第04讲 素数、合数与分解素因数（6种题型）（解析版）.docx

第04讲素数、合数与分解素因数(6种题型)旨/【知识梳理】一、素数与合数(1)素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数；(2)合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数；(3)1既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数三类.二、分解素因数1、分解素因数每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数.把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数.2、口算法分解素因数例如：72=8x9=2x2x2x3x3.3.用树枝分解法分解素因数例如:72/8X9/I12×4×3×3/2×2×2×3×3常常适用于较小数目4、短除法分解素因数形如右图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做短除法.I5I35用短除法分解素因数的步骤如下：7(1)先用一个能整除这个合数的素数(通常从最小的开始)去除；(2)得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；(3)然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式.例如:2 I783 3913用短除法分解素因数，初步阶段同学们容易出现错误：第一左侧边选用的除数出现合数，如：60=4×3×54I603I155一定注意分解素因数的时候，每个因数都必须是素数。第二最后的商还是合数。如：5I45591一看91,常用的2,3,5都不行，于是短除停止了，其实91还是合数，要继续除以7,商13,才停止短除。三、互素：指两个整数只有公因数1这两个整数不一定是素数.G【考点剖析】题型一：素数与合数例1（2023上海市娄山中学九年级期中）在1至10,这10个正整数中，素数共有（）A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】C【分析】由素数的定义可得出答案.【详解】解：在1至10这10个正整数中，素数有2,3,5,7,共4个.故选：C.【点睛】本题考查素数的定义，素数又叫质数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其他自然数整除的数.【变式】（2023上海青教院附中期中）在1、2、3、6、8、29、33、45中，素数是.【答案】2、3、29【分析】根据大于1的自然数中，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）解答即可.【详解】解：在1、2、3、6、8、29、33、45中，素数是：2,3,29,故答案为：2,3,29.【点睛】此题考查了素数，主要根据素数的意义解决问题.例2.判断37,39,47和49是素数还是合数.【答案】37和47是素数，39和40是合数.【解析】因为37和47都只有1和它本身两个因数，所以37和47是素数，39和40除了1和它本身之外，还有其它的因数，因此39和40是合数.【总结】本题主要考查素数和合数的概念.【变式】最小的素数是，最小的合数是.【答案】2,4;【解析】解：最小的素数为2,最小的合数为4.例3.（2023上海市傅雷中学期中）下列说法中，正确的是（）A.奇数都是素数B.偶数都是合数C.合数不都是偶数D.素数都是奇数【答案】C【分析】根据奇数，素数，偶数，合数的关系，逐项判定即可求解.【详解】解：A、奇数不都是素数，例如9是合数，故原选项不符合题意；B、偶数都是合数，说法错误，2是偶数，但不是合数，故原选项不符合题意；C、合数不都是偶数，说法正确，故原选项符合题意；D、素数都是奇数，2是素数，但2是偶数，故原选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了奇数，素数，偶数，合数的关系，熟练掌握奇数，素数，偶数，合数的关系是解题的关键.【变式】根据要求填空：在1,2,9,21,43,51,59,64这八个数中：（1） 是奇数又是素数的数是（）；（2） 是奇数不是素数的数是（）；（3） 是素数而不是奇数的数是（）；（4） 是合数而不是偶数的数是（）.【答案】（1）43,59；（2）1,9,21,51；（3）2；（4）9,21,51.【总结】本题主要是对基本概念的考查.题型二：素数与合数的应用例4.（2023上海黄浦期中）有一个四位数，十位上的数字是最小的自然数，百位上的数字是最小的素数，千位上的数字是最小的合数，若这个四位数同时是2和3的倍数，则它个位上的数字是.【答案】6或O【分析】根据最小的素数是2,最小的合数是4,最小的自然数是0,可以确定这个四位数的千位、百位和个位上的数，然后根据它是偶数又是3的倍数即可解答.【详解】解：回十位上的数字是最小的自然数，百位上的数字是最小的素数，千位上的数字是最小的合数，团这个四位数的十位数字为0,百位数字为2,千位数字为4,国这个四位数同时是2和3的倍数，团个位上的数为偶数，同时各位数字之和是3的倍数，团个位数字为：6或0.故答案是：6或0.【点睛】本题主要考查了素数与合数的意义、自然数与3的倍数的数字特征等知识点，掌握素数、合数以及3的倍数的数字特征是解答本题的关键.【变式1】（2023上海复旦五浦汇实验学校期中）已知一个六位数：ABCDE尸，其中八既不是素数，也不是合数；B是10以内最大的数；C是最小的素数；。是10以内最大的奇数；E的倒数等于它本身；F是最小的自然数；则这个六位数是.【答案】192910【分析】按照素数，合数和自然数等的相关知识，推理出各个数位上的数即可.【详解】团正整数中，既不是素数，也不是合数的数是110以内最大的数是9,最小的素数是2,10以内最大的奇数是9,倒数等于它本身的数是1最小的自然数是0,M是1,8是9,C是2,D是9,E是1,F是0,团这个六位数是：192910,故答案为:192910.【点睛】本题考查了素数，合数和自然数等，掌握相关定义是解题的关键.【变式2著名的“哥德巴赫猜想”被喻为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都是两个素数之和，下列4个算式中，符合这个猜想的是（）【答案】D；【解析】解：A、1不是素数，故A错误；B、13不是偶数，故B错误；C、9不是素数，故C错误；D、32是偶数，13与19均是素数，符合题意，故D正确；因此答案选D.【变式3】阅读理解：截尾素数73939133这个数具有相当迷人的性质，不只是因为它是素数，还因为把最末位数字依序“截尾”后,余下的数仍然是素数.如:73939133,7393913,739391,73939,7393,739,73,7.具有这样性质,的数叫“截尾素数”.巧的是，它也是具有这种性质的最大数，总共有8,3个数具有这样的性质.在IOO以内的素数中，最大的截尾素数是.【答案】79；【解析】解：在100以内的素数中，较大的素数分别为97,89,83,79,73,71,67等等，其中是截尾素数的是79,73等等，故100以内的素数中最大的截尾素数是79.【变式4如果m和n是两个素数，满足5m+7n=129,那么m+n的值是.【答案】19或25；【解析】解：如果m和n都是奇数，贝U5m+7n为偶数，因为129是奇数，所以m、n为一奇一偶.即m、n中必有一个等于2；当m=2时，得n=17,则m+n=19;当n=2时，m=23,则m+n=25;故m+n的值为19或25.【变式5】两百年前，德国数学家哥德巴赫发现：任何一个不小于6的偶数都可以写成两个奇素数(既是奇数又是素数)之和，简称：1+1。如6=3+3,12=5+7等等。众多数学家用很多偶数进行检验，都说明是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没找到一个反例.这就是世界上著名的哥德巴赫猜想.你能检验一下这个伟大的猜想吗？请把偶数42写成两个奇素数之和.42=+，或者42=+.你是否有更大的发现：把42写成4个奇素数之和？【答案与解析】解：42=5_+37_,或者42=+3£.42=+”+些.(答案不唯一)题型三：素因数的含义例5.在等式4x6=2x2x2x3中，4和6者K是孔的(),2和3都是的()A.素因数B.素数C.因数D.合数【答案】C、A【总结】本题主要考察素数和素因数的区别.【变式1】（2023上海市静安区实验中学课时练习）若a=18,则a的素因数是,a的因数是【答案】2,3,31,18,2,9,3,6【分析】因为a=18,所以直接根据素因数及因数得概念可得答案.【详解】根据''素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素因数都是这个合数的素因数。因数：整数a能被整数b整除，b就叫做a的因数可知：18的素因数有：2,3,3；因数有：1,2,3,6,9,18.故答案为:素因数有:2,3,3;因数有：123,6,9,18.【点睛】本题主要考查求一个数的素因数及因数，掌握相关概念是解题的关键.【变式2】（2023上海市静安区实验中学课时练习）A=2x3x5,B=2×2×3×5.A与B公有的素因数是【答案】2,3,5【分析】公有的素因数：两个正整数，都包含的素因数，据此解题.【详解】因为A的素因数是2,3,5,B的素因数是2,3,5,所以A、B公有的素因数是2,3,5,故答案为：2,3,5.【点睛】本题考查素因数的概念，是基础考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键.题型四：分解素因数例6.把24分解素因数的正确算式是（）A.24=2×3×4B.24=2x2x2x3C.24=1×2×2×2×3D.24=2×2×6【答案】B【解析】A、D选项中有合数，C选项中有1,1既不是素数，也不是合数.【总结】每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，叫做分解素因数.【变式11把以下各数分解素因数：35,72,105,108,238.【答案】35=5×7;72=2x2x2x3x3；105=3×5×7;108=2×2×3×3×3;238=2×7×17.【总结】本题主要考查如何将一个合数分解素因数.【变式2把18分解素因数，那么18二.【答案】2×3×3;【解析】解：把18分解素因数为18=2x3x3.【变式3】(2023上海市静安区实验中学课时练习)下面各数分解素因数有没有错误？如果有错，请改正在横线上.(1) 36=1×2×2×3×3；(2) 210=3×7×10；(3)2×3×3×3×3=162.【答案】错，改为：36=2×2×3×3,错，改为：210=2×3×5×7,错，改为：162=2×3×3×3×3【分析】(1)将一个合数分解成几个质数的乘积形式是分解素因数，据即此解题可；(2)将一个合数分解成几个质数的乘积形式是分解素因数，据即此解题可；(3)将一个合数分解成几个质数的乘积形式是分解素因数，据即此解题可.【详解】(1)1不是质数，故(1)错误，改为：36=2x2x3x3；(2)10不是质数，故(2)错误，改为：210=2×3×5×7;(3)不是分解素因数格式，故(3)错误，改为：162=2x3x3x3x3.故答案为：(1)错，改为：36=2×2×3×3;(2)错，改为：210=2x3x5x7；(3)错,改为：162=2×3×3×3×3.【点睛】本题考查分解素因数的方法，是重要考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键.【变式4】(2023上海期中)规定一种新的运算：对于一个合数n,(n)表示不是n的素因数的最小素数，如(4