概率论与数理统计习题课.docx
概率论与数理统计习题课中国矿业高校徐海学院彭红军1.12个乒乓球中有9个新球，3个旧球。第一次竞赛，取出3个球，用完以后放回去，其次次竞赛又从中取出3个球。（1）求其次次取出的3个球中有2个新球的概率；（2）若其次次取出的3个球中有2个新球，求第一次取到的3个球中恰有一个新球的概率。解：（1）用全概率公式，设A。表示第一次取出三个球中有0个新球，A表示第一次取出三个球中有1个新球，A2表示第一次取出三个球中有2个新球，A3表示第一次取出三个球中有3个新球，B表示其次次取出的3个球中有2个新球。03C2P(AJ =P(A) = N，P(&)=,，2C2。12。12c2clp(B4) = -a(b。12c2c'C12c2clA2) = -,P(BC12c2clA) = Nei2=0. 455则 p(b)= p(4)p(s|4)+ P(A)砌 A)+ p(a2)p(ba2)+ p(3)p(b3)(2)用BAYS公式:P(4 忸)=BAD =0. 14P(B)2.在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立的等公共汽车。设每个人等车时间X（单位：分钟）均听从0, 5上的匀称分布。求三人中至少有两人等车时间不超过两分钟的概率。解：设y表示甲、乙、丙三人中等车时间不超过2分钟的人数，则y8（3,P）其中P表示每个人等车时间不超过2分钟的概率，则p = PX 2= f " = 04Jo所求概率PY2 = C1×0.42 ×0.6 + C； x0.43 = 0.3523.设随机变量X的密度函数为：（x）=ax.cx + b.0,0x<22%<4 , 已知其他E(X) = 2, P1<X<3= ,试求：(1) ,c的值；(2) P(2<X<3)；,t /、f+f4解：(1 ) f(x)dx = j axdx + £ (ex + b)dx = 2a + 6c + 2 = 1J+ xf (x)dx = ax2dx÷ (ex + b)xdx = « + c÷66 = 2-oo0233P1<X<3 = J f(x)dx = j axdx- (cx÷>)rfx = -« +c + = -112224解得= ' = l,c = 3(2) P2vX v3 = f (x)dx = f(-5 + l)dx = 4.设（x,y）的概率密度为求：（1）(4)a，)o(2) px < ；问x与y是否相互独立?0<x<10<j<other（3）边缘概率密度人（工）,人（），）；解:(1)J： 2o (x, y)dxdy = bj；e xdxj： eydy = 1 ,解得：b = - p(<y)=或可;(3) (x) = ：/(x,y)dy =f+be * j eydy = bex ,0 < x <otherr+oo() = f(,y)dx =J-00J exydx = 6(l-e-1)e- v ,0 y +0, other(4)由于(x,y) = (x)y(y)0 所以X, Y独立5.设圆的直径听从(0, 1)上的匀称分布，求圆的面积的概率密度函数。v2解：设圆的直径为X,圆的面积为S,则s =0一40, other面积S的分布函数G,(s) = P(S s) = P(-邛X2.所以面积S的概率密度函数人"晤欣1J=,0 5 40, other6.设总体X的概率密度为r (小 f() = 试用来自总体的样本X, X,X”，解：x = E(X) = xfx(x) - 40x<()dx =4 .-M=a= 4 = x解得：即为矩估量量4依唔(3分=口唔(3分)(2分)1(。>0)其他求未知参数。的矩估量.F+直径的概率密度函数为f() = h°Xi(2分)7 .设总体J的分布密度为:/(X)= 1e-x0xQx<Q步>0),假如从总体4中抽取得样本观测值为121381411139122219求参数6的最大似然估量值。解：设似然函数为:101°八-疙巧（3分）（4分）（3分）(11戊一的)= ,', 巧 0(i = l,2,10)=l0other当芭 0时，£>0 ，且EL=101n6-eE%/=1噜 =0,则解得的极大似然估量为：。=泮dxi=l从而得到,的极大似然估量量为。=£ =言=°.。7528 .假设有一商店销售某种商品，每周进货量x和客户的需求量y是相互独立的随机变量，而且都听从10,20上的匀称分布，商店每售一件商品获利1000元，假如需求量超过进货量，该商品须从其它商店调剂供应，这时每件商品可获利500元，问：该商店销售此种商品每周内的平均利润。由题意可得：C 10<x20'10< j<20 =jo = no0 other1 0 other设Z为商店每周获得的利润，则：ooyxooox+5(y-x) > xZ = V由于x,y相互独立，故:(j) = hoo0,10x20,10 J<2Oother所以:E(Z) = 1x1>OOj ×标 + J:M：500(x + j)×x =等(元)9 .正常人的脉搏平均72次/min,现某医生测得10例慢性四乙基铅中毒患者的脉搏(单位：次/min)为：54, 67, 68, 78, 70, 66, 67, 70, 65, 69问四乙基铅中毒者和正常人的脉搏有无显著性差异(假设四乙基铅中毒者的脉搏听从正态分布，a = 0.05, ta (9) = 2.2622) ?解： 作"°: = 72，a：w72由于/未知，采纳统计量 = i("1),Gcc = 0.05, /1 = 10,查表知 = 2.2622,2经计算得X = 67.4, S = 5.929,于是 丁=飞；：2=2453.由于丁-%(9)，故拒绝H。,认为有显著性差异。1（）.已知某种白炽灯泡的寿命听从正态分布。在一批该种灯泡中随机地抽取10只测得其寿命值（以小时记）为:999. 17993. 051001.841005. 36989.81000. 891003. 741000. 231001.261003. 19试求未知参数及/的置信度为0.95的置信区间。解：（1）未知参数的置信度为0.95的置信区间为:4 «48(6分)999.853 ± -j=- × 2.262 = 999.853 ± 3.4678= 996.3852,1(X)3.321（2）未知参数/的置信度为0.95的置信区间:(-l)s22Z.O25(n-)s22务).975_ 211.5268 211.5268 19.023 , -7= 11,1195,78.3433H.设（x,y）的联合概率密度为0<x<l<yx其它24 s 、0，求 E(X),E(y),E(XF)解：E(X) = (x,y) = j xy(2 - x)dxdy =E(Y) = JJW(x,)，) = £y2(2-x)dxdy = E(XY) = xyf(x9 y) = £ £ y xy2 (2 - x)dxdy =
