2024届一轮复习人教A版 圆锥曲线的定值问题 学案.docx
第7讲定值问题【母题】(2018北京)已知抛物线G4=2后(>()经过点尸(,2),过点0(0,1)的直线/与抛物线。有两个不同的交点4B,且直线阳交y轴于M直线加交y轴于巾(1)求直线，的斜率的取值范围；(2)设。为原点，GM=入画,亦=UG0,求证：为定值.4思路分析联立/,C的方程，由判别式及必，力与y轴有交点求斜率的取值范围用儿8坐标表示M4坐标用MN坐标表示,利用根与系数的关系计算;+)I求出；+勺为定值解将点户代入。的方程得4=2D即°=2,所以抛物线。的方程为了=4筋显然/斜率存在且不为0,设为h则/：y=kx+1,y=k->>由2消去y得力2f+(2*-4)x+1=0,(*)y=4x,由已知，方程(*)有两个不同的根，且1不是方程的根(因为必，外都与y轴有交点),所以4=-164+16>0且如+(244)+1*0,即KO或O<K1,且A-3,且AW1所以KO或O<A<1,且AW3,即直线/斜率的取值范围是(-8,-3)U(-3,0)U(0,1).(2)证明设力(心力)，Bkx?,y2),直线PA方程为y-2=U-1),1A11令尸0得尸-后+2,即点为(0,M+2)所以QM=(0，；÷又必=(0,-1),Qif=f所以(0,M+1)=X(O,一1)，又点力(汨，M)在直线J：y=kx+±,所以1_汨_1_汨_1_11"4kx-Xk-xk1A-I×同理4=吉'V获由(D中方程(*)及根与系数的关系得,2A41XVX2="jt»XX2=宓，J_11_2_1f1,J2所以"+7=广?一汨+Z=T_k1a=广?一广TGX2)=k-i-2A+411汨+X221_=X-)k-tIIRj-=2,即彳+7为定值2.子题1设直线/：y=Ax+z(,WO)与椭圆G7+=2A2+1，又点0到直线1的距离d=,所以平行四边形而断的面积s=2s=Iw1，=奉T=即2±+=乖,2A"+12A-+1V即平行四边形如划的面积为定值.子题2(2023福州质检)直线1与椭圆C：彳+£=1有且只有一个公共点P,1与圆x+=6交于力，5两点，直线勿，如的斜率分别记为人，k>,求证：人他为定值.证明当直线/的斜率不存在时，直线的方程为X=±2；当x=2时，4(2,2),6(2,-2),则山良=平X(乎)=一看当才二一2时，A(2,2),B(-2,-2),则k1=一乎X乎=-J乙乙乙当直线/的斜率存在时，设其方程为尸奴+加,A(×t),BX?,y2),y=k-m>序一6T÷7M-6必4尸+2-6片1万一64/(+2-62'所以A%为定值.规律方法求解定值问题的两大途径(1)由特例得出一个值(此值般就是定值)一证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关.(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示,再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值.【跟踪演练】21.在平面直角坐标系也中，过点M(4,0)且斜率为A的直线交椭圆今+/=1于4B两点.(1)求A的取值范围；(2)当ZWO时，若点/1关于X轴为对称点为尸，直线外交X轴于点M求证：I掰为定值.(1)解过点时(4,0)且斜率为A的直线的方程为=A(-4)，y=kx-4,*+2_得+:)/-8片_y+16-1=0,因为直线与椭圆有两个交点,所以4=(-8d)24(炉+力(1642-D>0,相交于儿B两点,若以OAtOBxI乙为邻边的平行四边形如外的顶点户在椭圆C上，求证：平行四边形小力的面积为定值.'y=kx+tf0,证明+Z=1联立，消去外得(22+1)÷4Atx+2(r-2)=0,所以J=(4A-t)2-8(2A2+1)(f2-2)=8(4A2-t2+2)>0,设力(X1,71),8(x2,，.4kt242则加+&=-翦TpMx?=2发+，2t所以y+M=A(x+X2)+2£=.%.J所以。点坐标为(一。皆，Akt2+1,因为四边形如如为平行四边形，所以吵处+如=(汨+如y1+)=1又因为点尸在椭圆上,所以2A2÷1K2/+1联立，1,得(1+2肩f+44加v+2-4=0,因为I刎=-1÷A2xi-2=y1+必7m+i°Ji热2巾业+网22/+1)=2作+1231+A2由题意=(4At7)2-4(1+2A2)(2-4)=0,得/2=42+2,联立y=kx+m,/+/=6,得(1+A?)殳+2kmx+16=3依题意，4>0,2km76则XI×2-+片,X×2JI2>kx+mkx小XXz必XX2*km3+尼+序XiX22-61,(2km解得一害人害'所以A的取值范围是k讦7+*一甲力(2)证明设力(小，力)，BIX?,，则尸(小，y),161汨X1直线外的方程为x-XXi-xy-y由题意知X12>MW总,xzmi8六由(1)得汨+吊=p.令尸0,得力点的横坐标为，T+=%十M又n=4（x-4）,用=4（才24）,力为+小力度+m2kxXz-4k汨+在kX-r×28k2k16后一1Kr4k8片-Sk=1.即I刎为定值1.2.(2。23.新高考全国I)已知椭圆G§+=1(於力。)的离心率为当且过点(2,D(1)求C的方程;点机N在C上，且川小腑AD1姓,。为垂足.证明：存在定点0,使得即为定值.41QI)1(1)解由题设得f+r=11=5，aOa解得点=6,炉=3.所以。的方程为尹?1(2)证明设V(m,乂)，M照，y2).若直线MV与X轴不垂直,设直线.机V的方程为y=kx+勿，代入卷+5=1OJ得（1+2肩f+4Azpx+2%J6=0.由力M14M得谕三0,故（M2）（照-2）+（yi-1）（1）=0,整理得（+1）小的+（左/一42）（m+照）+（/771）2÷4=0.OmAkm将代入上式，可得(2+1)+242(kmk2)厂P而+(m1)'+4=0,整理得(24+3勿+1)(2A+k1)=0.因为力(2,1)不在直线JW上，所以2A+t-1关0,所以24+3t+1=0,k.所以直线W的方程为1)一"(#1).所以宜线JW过点/(|，j.若直线拗'与X轴垂直，可得M击，-y).由疝就上0,得(刘一2)(刘一2)+(yi1)(yt-1)=0.22又?+?=1所以3/8m+4=0.632解得小=2(舍去)，Xi=-此时直线以过点70,一J.令。为4D的中点，即4,).若与P不重合，则由题设知在是RtZ49P的斜边，故制I=J1朋=平.若与尸重合，则I制1=T40.综上，存在点噌，使得IM1为定值.专题强化练1.过点乎，0)的直线交椭圆C：+/=1于£尸两点，求证:证明当直线跖的斜率为零时，则点£/为椭圆长轴的端点，,1111则+W=(1'后+(1+乎，联立2消去X得I”，(r+2)+y-=0,<5<3=1f22.（2023泰安模拟）己知椭圆当+与=1（眇於0）的右顶点为人上顶点为8,O为坐标原点,aD点。到直线48的距离为芈，的面积为1O（1）求椭圆的标准方程；（2）直线）与椭圆交于C,两点，若直线，直线/18设直线；故的斜率分别为拈，A2,证明：人人为定值.解直线四的方程圮+/1,÷（t2+2）=81+争0恒成立，由根与系数的关系得2#t_4y1+-3J+2，必理_3#+2.因此I+T=IJy；+J贤即bx+ay-ab=O,则ab255因为如占的面积为1,所以发力=1，Wab=2.解得a=2,b=1,所以椭圆的标准方程若+/=1.,D（XZ,J2）,（2）证明直线的的斜率为一1设直线）的方程为尸一9十£,。（小,2代入/=1,得2V一2"+/1=0,依题意得，Z1>0,"1则y+yz=t,M%=一，所以.也=f-Ei=P/，X1-2X>Xi及2及因为击热2色=4（，一%）（，一度）4（Z72）=4t2-，（%+%）÷j2-t+yz=4（力+）一一（m+%）（力+理）+y俳一（m+度）+角=4（力理71）,k1XX2k1k-K+一+次2j,J21十tyy1+tyyi8£2816-13"2什31+2-31+22=i1.2161+f*9f+2:*1+f>92+22169cF1综上所述，Ep?+a>r=3（定值）.
