】因为/)=%2(+2)x+ou:既有极大值又有极小值，且/(%)=2xa2+=2=2=(2%-0)(%-1)>0),所以/(x)=0有两个不相等的正实数解，所以：>。,且T1懈得。>0,且a2.4()若函数/(%)=/一C+3)%2+2ax+3在=2处取得极小值，则实数Q的取值范围是.【答案】a<6,【解析】f(%)=%3_G+3)%2+2ax+3,则f'(%)-3/(+6)%+2a,由题意得：f(2)=0,即12-2-12+2Q=Oj'(2)恒为0,”2)是极小值,X<2时,函数单调递减,%>2时,函数单调递增，结合二次函数的性质/(x)的对称轴在x=2的左侧，即<2,故Q<6,又4=(+6)2-24Q=(6)>0,故Q<6,$()若函数f(%)=%3-3%2+12%(q>0)存在两个极值点1,%2，则f(%)+f(第2)的取值范围是.【答案】(一8,16)【解析】因为函数f(%)=X33ax2+12x(a>0)存在两个极值点打,亚，所以/'(%)=3%26ax+12=3(x22ax+4)=0的两个根为x1,%2,则=4216>0且Q>0,解得。>2,x1+x2-2,x1x2=4,所以f(%)+/(x2)=婢+球3(%+%2)+12(T1+x2)=(x1+x2)(x+x2)2-3x1x23(x1+x2)22x1x2+12(x1+x2)=2(4212)3(428)+24Q=-43+24(>2),令以Q)=-43+24Q(Q>2),则()=-I1a2+24<0,即(a)在(2,+oo)上单调递减，所以九(Q)<(2)=16,所以f(%1)+f(%2)的取值范围是(一8,16).【题型二】求函数极值【典题1已知函数f(%)=x1nx+%2,%0是函数/(%)的极值点，以下几个结论中正确的是()A.0<Xg<B.Xg>-C.f(x0)+2%o<0D./(%0)+2%o>0【解析】"'(%)1nx+1+2%在(0,+8)时单调递增，f'(%)=Inx+1+2%至多有一个零点，W。，r()=->根据零点判定定理可知/(%)=1nx+1+2第在©，)上存在零点，%。是函数/(%)的极值点，*It1Xq+1+2xq=0,且/VXoV/排除4、B,而g(%o)-/()+2%o=x01nx0+x02+2x0=x0(-1-2x0)+x02+2x0=-x02+x0fy=g)在(己递增,.g)>gR)>0,:/()+2%o>0,故选：D.【点拨】。是y=1%+1+2%的零点，可用零点判定定理判断工。的大致范围，这属于“隐零点问题'0是可导函数/(%)的极值点，则满足/'(%o)=OnInx0=-1-2x0,可化简g(%o)=/(x0)+2%。再求它最值.【典题2讨论f(%)=X2+(Tn2)%m%的极值点的个数.【解析】函数的定义域为(0,+8),ff(x)=2x+m-2-2x2+(jn-2)x-m_(2x+m)(x-1)XX令/'(%)0，得%/或=1，当即7?i<2时,在(0,1)和(+)±,(x)>0,在(1上,/'(%)<0,.当=1时，"%)取得极大值，当=-£时，f(%)取得极小值，故/(%)有两个极值点;/(%)在(0,+8)上单调递增，无极值点;当0<即2<THVO时,在(0厂安和(1,+8)上，/(%)。，在(三，1)上，rc%)<o,.当=-5时，/(%)取得极大值；当=1时，/(%)取得极小值，故/(%)有两个极值点;当0,即70时,在(0,1)上，(%)<0,在(1,+8)上，,()>0,故=1时，函数求得极小值，无极大值，f(%)只有一个极值点.综上，当Tn=-2时，f(%)极值点的个数为0；当nO时，f(%)的极值点的个数为1；当Tn<2或2<m<0时，/(%)的极值点的个数为2.【点拨】讨论含参函数的极值问题，可转化为含参函数的单调性问题，导函数是“二次函数”型，要注意导函数有几个零点，若有两个零点-三、1则比较大小，还要注意零点-5与定义域端点0的大小.分析出导函数图象，进而得到原函数的趋势图，便可很容易得到极值个数.【典题3讨论函数f(%)=x1nx-x2+(-1)x(R)的极值点的个数；【解析】/(%)的定义域是(0,+8),(x)=Inx-X+a,令0(%)=仇%-+Q，则g'(%)=§-1=?，(构造函数，二次求导)当(0,1)时，g'(%)>0,g(%)单调递增,即/(%)单调递增；当(1,+8)时，“(%)<0,g(%)单调递减，即f'(%)单调递减；所以当=1时，/'(%)有极大值/(1)=Q1,也是最大值，(确定r(吗的最大值-1，想下函数图象a-1与。的大小比较决定导函