概率论与数理统计第二章测验题答案.docx
其次章测验题答案一.填空(共28分，每题4分)1 .投掷一枚匀称对称的硬币，以X表示正面消失的次数，则随机变量在区间(0.5, 1.5)取值的概率为0.5.解：随机变量X的分布律为X0IPk0.50.5所以P0.5 < X 1.5 = PX = 1 = 0.52 .设随机变量JU(l,6),则方程_? +算+ = o,有实根的概率为4/5 .解：方程f+4 + l = 0有实根，则判别式 = "4o,则J2或者J-2,所以P方程有实根 = P = 2-40 = P( 2u -2)= P2-P-21 1 ，一< x< 650,其它又由于随机变量看听从参数为(1,6)的匀称分布，所以其概率密度函数为I 1,/(X)/<x<66-10,其它所以P肄2="力=瞟力=:P<-2=2 f(t)dt=20dt = 0.J-X)J-oo4故 P方程有实根 = P 2 + P -2 = -.3 .设 Xb(2,p)I 仅 3,p),若 PXl = ,则刊丫 l=l927.解：由题意知随机变量X和Y分别听从参数为2和p、3和p的二项分布.544- = PX = -PX=Of 得到尸X=0 = "即C；)p°(l )2=(l p)2=.,所以(l-p)=2,从而19272pyi = jpy = = Yp°（i_）3 = i_（i- ）3 = 34.设X的概率密度函数为(x) =22”3,6,若 k 使得PXZ = -,则 k 的30,其它取值范围是1左3.×=k解：此题用画图的方法来解：下图中红线即为(x)的图像.2329S2S1012 3 4 5 6其中S1表示由红线Cr) = J与X轴所夹部分的面积，即尸()X<1二1；222S2表示红线幻=与x轴所夹部分面积，即P3<X6 =-×3 = -.而PXA即表示(x)图像与x轴所夹图形在直线x = A右侧的面积(绿色虚线所示2范围).由于PXA = = P3X<6,所以k的取值范围只能在1和3之间，即<k3.5 .设随机变量XN(1,4),则PlvX<2=皿空_.(已知(0.5) = 0.6915.)解：由XN(1,4)可知，,=1,b = 2.首先进行正态分布的标准化，在查表计算P<X <2 = P1-1 X- 2-1<-2 b 2= P0<"i4 2二(3-(0) =0.6915-0.5=0.191526 .设硕士争论生入学数学考试及格率为0.55,则15名考生中数学考试及格人数X的概率分布是二项分布,参数为15和0.55,解：15名考生参与考试，F以视为15次伯努利试验。每一名考生考试及格为胜利A,不及格为失败X,胜利的概率为p=055.因此，15名考生中及格人数X听从参数为(15, 0.55)的二项分布.7 .用还原抽样的方式从1, 2,9等九个阿拉伯数字中一个接一个地抽取数字，直到消失被3整除的数字为止，则被3整除的数字消失在第三次抽取的概率为 4/27.解：从1,2,9中随便抽取一个数，能被3整除的概率为p=l3.以X表示题中要求的抽样次数，则X的概率分布为PX = = p(l p)"T = 1,2,即参数为p=l3的几何分布，因此被3整除的数字消失在第三次抽取的概率为PX=3 = g2427二,选择(共24分，每题4分)1.设耳和内。)分别是随机变量X和乂2的分布函数，为使F(x)=西(幻-优(x)是某一随机变量的分布函数，在下列数值中。和应取A(A)(C)3 z2a = -,b =551 , 3a =,b = 一2 222(B) = -, = -3313(D)67 = -, = -22解:为使F(x)也成为分布函数，则需要满意分布函数的四共性质，其中为判定a,b的取值，则采用1 =/(+)= lim a>) = q(+)-bg(+) = -乩各选项+oo中仅有选项(A)符合这个条件.2.假如X的可能值布满区间A,B,那么sinx可以成为这个随机变量的密度函数.(此题有两个答案)(A) 0,0.5-(B) 0.5肛乃(C) 0,1(D)凡 1.5划解：X的可能值布满某区间a,b,即表示X落在这个区间以外的概率为()，密度函数在此区间以外就等于0.又由于盼望sinx为密度函数，则采用密度函数的性质+<x>广+8ch(x)d = l来判定，BJ 1 = sinxdx = snxdx,通过对这四个选项的计算，发-J-<x>Ja觉只有(A)、(B)满意这个条件.C3 .设随机变量X的密度函数为/() = < 4一 ',则c=C0,xl(A) 24(B) -J-(C) -(D)-2解：采用密度函数的性质来做：1 = J fxdx = , C dx = carcsinxl1 = cy-(-j-) = c所以c = L4 .设随机变量XN"q2),则概率PX的值D(A)与有关，但是与。无关 (B)与无关，但是与。有关(C)与4和。均有关(D)与和。均无关解：由正态曲线可知，PX = -,与和。均无关.5 .设随机变量XN(q2),且PXc = PX>c,则c的值为B.(A)0(B)(C) - (D) 解：由PXc = PX>c可知，正态曲线与x轴所夹部分在直线x = c两侧的面积相等，则x = c、即为曲线对称轴，所以c = 4.6 .设随机变量X的概率密度为/*),且(-x) = Q), b(x)是X的分布函数,则对任意实数>0, F(-a) = B (A)l-(x)Jx (b)；-J； f(x)dx (C) F(c) (D) 2F(a)-l解：由(-x) = (x)可知，密度函数的曲线是关于y轴对称的，则由曲线与x周所围部分的面积及相互关系可知/(-。)=1-b(。)，F(-a)三,解答题(请写明求解过程，共48分)1. (12分)已知连续型随机变量X的分布函数为0, x < 一。F(x) = A + Barcsin ,4 <x<a,(a > 0)al.x > a求 A, B; (2)/(%).解：(1)采用分布函数的性质求其中的未知系数：由于X是连续型随机变量,所以其分布函数F(x)在整个实轴上是连续函数，即在x = -,x = 两个点均连续，因此有：ci7在工=一。点去左极限：lim F(x) = lim 0 = 0 = A + Barcsin =AB(-)-x(-)-a2在x = 4 点取右极限：lim F(x) = lim 1 = 1 = A+ Barcsin = A + Bx+.v+2所以解得A = J,3 = L.2 0,x< -a11xF(x) =一H arcsin,-<7 xa,其中 a > 0.2 a,x> a(2)对分布函数在各区间求x的导数得到，留意(x)的不连续点x = -和x =-对这两个间断点赋值为零即可，所以有1>Ja2 -x20,其它2. (12分)已知X的密度函数为-a<x<a(x) =xev,x> 009x0求尸(x);(2)PX=l; PX1解：分别考虑x<()和x>()两种状况:当x0时，F(x) = PXx= f(t)dt = O；J-oc当x>0时,F(x) = PXx = X f(t)dt = je-,dt = 一，(二)(采用分部积分法)= -te, -etdt = -xexdt = -xex-det)=-xex-et =廿-er + l = l-(x + 1)11 ( + l)e ' r > Q所以尸(x) = 1")'',(留意此分布函数为连续函数.)0,x0(2)消失概率密度了，所以X肯定是连续型随机变量，所以单点处的概率为0.假如题目中只给出了分布函数，且分布函数为连续函数，则单点处的概率也为0,不用争论X是什么类型的随机变量。3 3) PXl = l-PX<l = l-PXl=l-F(l) = l-l-(l÷l>-1l = 2e",.3. (8分)已知连续型随机变量的密度函数为l-x,-l<x<l0,其它求(1)P 2X<JM2) F(2).4l + x,-l < x< 0解：由题意得到 (x) = < l-%,0x<l0,其它(1) P-2 X < = f(x)dx = 1 (x)Zx + ° (x)Zx + J fxdx=10公+J (1+元)公+Jj(i-)公1 7 23|_ 2 32 32 .(2)法一：采用分布函数的定义直接结算：尸(2) = PX 2 = £/力=匚 f(t)dt + f(t)dt + f(t)dt +=J Qdt + J (1 + x)dt + J(l- x)dt +1 0力=1法二：采用密度函数的图像直接求面积即可。法三：留意到密度函数只有在卜1"上是非零的，其它区间都为零，而2>1,所以采用密度函数的性质可知：1 = f fxdx = f f(x)dx + 0 = f fxdx- Qdx- f 0dx = (x)tZx =F(2).J-J-lJ-lJ- JI J-co4. (5分)设X U(2,5),现对X进行3次独立观测，求至少两次观测值大于3的概率.(同时考察离散型随机变量和连续型随机变量)工25解：由于XU(2,5),所以X的密度函数为(x)=，设a表示大事0,其它“观测值大于3”,则P(A) = P观测值大于3 = PX >3 = f(x)dx =-dx = -.设随机变量Y表示观测到大事A发生的次数，由于一共进行三次独立观测，每次观测的观测值要么大于3,要么不大于3,所以是进行了三重伯努利试验，即Yb(3,p),2其中 p = P(A) = ,20所以欲求的 p(y2) = py = 2 + Py = 3 = Cp2(i-p)+*p3(i-p)0 = -5. (5分)设X听从参数为2 = 2的指数分布，求y = l-x的概率密度.
