(人教A版必修第一册)2.1一元二次函数、方程和不等式-(教师版).docx

知识剖析元二次函数、方程和不等式1不等式关系与不等式不等式的性质传递性：a>b,b>cna>c；(4)倒数法则:a>b,ab>0>-<-；ab(5)乘方法则:>&>0=>an>bn(nN*且n>1)；比较Q,b大小(1)作差法（。-5与0的比较）ab=0a=b;ab<0a<b作商法总与1比较）a->1fb>0baa>b't->1,b<0a<bb2一元二次不等式及其解法二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:（以下均以>0为例）函数、方程、表达式>0=0<0二次函数y=ax2-Fbx-I-c的图象一元二次方程有两个相异实数根xI,2b±Vh2-4ac有两个相等实数根2a的根<X2)bX'="2=一五没有实数根一元二次不等式ax一元高次不等式的解法一元高次不等式通常先进行因式分解，化为(%-%)(%-/2)/九)。(或。)的形式，然后用穿针引线法求解.首先保证每个因式中的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负出现，特别要注意“奇穿偶切、“奇戈,偶”)指的是某个因式的次数.Eg解(+1)(%-2)(%-3)(%-4)0,如图所示，解集为%4或2%3或-1.+bx+c0的解集xx<或%>X2R一元二次不等式ax2+c0的解集xx1<X<X200二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解；求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的.3一元二次不等式的应用(1)分式不等式的解法解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解.由于蓝。与b。均意味,b同号，故(。与ab。等价的；<O与b<O均意味,5异号，故个<O与b<O等价的；可得B>O>f(%)g(%)>0,黑0>f(x)g(x)。且g(%)0.煞<°=/(%)g(%)<3黑°n/(%)g(%)。且g(%)。.【题型一】不等式性质的运用【典题D实数氏C满足Q>b>C,则下列不等式正确的是()A. Q+b>cB.<C.c1cbcD.<a-cb-c1111c2+1c2+1【解析】''a>b>c,*A.+b>C错误，比如4>5>6,得出4+(-5)<6；B. q-c>bc>0,<，该选项正确；a-cb-cC. c>bIC1错误,比如IC1=O时，ac=bc；D. .ab2a2b=(Ib(bQ),abba)=0时，ab2=a2b,该选项错误c2+1c2+1故选：B.【点拨】涉及不等式的选择题，适当利用“取特殊值排除法”会做得更快些.【典题2】已知Q>0,试比较阴与月的值的大小.2-1a-1解析嗯铝=老,作差法a2-1a-1a2-1a2-1当Q>1时，2q<0,2-1>0,则言V0,即嗯<*；(确定差言与0的大小)、/2-1a2-1a-12-1(ii)0<a<1时，2Q<0,a21<0,则之>即“十】>rrzB、z1ra2+1.a+1z1rtra2+1、+1练上可得>1时，二r°<<1时,t>-【点拨】比较两个式子的大小，可用做差法或做商法；一般幕的形式比较大小用作商法，比如比较心心与(M)丁；多项式形式常用做差法，比如比较盯与+y-1.【典题3】已知c>1,a=c+1-c,b=Vc-c-1,则正确的结论是()A.a<bB.a>bC.a=bD,Q与b的大小不确定【解析】方法一特殊值法取特殊值，令c=2,则q=-,h=2-1,易知<b,排除B,C,还不能排除。，猜测选A方法二做差法，分析法ab=Vc÷1VFVFVc-1)=Vc÷1÷Vc-I2Vc要比较力大小，只需要比较VF不I+VF=T与2F的大小2O比较(E+GT)与4c的大小(遇到二次根式可考虑平方去掉根号)Q比较2c+2，炭-1与4c的大小Q比较Jc21与C的大小而显然c2一1<c,故c+/+c-1<2c,故Q<b,故选4方法三共物根式法(Vc+1c)(Vc+1+c)_1c+1+cc+1+c,VcVc-I=(Vc-Vc-1)(Vc+Vc-1)_1Vc+Vc-TVc+Vc-IVc>1,.c+1>c1>O>c+1>c-1>c+1+c>c+c-1>0,.I_厂<厂；,即a<b,故选Ac+1+cc+c-1【点拨】比较两个式子的方法很多，选择题可以考虑取特殊值排除法；方法二中，遇到带有根号的常常两边平方去掉根号再比较，此时注意两个式子是否都是正数；在思考的过程中，不断使用“等价转化”把比较的两个式子越化越简单，等价过程中注意严谨；方法三中注意到(F-c-1)(c+c-1)=1.若A=忘+6,B=66,48互为共钝根式，它们的乘积、平方和差有一定的特点.AB=Xy,111由1<。，可得而>而故°错误.故选：C.§()已知,bR,且Q=巨史，则尸、Q的关系是()2+F2=2(%+y),A2B2=yxy.巩固练习1()已知一1<b<Ota<0,那么下列不等式成立的是()A.a>ab>ab2B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2D.ab>ab2>a【答案】D【解析】1<&<0,a<0,.b>0,b<0<1,b2<1.abCIb2=Qb(I&)>0,aba=(h21)>0.ab>ab2>a.故选：D.!()设<<0,则下列不等式恒成立的是()Q匕3q3D.<网Ia1A.a>bB.-<a-bC.=+鼻>2ba3b3【答案】C11【解析】设<-<0,可得Q<&<0,贝U错误；baC1C1由Q<b<0可得>0,a-b<0,可得>ab,故3错误;bbd匕3“3A.PQB.P>QC.PQD.P<Q【答案】C【解析】因为,bER,且尸=等，Q=所以尸cf1+b+2abQ2=小+庐<h<O->bPIO-÷->2_当且仅当Q=b时取等成立,所以尸2一Q2o,即尸2q2,所以pQ,故选：C.4()若尸=+不亏，Q=T+07(0),贝上，Q的大小关系是()A.P=QB.P>QC.P<QD.由。的取值确定【答案】B【解析】0,P?=2。+8+2V2+8+15,Q2=2+8+22+8+7,.2+8+15>2+8+7,22+8+15>22+8+7,.P2>Q2,且P>0,Q>0,P>Q.故选5()设S=QfbfC,dR+,则下列判断中正确的是(A.0<S<1B.KS<2C.2<S<3D.3<S<4【答案】B【解析】vs=+d+b+cb+c+dc+d+dd+a+匕abed>:;H：；HH-1+b+c+d+b+c+d+b+c+d+b+c+dabcdabedS=1-H1-<1-H1a+b+cb+c+ac+a+aa+a+b+cb+ac+aa+b即1<S<2.【题型二】二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系【典题1】如果关于的不等式a/+b%+c>0的解集为一1<%<2,则关于的不等式b-%-c>0的解集为【解析】关于的不等式。避+bx+O0的解集为1<%<2,.-1、2是方程a/+b%+c=0的两实数根，且Q<0,由韦达定理得(-1+2=-a-1×2=-a.*.b=-a>O,c=-2a>O,不等式b/-x-c>。化为-a/-x+2>0>x2+x-2>0,即(-1)(%+2)>0,解得/<2或%>1；则该不等式的解集为(-8,-2)U(I,+8).【点拨】通过二次函数的图像理解，二次函数、一元二次方程和一元二次不等式三者之间的关系.【典题2】解关于的不等式：tf2x+3【解析】-20>A2-2仍+3)0nx8On七坦0；x+3x+3x+3x+3等价变形为：(%+8)(%+3)0且+30；(注意分母+30)解得一8%<3.巩固练习1(*)若不等式2依2+依一J<o对一切实数%都成立，贝必的取值范围为()OA.3<k<0B.3k<0C.3k0D.3<k0【答案】D【解析】2kx2+kx-<0对一切实数%都成立，OZc=O时，一号<0恒成立，八0时，解可得-3<k<0综上可得，一3</c0故选：D.2()若关于的不等式-3ax+2>0的解集为(一8,1)U(Tn,+),则+租等于()4.-1B.1C.2D.3【答案】D【解析】由题意知，1和Tn是方程/-3。+2=0的两个根，则由根与系数的关系，得Ht1n=W%解得FI1XTn=251=2所以Q+TH=3.故选：D.§()若不等式/+2%+c<O的解集是(一8j-u,+8),则不等式c/一2%+QO的解集是()I111.2同8.-w,引C.2,3D.3,2【答案】C11【解析】不等式a/+2%+c<O的解集是(一8,-)U(-,+),1 1，一可和5是方程%2+2%+C=O的两个实数根，1-21-2+X1-31-3-z/IJIk由_2C",解得：=-12,c=2,故不等式c%2-2%+O即2/-2%120,即%2-%-60,解得：一2%3,所以所求不等式的解集是：-2,3,故选：C.4()【多选题】关于的一元二次不等式%26%+。<O(Z)的解集中有且仅有3个整数，贝IJa的取值可以是()A.6B.7C.8D.9【答案】ABC【解析】设/(%)=/6%+,其图象是开口向上，对称轴是=3的抛物线，如图所示；若关于久的一元二次不等式/-6%+0的解集中有且仅有3个整数，则f(2)0pr4-12+01(1)>0,1I1-6+>0'解得5<8,又Z,所以Q=6,7,8.故选：ABC.5()不等式手>-1的解集是.【答案】(2,3)6()已知不等式/+b%+c>O的解集是%<汽<S,a>0,则不等式c/+%+。>。的解集是.【答案】3【解析】不等式a/+ft+c>。的解集是%<%<(a>0),则,夕是一元二次方程/+b%+c=0的实数根，且<0；bc