(人教A版选择性必修第二、三册)4.2等差数列及其前n项和-(教师版).docx

等差数列及其前几项和知识剖析1定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，记为d.代数形式：an-n-1=d（n2,d是常数）Eg：an-an_r=2（n2）=r是公差为2的等差数列；+-an=-3=%1是公差为3的等差数列；an+1-an=%1不是等差数列.2等差中项若Qfb,c成等差数列，贝帕称与C的等差中项，贝防=等.3通项公式等差数列t的首项为由,公差为d,则册=1+（n-1）d.（由定义与累加法可得）4前几项和等差数列%J的首项为由,公差为d,则其前几项和为Sn=（由倒序相加法可证）n（j-1）S九-TIa1+d5证明一个数列是等差数列的方法定义法：an+1-an=d（d是常数，nEN*）nan是等差数列；中项法：2n+1=an+an+2（几N*）=0r是等差数列；通项公式法：an=kn+b（k,b是常数）=>c是等差数列；前几项和公式法：Sn=An2+Bn（A,8是常数）=%是等差数列；注：方法不可以在解答题里直接使用.6基本性质（其中Tn,n,p,tEN*）若数列%J是首项为的，公差为d的等差数列，它具有以下性质：（I）若Tn+九=p+t,贝U%n+an=ap+at；(2)an=am+(nm)d；(4)下标成等差数列且公差为n的项耿fak+mfak+2m,(k,租N*)组成公差为Tnd的等差数歹U；(5)数列4%+b(3b是常数)是公差是财的等差数列；(6)若数列g也是等差数列，则数列&1±g,旌7±g(k为非零常数)也是等差数列；(7)Sr,S2n-SnfS3n-S2n(riN*)成等差数列；(8)-=(2n-1)n.经典例题【题型一】等差数列的基本运算【典题D已知%1为等差数列，若c=1,S4=0,则.【解析】(。3,。6用到通项公式册=a1+(n-1)d,S4用前TI项和公式Sr1=na1+nnd)设等差数列%1的公差为d,由修二。得1n,(得到四,d的方程组)»4U(4ct1+a=0解得,二2一3,所以Q6=%+5d=7.【点拨】首项由、公差d是等差数列的“基本量、若知道它们数列其他量就可求.故提示我们，题中n用上通项公式的1=a1+(n-1)d,对S7n用上前几项和Sr1=na1+九(7)d.若已知的,dM，S71中三个便可求出其余两个，即“知三求二'实质是利用方程思想建立方程组进行求解.【典题2】已知等差数列时的公差不为0,其前几项和为%,且2%,Sg,Sg成等差数列，则下列四个选项中正确的有()A.25÷39=S8B.S2=S7C.5=0D.S5最小【解析】设等差数列的公差为d,则Sg=81+-d=81+28d,S9=91+d=91+36d,(把S8、Sg化为关于质、d的式子)由题意可知：2S8=2a1+S9,即161÷56d=21÷91÷36d,解得Q1=Ad9(得到由，d的关系),z八/I-、TC,n(n-1)1(n2-9n)dQr1=QI+(九1)d=(n5)d,Sn=na1+?a=-对于4选项，2c+39=3X4d=12d,S8=7"=4d,4项错误，对于B选项，S?=(22,x2)d=7dS=(72,7)d=7d,B选项正确，对于C选项，5=O,C选项正确.对于。选项，方法一Sn=g(n2-9n)=I(n-1)2-,(利用二次函数性质)若d>0,则S4或S5最小；若d<0,则S4或S5最大.。选项错误.方法二由Qn=(T1-5)d可知,若d>0,则数列%J是增函数，且的=。，从第6项开始为正数，即S4或S5最小；若d<0,则数列%J是减函数，且。5=。，从第6项开始为负数，即S4或S5最大.故选:BC.【点拨】本题充分利用到了方程思想和数列的基本量，把题中的即I用通项公式%=%+5-Dd表示，s7n用前几项和%=na1+若义。表示，都转化为基本量.求等差数列前Ti项和的最值的方法(1)求出疆,再利用二次函数的性质；(2)求出时,知晓数列的单调性判断前几项和是求最小值还是最大值，求使得即0(或册0)成立时最大的九值.【典题3】设d为正项等差数列%1的公差，若d>0,的=2,贝1()A.24<4B.a22+4C.>。2。4D.F1【解析】由题设知：F1077r7n,解得：0<d<1,(得到d的范围)=Z-Zu>U对于4V24=(21d)(2+d)=4d2<4,4正确;21r对于诚+%=(2d)+2+d=d2Sd+6>4>，B正确；对于C:V15a2a4=（22d）（2÷2d）（2d）（2+d）=Sd2<O,C车昔（43C中均是把涉及的量转化为d的式子进行判断）对于O:a1÷a5=2a1+4d=4,2+三=工（工+工）（的+附）=，2+虫+&）>工（2+2尸）=1,a1a54a1a5×4va1a54'-Ja1a5（此处由于d>0,为不可能等于的，则取不到等号）。正确；故选：ABD,【点拨】对于不等式的处理，也可以使用基本量的、d的方法求解.巩固练习1（）已知数列%1中，（13=2,%=1若2为等差数列，则的=.an【答案好【解析】设等差数列2的公差为小an则上=-+4d，即1=：+4d，解得da7a328则工=+2d=i÷2=p解得。5=a5a3244032（）等差数列ar满足。2+。5=3,a6=2,则以+5=.【答案】£【解析】设等差数列时的公差为d,由器+；5=3,得看/黑=3,解喏=J,（。6=2（a1+5a=2Id=g919所以。4+。7=2a1+9d=2+-=.3（书【多选题】记SrI为等差数列&1的前几项和，若生+的=24,S6=48,则下列正确的是（）A.a1=2B.a1=2C.d=4D.d=-4【答案】AC【解析】设等差数列n的公差为d.北+劭=24,S6=48,2a1+7d=24,6%+等d=48,解得：a1=2td=4,故选：AC.4()【多选题】设数列%1是等差数列，Sr1是其前几项和，的>0且$6=59,贝J()A.d>OB.c=OC.S7或S8为Sr1的最大值D.S5>S6【答案】BC【解析】a1>O且S6=S9,6。1+d=9。1+df化为：Q1+7d=0,可得他=0jd<0.S7或S8为土的最大值，S5<S6.故选：BC.5(*)【多选题】等差数列%1的前几项和为S小1+53=S8,则下列结论一定正确的是()A.Q1o=OB.当Ti=9或10时，Sr1取最大值C|的1<IaI11D.S6=S13【答案】AD【解析】等差数列c的前n项和为%,a1+Sa3=S8,：.a1+5(1+2d)=8%+等d,求得%=-9d.故Qio=a1+9d=0,故4正确；该数列的前几项和SrI=Tm+也3d=9d孩dn,它的最值，还跟d的值有关，不能推出当几=9或10时，Sr1取最大值，故B错误.9=a1+8d=d=d,11=1+10d=d,故有01=aI，故C错误；由于Se=61÷d=-39d,S13-131÷1312d=139d,故Se=S13，故。正确，故选：AD.6”刊【多选题】已知数列各是首项为1,公差为d的等差数列，则下列判断正确的是()A.a1=3B.若d=1,贝Uar1=n2+2nC.g可能为6D.a1,2,心可能成等差数列【答案】ACD【解析】由已知可得数歹Uf的通项公式为既=1+（n-1）d,当TI=I时，言=1，解得的=3,故4正确；若d=1,则言=1+（九-1）X1=九，所以Qr1=TI2+r271,故5错误；若d=0,贝!j%1=九+2n,a2=6,故C正确；若Q1a2f。3成等差数列，则2上=Q1+。3，即12+12d=14+22d,解得d=g故的,。2,的可能成等差数列，故。正确.故选：ACD.7（）【多选题】已知无穷等差数列%的公差dN*,且5,17,23是%中的三项，则下列结论正确的是（）A.d的最大值是6B.Ia2<asC.%一定是奇数D.137一定是数列%中的项【答案】ABD【解析】无穷等差数列册的公差dN*,且5,17,23是%中的三项，.设（17-5=12=叫解得d=,m-nd的最大值为6,故Z正确；Qi5,dN*,2a2a8=a1Sd0,故旦正确； d=二一,.当瓶一n=2时，d=3,数歹IJ可能为5,8,11,14,17,20,23,，故C错误；m-n 137=23+19X6, .137一定是等差数列%中的项，故。正确.故选：ABD.&（）已知等差数列时的前几项和为%,若%1%1+,2Sr,1成等差数列.求数列%J的通项公式；（2）求数列弊的最大项与最小项.807i【答案】（1）Q71=2711（2）最大项是第4项，值为9,最小项是第5项，值为-11.【解析】（I）设31的首项为由，公差为d,取九=1、2.z(41=1(1+d)+1寸+C1)=(的+d)(+2d)+1,解得建J或:工，当O1=1,d=2时，Qr1=2九-1,n+1=2n+1,经验证SrI=层满足条件;当的=工，d=工时，a3=-,a4=S3=O不满足条件，舍去，4442综上，数列rJ的通项公式为(=2九一1.皿=S记f(%)="=1+上，kj8-an9-2n八)9-2x9-2x/(%)在(一8,4.5)与(4.5,+8)上都是增函数(如图所示)：对数列詈±1,当4时，冷递增且都大于一1,8C1n8C1n当5时，”递增且都小于一1,8-r所以数列鲁旦的最大项是第4项，值为9,最小项是第5项，值为一11.【题型二】等差数列的判断与证明【典题1数列r的前几项和S九=33-n2.(1)求数列%1的通项公式；(2)求证：%J是等差数列.【解析】(I)当九2时，an=SnSn_1=34-2n,又当九=1时，QI=SI=32满足上式，故<的通项为3I=342n.(2)证明：n+1an=342(n+1)(342n)=2.故数列时是以32为首项，2为公差的等差数列.【点拨】证明数列方法有定义法：%+1Qr=d(d是常数，nEN*)通过等差数列的通项公式和前几项和公式，也可知道以下两种方法，但在解答题中不能直接使用,通项公式法：an=kn+b(k,b是常数)=%是公差为上等差数列；前几项和公式法：Sn=An2+BnA,3是常数)=%1是等差数列.【典题2】已知数列%1满足：的=2,an=21-(>1),n-1+4(