2024届一轮复习人教A版 抛物线的方程及性质的应用 作业.docx

课时分层作业(三十)抛物线的方程及性质的应用A组基础合格练一、选择题1 .设圆C与圆V+(y3)2=1外切，与直线尸0相切，则圆心C的轨迹为()A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆A设圆C的半径为t则圆心C到直线j=0的距离为r,由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r+1,所以点C到点(0,3)的距离和它到直线尸一1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹是抛物线.2 .已知抛物线y=2PXS>0),过其焦点/的直线/与抛物线分别交于小8两点(点4在第一象限)，且成=4拓，则直线/的倾斜角为()C如图，过点4A分别作4%肉唾直于准线、=一耳垂足分别为机N,过点叫乍川/的垂线，垂足为C由抛物线的定义知，I如I=I班1，AF=A1,法=4而3BF=AF,则|4。|=|嗣一|第=|/用一|朋=2|所|,所以COSN为即N为仁亭所以直线/的倾斜角为年.故选C.3 .已知抛物线尸4V上一点到直线7=4-5的距离最短，则该点的坐标是()A.&1)B.(0,0)C.(1,2)D.(1,4)A法一：设抛物线上点的坐标为(“4岁),其中xR,由点到直线的距离公式得4,-4-5V4j+442+12-7当x=f,d最小，这时点的坐标为$11.法二：设与y=4-5平行的抛物线尸”的切线方程为尸4叶以，y=4x÷7,9由彳2得4x4x0=0.y=4x再由4=164X4（一加=0,得m=-1.这时切点为&1）切点&1）到尸4/一5的距离最小.4 .已知抛物线y=2分（m0）,过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于48两点,若线段科的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为（）A.X=B.x=-1C.X=2D.x=-2B抛物线的焦点为哙，0）,所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=-即x=y+5代入y=2内消去X,得y=2pyr+p,即y-2py-p=0f由根与系数的关系得然2=0=2（%,%分别为点48的纵坐标），所以抛物线方程为户=4筋准线方程为户一1.5 .己知过抛物线/=2PXS0）的焦点且斜率为1的直线交抛物线于AtB两点,AFI跖|=16,则。的值为（）A.2B.4C.22D.8C抛物线/=2PX但0）的焦点够，0）,准线方程为X=一导设力（汨，71）夙短，）,直线AB的方程为y=X-%代入了=2夕才可得V3p÷-=0,由抛物线的定义可知，|1=汨+息BF=x2-.,.IAFI/=（汨+胃（X2+2=M照+§（汨+照）+£=24=16,解得=2啦.二、填空题6.已知斜率为k的直线1与抛物线Ct/=4X交于4"两点，线段俯的中点为M2,1),则直线/的方程为.2>73=0设力(汨，y),6(黑，依=4小，z贝M2,=>(%(y+=4(矛】一在).J=4A2又初的中点为材(2,1),Vi-V2*y+度=2,.*.k=2,X-Xz因此直线力8的方程为y-1=2(-2),化简得2xy3=0.7.一条光线从抛物线/=2PX(P>0)的焦点分射出，经抛物线上一点8反射后，反射光线经过点力(5,4),若|您+|阳=6,则抛物线的标准方程为.=4x抛物线具有光学性质，即从焦点出发的光经抛物线上一点反射后，反射光线沿平行于抛物线对称轴的方向射出，四1+1与1=6,5+导=6,0=2,抛物线的标准方程为"=4x.8.已知抛物线C：/=2%直线1的斜率为k,过定点做施.0),直线1交抛物线。于4B两点,且力，方位于X轴两侧，力08=3(0为坐标原点)，则成=.3设直线1的方程为y=k(x斓,小加，珀，B5,y2),与抛物线方程联立可得y=2xi消y并整理可得，A2Z-(2A+2)a÷=0,y=-由根与系数的关系可得，XxXi=则，度=一。4的入2=2照,VOAOB=iS1.照+a现=3,即髭-2施=3,解得=3.三、解答题9.在平面直角坐标系Xa中，曲线G上的点均在圆G：(-5)2+=9外，且对G上任意一点M到直线乃=一2的距离等于该点与圆C上点的距离的最小值.求曲线G的方程.解法一：设点,"的坐标为(必y),由已知得；*+21=4乙一5?+3.易知圆C上的点位于直线X=-2的右侧，于是÷2>0,所以7京7=x+5.化简得曲线G的方程为=20x.法二：由题设知，条件“对G上任意一点Mw到直线x=-2的距离等于该点与圆G上点的距离的最小值”等价于“曲线G上任意一点必到圆心C(5,0)的距离等于它到直线X=-5的距离”.所以，曲线G是以点(5,0)为焦点，直线x=-5为准线的抛物线，所以曲线G的方程为=20x.10.己知抛物线=一与直线尸内x+1)相交于儿6两点，。是坐标原点.(1)求证：OAJ1OB；(2)当AO1E的面积等于近时，求A的值.解(1)证明：当A=O时，直线与抛物线仅一个交点，不合题意，#0.由y=Hx+1),得x=*-1,代入/=-X,整理得，/+%1=0.设4(x,y),Bxi,，则M+度=-yyi=1.,点力，8在抛物线y=-X上，.,.A(-yt),B(一两%),.,_z1.W!_1.Kat.2,21>-Ji-孜yyz：.OAVOB.(2)设直线四与才轴交于点于图略)，则一一1,0),OE=f1加=J1应I(IyI1+1MI)=JI=I%jI=W+4=I5,解得A=±J乙乙1KOB组能力过关练1.设尸为抛物线C/=3X的焦点，过尸且倾斜角为30°的直线交C于力，6两点，O为坐标原点，则而8的面积为(),35n93C63口A-4B-8c32DD由题意可知，直线49的方程为W)代入抛物线的方程可得4-123y-9=0,设力(小，y)»B172),则%+%=34,%=一*故所求三角形的面积为1 3/：2××y÷J,2-Vj=-4，2 .(多选题)已知点分是抛物线y=2px(p>0)的焦点,四,勿是经过点尸的弦且ABICD,直线48的斜率为匕且Q>0,C,力两点在X轴上方，则下列结论中一定成立的是()aTrT=IB. AFBF=p2,贝I=乎C. OAOB=OC0DD.四边形4比面积的最小值为162AC因为直线05的斜率为A,AB工CD,所以£=一"K设加X,y1),夙如%),由抛物线的定义可得焦点为，0),则直线/18的方程为y=A-)可得A2X2p(A2÷2)x+1NP=0,所以I仍I=Xi+夕=",T2+0=2成烹1,KK=2p(1+2),则有T拓+夜T诟'故A正确；若|明BF=p2,则(小+胃(彳2+胃=*照+?汨+照)+/=$，则*+空产=/÷=p2,解得k=y,故B错误；OAOB=小心+%度=/+矛】一9(E-9=/+kXX2-&X+照+/=/÷2-4-23C->-3->-=p,与女无关，同理比'勿=-77,故OAOB=OCOD,故C正确：因为ABVCD,所以四边形ABCD的面积S=AB=J纬也2夕(1+必)=41K2p+12Cr1112-7=2pk-+万+2户Sp,当且仅当炉=,即A=I时，等号成立，故D错误.故选AC.K3 .已知抛物线4=4X的焦点为E抛物线的准线与X轴的交点为人,点/(2,4),过点Z7的动直线/与抛物线交于机N两点，点"在y轴上的射影为点注设直线的，Mv的斜率分别为左，在，则I物I+场的最小值为，自+左的值为_.-10如图，由题意可知抛物线/=4X的焦点RI,0),准线方程为x=-1,M-1,0).设点在准线上的射影为H,由抛物线的定义可得I炳=IwI=%1+1,即扬I=Ij幽-1,则IjM+1.=MA÷j1-1>U7I-1=2-12+4-0j-1=17-1.当人机尸三点共线时，M+U如取得最小值行一1y=4t设过点£的直线方程为X=RJ，+1,联立1消去X得4z»y4=0.x=ny+,设.机N的纵坐标分别为M，必，可得y+度=4加，为度=4,4 .已知。为坐标原点，点户(1,2)在抛物线C：=4±,过点尸作两直线分别交抛物线C于点4B,若购+为广0,贝J%"M的值为_.-2设U,M),B(xz,%),r/y2-yy2-y4×2-区_2y÷j7-7-2J124"=R=I=开？7144*k用+ktv=O,.*.-Ic+-in=0，得巾+乂=-4,yI4度十/又kof2,/.k.Bkop=-1×2=-2.C组拓广探索练如图，已知点少为抛物线疾V=2pxs>0)的焦点，点力血在抛物线£上，且|明=3.(1)求抛物线月的方程;(2)已知点G(1,0),延长力尸交抛物线6于点8,证明：以点尸为圆心且与直线以相切的圆，必与直线切相切.解(1)由抛物线的定义得!"1=2+1由已知/尸I=3,得2+，=3,解得夕=2.所以抛物线后的方程为"=4人(2)法一：因为点4(2,而在抛物线£：/=4X上，所以初=土2也,由抛物线的对称性,不妨设前2,2m).由力(2,22),H1,0)可得直线力产的方程为y=22(-1).尸2也-1，得"一5升2=。,y=4,解得*=2或X=2，从而吗，一班)又6(1,0),所以松+仍=0,仄而NAGF=NBGF,这表明点尸到直线办,的距离相等,故以“为圆心且与直线&相切的圆，必与直线"相切.法二：设以点尸为圆心且与直线&相切的圆的半径为r.因为点4(2,0在抛物线公=4x±,所以m=±2由抛物线的对称性，不妨设J(2,22).由A(2t22),A1,0)可得直线力尸的方程为y=22(-1).y=2y2-1,=4x,得2/5x÷2=0,解得x=2或x=g,从而心，一/)又6(1,0),故直线8的方程为21-3y+2=0,UK|2/+2a42从而r=I=I-8+917又直线期的方程为2啦¥+3什2:=0,所以点尸到直线"的距离d=2*+2y=辛8+917这表明以点£为圆心且与直线相切的圆，必与直线"相切.