圆锥曲线大题综合测试(含详细答案).docx

圆锥曲线2221 .设椭圆+=1（。0）的右焦点为耳，直线：二7号与X轴交于点A,若OFi=2FiA（其中。为坐标原点）.（1）求椭圆M的方程；（2）设P是椭圆M上的任意一点，石厂为圆N:/+G2）2=1的任意一条直径（石、F为直径的两个端点），求还.而的最大值.22,而且过点H2 .已知椭圆石：宏+芯=1（人°）的一个焦点为片卜石，0）（I）求椭圆E的方程；（II）设椭圆月的上下顶点分别为4,4,尸是椭圆上异于4,4的任一点，直线尸A，时分别交X轴于点N,",若直线OT与过点",N的圆G相切,切点为T.证明：线段OT的长为定值,并求出该定值.3、已知圆O:/+/=2交X轴于a,B两点，曲线C是以AB为长轴,离心率为变的椭圆,其左焦2点为F,若P是圆。上一点,连结PF,过原点0作直线PF的垂线交直线x=-2于点Q.（I）求椭圆C的标准方程；（II）若点P的坐标为（1,1）,求证:直线PQ与圆0相切;（HI）试探究:当点P在圆。上运动时（不与A、B重合），直线PQ与圆0是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.224设A(x1,y1),Bx2,为)是椭圆1(。>b>0)上的两点,满足(,-)0,Xbbaba椭圆的离心率e=J,短轴长为2,0为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线AB过椭圆2的焦点F（0,c）,（C为半焦距），求直线AB的斜率k的值；（3）试问：AAOB的面积是否为定值?如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.5、直线/：y=mx+1,双曲线C：3x2-y2=1,问是否存在m的值，使/与C相交于A,B两点,且以AB为直径的圆过原点6已知双曲线C：27与=1(0乃0)的两个焦点为储(-2,0),F?(2,0),点P(3,J7)在ab曲线C上。(1)求双曲线C的坐标；(2)记0为坐标原点，过点Q(0,2)的直线/与双曲线C相交于不同两点E,F,若aOEF的面积为20,求直线/的方程。7 .已知椭圆。：*+=1(。人0)经过点人(2,1),离心率为包，过点6(3,0)的直线/与ab22椭圆。交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为1和1,求证：+Kn为定值2v22-8 .已知椭圆。1：/+3=15>>0)的离心率为3-,直线/:丁=工+241与以原点为圆心、以椭圆G的短半轴长为半径的圆相切。(I)求椭圆G的方程；(II)设椭圆G的左焦点为F1，右焦点为F2,直线4过点Fi,且垂直于椭圆的长轴，动直线，2垂直4于点P，线段PF2的垂直平分线交，2于点M,求点M的轨迹C2的方程；(III)若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2,求四边形ABCD的面积的最小值.229设厂是椭圆心1+斗=1(q0)的左焦点，直线/为其左准线，直线，与X轴交于点Rab线段腑为椭圆的长轴，已知I肱V=8,APM=2MF.(1)求椭圆。的标准方程；(2)若过点的直线与椭圆相交于不同两点46求证：N加的二NM(2)求三角形力如面积的最大值.10如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在光轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于O暇的直线/在y轴上的截距为根(m0),/交椭圆于48两个不同点(1)求椭圆的方程；(2)求加的取值范围；(3)求证直线M4、与X轴始终围成一个等腰三角形。H已知椭圆C：+=1(6z>>0),左、右两个焦点分别为、F2,上顶点A(O),ab为正三角形且周长为6.(I)求椭圆C的标准方程及离心率；(2)。为坐标原点，P是直线6A上的一个动点，求I尸工1+1尸。I的最小值，并求出此时点P的坐标.12如图，设P是圆Y+y2=2上的动点，PD,X轴，垂足为D,M为线段PD上一点，且PD=2MD,A>FI的坐标分别为(O,2),(-1,0)。(1)求点M的轨迹方程；(2)求MA+MH的最大值，并求此时点M的坐标。13.如图，在平面直角坐标系Xoy中。椭圆C:+V=I的右焦点为尸，右准线为(1)求到点尸和直线/的距离相等的点G的轨迹方程。(2)过点尸作直线交椭圆C于点AB，又直线Q4交/于点T,若0T=2O4,求线段AB的长;(3)已知点”的坐标为(,%),XoO,直线。暇交直线芳+%y=1于点N,且和椭圆C的.2一个交点为点尸，是否存在实数X,使得OP=AOMON?f请说明理由。圆锥曲线答案21解：(1)由题设知，A(“，o),F1Ua2-2,f1分a2-2')由O片+2AFJ=0,得'a2-2=2/-'a2-2,3分解得/=6.Vv/2>所以椭圆M的方程为"：二+上=1.4分62(2)方法1设圆N:y+(y2)2=1的圆心为N,则近而=顺血)胸血)6分=Qnf-np)(nf-NP)7分=NP-NF2=NP-I-8分从而求A云.而T的最大值转化为求人12的最大值.9分10分因为尸是椭圆M上的任意一点，设尸(公,%),22所以1+21_=1，即/2=633.分因为点N(0,2),所以再2=/2+(为_2)2=_2(%+I1+1212分Hy0-2,2,所以当先=1时，标2取得最大值J2.K分所以港.而的最大值为11.14分2 由(I)可知(O,1),4(0,-1),设尸(XO,%),直线尸A：y1=令y=0,得XN=二P/为T'/直线PA2:y+1=九坦%,令y=0,得加=；一%+1贝“(woNI=-1,Tr%+%-i2而手+为2=1,即片=4(1乂)，.OMON=4取线段MN的中点Q,连接6。,6川,6。，=|6川|OT2=OG2-GA/2=(OQ2+qg2)-(MQ2+QG2)=OQ2-MQ2=(|O+MQ)(OQ-MQ)=OMON=4.OTI=2.即线段OT的长为定值2.14分3 7.(14分)解：(1)因为"=J5&=正，所以c=1,则b=1,，22所以椭圆C的标准方程为二+,=15分2().P(1,1),.%=g,自0二2,J直线OQ的方程为尸-2x,点Q(-2,4)7分kpQ=1,又加=1,kop±kPQ=1,即OP1PQ,故直线PQ与圆0相切10分(III)当点P在圆0上运动时,直线PQ与圆0保持相切11分证明：设尸(Xo,%)(/±5),则y；=2片，所以勺.k=-o±1,+1Vo所以直线OQ的方程为y=匹3”所以点Q(-2,2x+2)12分JoJo2xc.+2y°V所以左N=.0-(2%+2)=-%-2%=X。、又k0p=13/XO+2(JVo+2)y0(JVo+2)y0y0Xo所以k0p±kpQ=-1,即OP1PQ,故直线PQ始终与圆0相切.14分/2_2AT49解：(1)2b=2.b=1,e=>q=2.e=J5椭圆的方程为aa2-x2=1(2分)4(2)设AB的方程为y=kx+J5-1左2+4（4分）知y=kx+yf3(v2=>(k2+4)x2+243kx-1=Ox1-+x2=1140+'S=x1x2+(J,X+)(kx2+3)-(Ih)x1x2+-(X1+)（7分）左2+4/1、Ck-23Z:3(-A)+a+,解得左=±24+44+44(3)当A为顶点时，B必为顶点.S,A03=1(8分)当A,B不为顶点时，设AB的方程为y=&y=kx+b-rkhY=(左2+4)x2+2kbx+b2-4=0得至Ik1+x2=+X2=1k1+4142-42+4X1X2=子=OoX1X2+.%+竽=O代入整理得:2+左2=4.(11分)Q_Iiaii_11-2/42-42+16-4T-1S-II1X1-X2I-II1(%1+%2)4%1%2I-.2+4=2II=所以三角形的面积为定值(12分)976.解：(1)依题意。=2,一r=1且，="+/,解得：q2=2,"=2,ab22所以双曲线方程为土匕=14分22(2)依题意可知，直线/的斜率存在设直线/的方程为y=kx+2,E(XI,%),F(x2,y2),.*.y3<左<3，,有两个交点，1左20,又4=16左2+24(1F)>O,严<3,24Z21又X1+%2=_k2且X1%2=_k2',.*IEFI=1+2(x1+x2)2-4x1x2=J1+1'TO点到直线的距离为d=下二=,又S=1EFd=2yfi,7F2.J(占)2-法=20'；k=±血，直线/的方程为y=Jx+2或y=x+212分解得a=yf,b=y3.c_2、a2故椭圆C的方程为工+匕=15分63(2)由题意显然直线/的斜率存在，设直线/方程为y=左(x-3),)=左(X-3),由I122得(1+2左2)%212k2x+182-6=0.+=1,163因为直线/与椭圆C交于不同的两点M,N,所以A=144-4(1+2k2)(1Sk2-6)=24(1-)>0,解得一1VkV1设M,N的坐标分别为(X,%),(x2,y2),112V18V-67,。、7,。、八则Xi+%=+2女2，卬=+22，M=Za-3),y2=k(x2-3),9分11y1-1y9-1.k_|-V一_±11'2KAM十RAN-C十CX1-2JT2-Z(kX13k1)(x2-2)+(AX23k1)(x1-2)(X12)(x2-2)2kx1x2一(5左+1)(%+x2)+12+4XIX2一2(X1+x2)+42次(18/26)(5/+1)12左2+(12左+4)(1+2k?)_-42+4182624左2+4(1+2左2)2k2-2所以左AM+左AN为定值一214分86解：T)e与,吟=T=”=2及直线/:%-丁+2=0与圆2+y2=72相切:.=b,:.b=2B=4,.a2=8,222,椭圆Ci的方程是±+上=1.3分84(II),MP=MF2,动点M到定直线4:2的距离等于它到定点F2(2,0)的距离,动点M的轨迹C是以4为准线，F2为焦点的抛物线点M的轨迹C2的方程为/=8%6分(III)当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k,A(X1，H),C(X2，为)，则直线AC的方程为y=k(x-2),22联立+Y=1及y=k(x-2)得(1+2左2»28左2%+8左28=08左2_8左281+2左2'为九2-1+2左2IAC1=J(1+/)(3_