第10讲 可化为一元一次方程的分式方程及整数指数幂及其运算（6大考点）（解析版）.docx

第10讲可化为一元一次方程的分式方程及整数指数幕及其运算（6大考点）Q考肃考而一、分式方程、根与增根1.分式方程分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.2.分式方程的根、增根及检验分式方程的解也叫作分式方程的根.在检验时只要把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于0,那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为0,那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的增根.要点诠释：（1）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程,不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.（2）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0,如果为3则是增根；如果不是0,则是原分式方程的根.二、分式方程的解法1解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.2.分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式,再找出最简公分母）；(2)解这个整式方程，求出整式方程的解；(3)检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0,则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0,则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.三、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：(1)审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；(2)设未知数;(3)找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；(4)解这个分式方程；(5)验根，检验是否是增根；(6)写出答案.要点诠释：1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、歹U、解、验、答.必须严格按照这五5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等.2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度二路程时间；工作量问题：工作效率二工作量工作时间等等.列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力.四.零指数幕零指数幕：a0=1(O)由於÷心=1,am÷am=am'm=a0rnHa0=1(a0)注意：Oo1.五.负整数指数募负整数指数幕：aP=Iap(O,夕为正整数)注意：00;计算负整数指数幕时，一定要根据负整数指数幕的意义计算，避免出现(-3)一2=(一3)X(-2)的错误.当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数.在混合运算中，始终要注意运算的顺序.U考高赢一.分式方程的定义（共1小题）1. （2023秋徐汇区校级月考）下列各式中属于分式方程的是（）C.工，二5D.-J-X-6X+72-3【分析】根据分式方程的定义即可求出答案.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.【解答】解：（A）是一元一次方程，不是分式方程，故本选项不合题意；（B）是一元二次方程，不是分式方程，故本选项不合题意；（C）是分式方程，故本选项符合题意；（D）不是方程，故本选项不合题意；故选：C.【点评】本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的定义，本题属于基础题型.二.分式方程的解（共3小题）2. （2023秋宝山区期末）如果关于X的方程上+2工无解，那么仁2.-2-2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出X的值，代入整式方程计算即可求出上的值.【解答】解：去分母得：x+2-4=左，由分式方程无解，得到X-2=0,即x=2,把x=2代入整式方程得：k=2,故答案为：2.【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为。这个条件.3. （2023秋静安区期末）若关于X的方程上=2a+2无解,则。的值为一1或一2或-3.x1x-2x2-3x+22【分析】先根据等式的基本性质把分式方程化成整式方程，整理后分类：X的系数为0；X的系数不等于0,此时整式方程的解是原分式方程的增根，再进行讨论.【解答】解：去分母得，%-2+（x-1）=2+2,整理得，（a+1）x=3+4,q+1=0,且3q+40,解得。=-1；+10,此时"=a+4,a+1a+1原分式方程无解，则法%-1=0或包生-2=0,a+1解得a=-3或a=-2.2.的值为-1或-2或-3.2【点评】此题主要考查了分式方程的求解问题，解答此题的关键是要明确分式方程无解的两种情况.4. (2023秋浦东新区校级期中)已知关于X的方程，+，_=2a+2无解,求。的值.x1x-2x2-3x+2【分析】直接利用分式方程的解的意义分别分析得出答案.【解答】解：方程两边同乘以(x-2)(-1),得：%-2+g(X-I)=24+2,化简得：(1+)x=30+4,当Q=-I时，原方程无解，X可能的增根是x=1或x=2,当X=I时，Q=-1.5,当x=2时，a-2,当。=-1.5或-2时，原方程唯一的实根是增根，原方程无解，-1.5或-2或-1时原方程无解.【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键.三.解分式方程(共5小题)5. (2023秋奉贤区期末)已知Q和8两个有理数，规定一种新运算“*”为：=生电(其中+Z70),a+b若根*(-A)=-5,则机=.【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出机的值.3m÷【解答】解：已知等式利用题中的新定义化简得：T=-5，即生生=-$E国32m-33m2整理得：3(2m+3)-5(2m-3),去括号得：6m+9=-10m+15,移项合并得：16根=6,解得：机=3,8经检验机=3是分式方程的解，8则m.8故答案为：3.8【点评】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键.6. （2023秋普陀区期末）解方程：I-X2X+1【分析】按照解分式方程的步骤进行计算即可解答.【解答】解：1+=上，I-X2X+11 -%2+1=x（1-%）,解得：x=2,检验：当x=2时，1-Fwo,.x=2是原方程的根.【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验.7. （2023秋宝山区期末）解方程：1.-22-【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得到分式方程的解.【解答】解：分式方程变形得：工=-2-2去分母得：3=-4-（%-2）,去括号得：3=-4-x+2,解得:X=-5,检验：把X=-5代入得：%-20,分式方程的解为X=-5.【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.8. （2023秋浦东新区期末）解方程：1一%=2-1x+1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得到分式方程的解.【解答】解：去分母得：-1-x2-x=2x-2,解得:X=,3经检验X=工是分式方程的解.3【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.9. (2023秋浦东新区期末)解分式方程：=1-T.x+11-2-【分析】根据解分式方程的过程进行计算即可.【解答】解：去分母得：X-1+x+1=x2-I-X2,移项，合并同类项得2x=-1,系数化为1得X=-工，2检验：把X=-代入X2-10,2所以原方程的解为X=-工.2【点评】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是掌握解分式方程的方法，注意解分式方程要验根.四.分式方程的增根(共2小题)10. (2023秋浦东新区校级期中)当=6或-4时,关于X的方程N+InX=3会产生增根.x-2X2x+2【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为。的根.把增根代入化为整式方程的方程即可求出机的值.【解答】解：方程两边都乘(x+2)(x-2),得2(X+2)+mx=3(X-2),最简公分母为(x+2)(X-2),原方程增根为x=-2或2,.二把X=-2代入整式方程，得-2m=-12,解得机=6；把x=2代入整式方程，得8+2m=0,解得m=-4.故答案为：6或-4.【点评】考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.(2023秋徐汇区月考)在去分母解关于X的分式方程二2二一的过程中产生增根，则4=4.-44-X【分析】分式方程去分母后转化为整式方程，由解关于X的分式方程上二2=一的过程中产生增根得-44-X到x=4,代入整式方程即可求出C1的值.【解答】解：方程两边同乘1-4得：x=2(X-4)+,关于X的分式方程上二2一一有增根，-44-X.-4=0,解得X=4,将x=4代入方程x=2(%-4)+，得:4=2(4-4)+，解得:4=4.故答案为：4.【点评】此题考查了分式方程的增根，分式方程的增根即为最简公分母为。时X的值.五.负整数指数幕(共7小题)12. (2023秋宝山区期末)将一囱一写成不含分母的形式，其结果为3(2i)-2.(2a-b)2【分析】直接利用负整数指数幕的性质将原式变形进而得出答案.【解答】解：_囱=3a(2a-b)-2.(2a-b)2故答案为:3a(2a-b)-2.【点评】此题主要考查了负整数指数幕的性质，正确掌握相关定义是解题关键.-213. (2023秋浦东新区期末)将代数式上化为只含有正整数指数事的形式-A7.c-1匚2ox5y【分析】根据负整数指数幕，有理数的乘方进行计算即可.-21r【解答】解：J1_=±÷N5/1V2XUj一1.三2"Fy0_X一二2'5y故答案为：r25y【点评】本题考查了零指数幕，有理数的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键.214. (2023秋宝山区期末)将2/(。-方)一写成只含有正整数指数幕的形式，其结果为a-b【分析】利用负整数指数幕幕的性质进行计算即可.2【解答】解：2a2(a-b)'1=2a2X=-z,aaba-b故答案为：a-b【点评】此题主要考查了负整数指数幕，关键是掌握负整数指数幕：晨夕=一(0,为正整数).ap15.