等比数列的通项及前n项和7大题型.docx

等比数列的通项及前项和7大题型命题趋势主要考查等比数列的基本量计算和基本性质、等比数列的中项性质、判定与证明，这是高考热点；等比数列的求和及综合应用是高考考查的重点。这部分内容难度以中、低档题为主，结合等差数列一般设置一道选择题和一道解答题。满分技巧一、等比数列的判定方法1、定义法：5=q（常数）=为等比数列；2、中项法：+1=+2（q户0）=4为等比数列；3、通项公式法：q=依（k,夕为常数）=“为等比数列.二、等比数列前项和运算的技巧1、在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：,勺，夕，Sf1,其中首项卬和公比夕为基本量，且知三求二，常常列方程组来解答；2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如小,S都可以看作一个整体。三、等比数列前项和的函数特征1、Sn与4的关系（1）当公比时，等比数列的前项和公式是S=T11i-q它可以变形为S.=3-3,设a=3,则上式可以写成-q-q-qSzI=A-Aq的形式，由此可见，数列S“的图象是函数F=A-Aq'图象上的一群孤立的点；(2)当公比9=1时，等比数列的前项和公式是5=4,则数列邑的图象是函数y二即丫图象上的一群孤立的点。2、S”与勺的关系当公比4"时，等比数列的前项和公式是S.=与跑,它可以变形为i-qSn=-an-q-q设A=-7-,B=#-,贝1上式可写成S=A凡+3的开乡式，贝jS”是凡的一-q-q次函数。热点题型解读【题型1等比数列的基本量计算】例2023.陕西铜川.校考一模般正项等比数列叫的前项和为S.若邑=13,M=364,则通项4=()A.32,B.32C.3"D.3"T【变式1-1】(2023秋山东泰安高三统考期末)已知等比数列也的前项和为S一且S,S2,S、成等差数91%+6+=T8,贝!Jg=()A.-96B.T8C.48D.96FJrUt=4=3×(-2)4=48,故选:C【变式1-2】（2023春河南开封高三统考开学考试）已知等比数列%的前4项和为30,且%3,则为=（）azbIcd【变式1-3X2023春云南高三校联考开学考试痔比数列帽的前项和为S1t,若/=枭2+6=54,则=（）A.3B.6C.12D.14【变式I*2023.四川绵阳.统考模拟预测）已知各项均为正数的等比数列也,前项和为SQ3=56,S6=63,若“=】，则的值为（）A.4B.5C.6D.7【题型2等比中项及性质应用】例2（2023秋江西萍乡高三统考期末）在各项均为正数的等差数列,中，出=3,若%+1,%+3成等比数列，则公差公（）A.T或2B.2C.1或-2D.1【变式2-1（2023秋福建厦门高三厦门外国语学校校考期中）在等比数列4中，若%,%是方程d-6x+2=0的根，则誓的值为（）u9AB.-2C.2D.0或&【变式2-2（2023.广东佛山.统考一模）已知各项均为正数的等比数列叫的前项和为1,a2a4=9t9S4=IOS2/贝IJa的值为（）A.30B.10C.9D.6【变式2-3（2023江西校联考一模）已知等比数列6满足3+/+4+/=20,%q=2,则-5的值为.%u4“6u8【变式2-4（2023春全国高三校联考开学考试）已知S“是等比数列凡的前n项和,若%4o=8%,且%=1,则SS=（）31A.96B.C.72D.-724【变式2-5（2023秋河南驻马店高三统考期末）在正项等比数列4中，若为吗是关于K的方程一_如+4=0的两实根，则噫4+噫电+1暇生+1%=（）A.8B.9C.16D.18【变式2-6（2023秋贵州铜仁高三统考期末）已知等比数列4的各项均为正数且公比大于1,前项积为U,且=出厕使得。1的的最小值为（）A.5B.6C.7D.8【题型3等比数列的判定与证明】例3（2023秋河南开封高三统考期末）在数列叫中，=叫爵=券-3厕（）A.仔+3；是等比数列B.俘T是等比数列C.修+|是等比数列D.仔-|是等比数列【变式3-11（2023秋北京高三北京市八一中学校考阶段练习）记B,为数列叫的前项和，给出以下条件，其中一定可以推出4为等比数列的条件是（）A.Sn=2a-1B.5=2+1C.1=2«D.是等比数列【变式3-2(2023全国高三专题练习旧知数列满足-/%=弘+4+2且q=3%=1,则%=()【变式3-3(2023重庆沙坪坝重庆南开中学校考模拟预测)已知数列zj,d的前项和为Sn，E，%=4,=2,37；=n+1-a1.(1)若也是等比数列，求3；(2)若%=3S.+4,证明：q,+4,%-媪均为等比数列.【变式3-4】(2023春湖南长沙高三长郡中学校考阶段练习)已知数列应满足加”+-1,为奇数/%=】，"1_位为偶数，(")(I)证明：%"是等比数列(2)求数列4的前2项和先.【题型4等比数列的函数特征】【例4】(2023秋.上海黄浦.高三上海市大同中学校考阶段练习)设无穷等比数歹!J的前项和为s.，若一4</<q,贝U()A.为递减数列B.6为递增数列C.数列S.有最大项D.数列有最小项【变式4-1(2023全国高三专题练习)设等比数列q的公比为q,其前项和为S”，并且满足条件1)VO,则下列结论正确的是()A.>1B.0<4<1C.%+%<%+。9D.S,；的最大值为SS【变式4-2（2023.全国高三专题练习）设等比数列的公比为4,其前项和为S.，前项积为乙，并满足条件4>1刈2°>1,7T<,则下列结论正确u20231的是（）A.52019>S2023B.&50是数歹I4中的最大值C.a2019a202-1<。D.数列无最大值【变式43】（2023.全国高三专题练习）（多选）设等比数列1的公比为q,其前n项和为S-前项积为Th,且满足条件q>1,022%O23>1,（-）（-）<,则下列选项正确的是（）A.an为递减数列B.S2023+I<§2023C.T2023是数列中的最大项D.加<1【题型5等比数列的前n项和性质】【例5】（2023秋.山东荷泽高三统考期末）等比数列%的前项和为S一若SIO=IO,S2o=30,则S40=（）A.60B.70C.80D.150【变式51】（2023.全国高三专题练习）已知等比数列,中,%=1，4+%+2+,=851a2+a4+t=42,则A=（）A.2B.3C.4D.5【变式5-212023高三课时练习圮知S”是正项等比数列凡的前项和，SK）=20,贝IJS30-2S20+S10的最小值为.【变式5-3（2023全国高三专题练习）设正项等比数列”的前项和为S.，若S1K）S2,则1的值为.【变式5-4（2023全国高三专题练习）设正项等比数列凡的前项和为S-2'-（21+1）S20+=0,则公比9=.【题型6等比数列的简单应用】例6（2023.陕西咸阳.武功县普集高级中学统考一模）古希腊大哲学家芝诺提出一个有名的悖论，其大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在颂口乌龟的赛跑中，他的速度是乌龟速度的10倍，乌龟在他前面100米爬行，他在后而追，但他不可能追上乌龟，原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了I（X）米时，乌龟已在他前面爬行了10米，而当他追到乌龟爬行的10米时，乌龟又向前爬行了1米，就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地向前爬行，阿喀琉斯就永远追不上乌龟.“试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行了（）A.11.1米B.10.1米C.11.11米D.11米【变式6-1（2023秋.福建宁德高三校考期末）庄子天下中讲至IJ：“三尺之梗,日取其半,万世不竭.”这其实是一个以T为公比的等比数列问题.有一个类似的问题如下：有一根一米长的木头，第2天截去它的g,第3天截去第2天剩下的;，第天截去第n-1天剩下的讶，则到第2023天截完以后，这段木头还剩下原来的（）A，2023B22C42D44【变式6-2】（2023.全国高三专题练习）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载靖最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.“十二平均律”是将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比均为常数，且最后一个单音的频率为第一个单音频率的2倍.如图，在钢琴的部分键盘中，如,，%这十三个键构成的一个纯八度音程，若其中的4（根音），氏（三音），/（五音）三个单音构成了一个原位大三和弦，则该和弦中五音与根音的频率的比值为【变式6-3（2023秋山东烟台高三统考期中）为响应国家加快芯片生产制造进程的号召，某芯片生产公司于2023年初购买了一套芯片制造设备，该设备第1年的维修费用为20万元，从第2年到第6年每年维修费用增加4万元，从第7年开始每年维修费用较上一年上涨25%.设巴为第年的维修费用，A“为前年的平均维修费用，若4<40万元，则该设备继续使用，否则从第年起需对设备进行更新，该设备需更新的年份为（）A.2026B.2027C.2028D.2029【变式6-4（2023秋河北唐山高三开滦第二中学校考阶段练习）（多选）2023年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界,数学中也有一朵美丽的雪花“科赫雪花”.它的绘制规则是：任意画T正三角形6,并把每一条边三等分，以三等分后的每边的中间一段为边向外作正三角形,并把这“中间一段”擦掉形成雪花曲线1重复上述两步画出更小的三角形，一直重复，直到无穷，形成雪花曲线8,6，K,2P1设雪花曲线P”的边长为，边数为2,周长为乙，面积为S“.若4=3,则下列说法不正确的是().AG="B.E<S3<gSC4=9(T)DSn=S”t+/如T【题型7等差数列与等比数列综合】例7(2023秋天津南开高三南开中学校考阶段练习)设“是公比大于0的等比数列，也是等差数列,已知4=1,a3j+2,a4b3+b5fa5=+2.(1)求数列包,数列出的通项公式；(2)设g=(T)"%也，+落*，求数列C的前2项和瓜.【变式71】(2023春.上海闵行.高三闵行中学校考开学考试)已知数列m臼=1,的前九项和为Sh(1)若为等差数列，§7=21,求公差d的值及通项的表达式；(2)若应为等比数歹I，公比“>。，且对任意eN,均满足S”,求实数夕的取值范围.【变式7-2(2023秋天津南开高三统考阶段练习)已知数列。J是公差不等