(人教A版必修第一册)1.1集合的含义与表示-(教师版).docx

集合的含义与表示知识剖析1元素与集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）.2集合的元素特征确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故“帅哥不能组成集合.互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.Eg：两个学生名字都是“熊涛1老师也要给他们起小名“熊大“熊二”，以视区别.若集合4=1,2,a,就意味Q1且2.无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.Eg：高一班每月都换座位也改变不了它是班的事实，1,2,3=2,3,1）.3元素与集合的关系若是集合Z的元素，则称。属于集合4记作4若不是集合Z的元素，则称不属于集合4记作Q任4Eg：菱形平行四边形,0N,01,2,3,4）.脑筋急转弯你能证明上帝不是万能的么？答案：如果上帝万能，他能否创造一块他举不起来的石头么？（这跟集合有什么关系呢？）4常用数集自然数集（或非负整数集），记作M正整数集，记作N*或明；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R5集合的分类有限集，无限集，空集0.Eg：奇数集%=2n+1,nZ属于无限集，%Rx2+1=0=0.6集合的表示方法列举法把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“括起来表示集合的方法叫列举法.描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.一般格式：%ZP(%).用符号描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？(2)元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.Eg：A=xx2X2=0方程/X2=0的解，即/=-1,2；B=xx2X2<0不等式/X2<0的解集，即B=%|-1<%<2；C=xy=X2X2函数y=肝一X-2的定义域，即C=R；D=yy=X2X2函数y=%2-%-2的值域，即O=yy>一3；E=(x,yy=X2-X-2函数y=%2-%-2的图像，它是个点集.经典例题【典题1】下列说法正确的是()4某个村子里的高个子组成一个集合；»所有小的正数组成的集合；C.集合1,2,3,4,5和5,4,3,2,1表示同一个集合；D1,05，)J,2这些数组成的集合有五个元素.224y4【解析】由于“高个子、“小的没有一个明确的标准，A1的对象不具备确定性;。中的0.5,i,E三个数相等，I,!相等，故集合只有3个元素；2424集合具有无序性，所以C是正确的；故选C.【点拨】本题考核集合元素的三要素.【典题2】设集合Z=2,1-afa2a+2,若4Af则Q=.【解析】.4Z1-Q=4或M+2=4,（2）若1Q=4,则=-3,此时a?q+2=14,A=2,4,14；（江）若Mq+2=4,则=2或=1,a=2时，止匕时I-Q=-1,.,.A=2,1,4）；a=1时，止匕时1-=2,则Z=2,2,4不符合集合的“互异性"，故Q-1.综上a=-3或2.【点拨】本题考核集合元素的特征和元素与集合的关系；当Q=1时，1-=2,此时/=2,2,4不符合集合的"互异性"，故-1.故求出集合后最好做下检查.【典题3】用列举法表示集合Z=号ZxN=【解析】根据N,且三Z可得:X2%二°时'*=-3；%=1时，=-6;%=3时，=6;%=4时，合=3；%=5时，*=2；%=8时，合=1；./=3,6,6,3,2,1.【点拨】看集合先确定元素类型（本题中元素是“白，而不是"%”），再看元素需要满足的条件;集合若能化简先化简，用最简洁的形式表示能让我们更好理解集合.典题4若集合Z=xax2+2%+1=0,町至多有一个元素，贝!j的取值范围是【解析】集合/=xax2+2%+1=01aR至多有一个元素，a=0或1/八，解得=。或1,S=440Q的取值范围是Gj=0或Q1.【点拨】注意二次项系数是否等于0,先确认函数类型.巩固练习1 ()下列各组对象能构成集合的是()A.充分接近的所有实数B.所有的正方形C.著名的数学家D.1,2,3,3,4,4,4,4【答案】B【解析】选项4C不满足集合的确定性；集合B正方形是确定的，故能构成集合；选项。不满足集合的互异性.故选：B.2(*)以实数阳-%,|%|,信,-泞为元素所组成的集合最多含有()个元素.A.OB.1C.2D.3【答案】C【解析】当%>O时，X=x=>0,=X<0,此时集合共有2个兀素；当=。时，X=V%23%0,此时集合共有1个元素；当/<。时，=%I=Vx2=>0,%<0,此时集合共有2个兀素，故由以实数%,-旧,-乳正为元素所组成的集合最多含有元素的个数为2个.故选:C.3()下面有四个命题：(D集合N中最小的数是1；(2)0是自然数；(3)1,2,3是不大于3的自然数组成的集合；(4)qNN,贝J+b不小于2.其中正确的命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】(1)集合N中最小的数是0,(2)对，(3)不大于3的自然数组成的集合是0,1,2,3,(4)因为0N,所以Q+b可能小于2,因此只有(2)是对的，故选A.4()设集合M=xx=3k,kEZ,P=xx=3k+1,kZ,Q=xx=3k1,kZ,若aM,bP,cQ,则a+bc()A.MB.PC.QZ).M1P【答案】A?()已知%,y,z为非零实数，代数式氏+器的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是()yIIN1zIA.4MB.2MC.OMD.-4M【答案】Z【解析】根据题意，分4种情况讨论；、x、y、Z全部为负数时，则XyZ也为负数，则卷+三+麓=-4,yzII人y、X、y>Z中有一个为负数时，则XyZ为负数，则三+2+=°，yIN1jzzI、X、yZ中有两个为负数时，则XyZ为正数，则+=。，I人IyIN1z、x、y、Z全部为正数时，贝kyz也正数，则氏+5+合+落i=4;I人IIfcy1zIzI则M=4,-4,0；分析选项可得4符合.6()点的集合M=(%,y)%y0是指()A.第一象限内的点集B.第三象限内的点集C.第一、第三象限内的点集D.不在第二、第四象限内的点集【答案】D【解析】孙0指和y同号或至少一个为零，故为第一或第三象限内的点或坐标轴上的点.故选。7()已知含有三个实数的集合既可表示成,1,又可表示成M,q+h0,贝南2。17+jb2018=.【答案】-1【解析】根据题意，由,1=q2,q+h0可得Q=O或g=0,又由?的意义,则q0,必有£=0,则b=0,贝Ja,0,1=a2faf0f则有小=1,即Q=1或Q=1,集合,0,1中，aw1,则必有Q=1贝Uq2017+&2018=(_1)2017+q2018=故答案为：-18 ()若集合A=(xkx2+4%+4=0,XR中只有一个元素，则实数Zc的值为.【解析】由集合Z=xkx2+4%+4=0,%R中只有一个元素，当k=0时，4%+4=0,即=-IfA=1,成立；当k0时，=164c4=0,解得k=1.A=xx2+4%+4=0=2,成立.综上，k=0或19 ()用列举法表示集合刑等N,nN,n10=.【答案】2,5,8).【解析】根据题意，'mENtm<10,.m-28,且(Tn-2)Z又因等N,2)N,且是3的整数倍，.m-2=0或3或6,m=2或5或8,集合刈掾NfmENfm10=2,5,8.故答案为：2,5,8.10 ()集合A=%Zy=为,yz的元素个数为【答案】12【解析】由题意，集合%Zy=Wz中的元素满足%是整数，且y是整数,由此可得=15,-9,-7,-6,-5,-4,-2,-1,0,1,3,9；此时y的值分别为:-12,3,4,6,12,12,6,433,1,符合条件的共有12个，11 ()用列举法表示下列集合(I)I1以内偶数的集合；(2)方程(+1)(%2-4)=0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数y=2%与y=%+1的图象的交点组成的集合.【解析】2,468,10；(2)解方程(+1)(x2-4)=0,得X1=-1,x2=-2,X3=2,故方程(+1)(4)=0的所有实数根组成的集合为-2,-1,2；解方程组忧3得忧;，因此一次函数y=2%与y=x+1的图象的交点为(1,2),故所求的集合为(12)12()已知集合A=xIax2-3%+2=0,R1）若Z是空集，求的取值范围；2）若Z中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来;3）若Z中至多只有一个元素，求Q的取值范围a=0或Q8Q8a<0,即Q>8【答案】1）（；2）若=0,则有Z=|；若Q=I则有4=身；3）【解析】D若4是空集，则方程%23%+2=0无解，此时QHO且=9-2）若Z中只有一个元素则方程/一3%+2=0有且只有一个实根当Q=O时，方程为一元一次方程，满足条件；当Q0,止匕时=98Q=0,解得Q=8_9.a=0或Q=-8若Q=0,则有Z=;若Q=',则有Z=假；3）若Z中至多只有一个元素，则Z为空集，或有且只有一个元素由，（2）得满足条件的的取值范围是：Q=O或!O