概率论与数理统计.docx
例1在管理系同学中任选一名同学，令大事A表示选出的是男生，大事5表示选出的是三班级同学，大事C表示该生是运动员.(1)叙述大事A53的意义；(2)在什么条件下ABC = C成立？(3)什么条件下CuB?(4)什么条件下A = 3成立？解(1) A53是指当选的同学是三班级男生，但不是运动员.(2)只有在CuAB,即CuACu3同时成立的条件下才有A3C = C成立，即只有在全部运动员都是男生，且全部运动员都有是三班级同学的条件下才有BC = C.(3) Cu3表示全部运动员都是三班级同学，也就是说，若当选的同学是运动员，那么肯定是三班级同学，即在除三班级同学之外其它班级没有运动员当选的条件下才有CuB.(4) u8表示当选的女生肯定是三班级同学，且8u表示当选的三班级同学肯定是女生.换句话说，若选女生，只能在三班级同学中选举，同时若选三班级同学只有女生中选举.在这样的条件下，彳=8成立.例2考察某一位同学在一次数学考试中的成果，分别用A,B,C,QP,厂表示下列各大事8 良好(80,90),。-及格(60,70),尸一-未通过(0,60),(括号中表示成果所处的范围)：A - -优秀(90,100),。一 一中等(70,80),P通过(60,100),则A5,C。，厂是两两不相容大事P与尸是互为对立大事，即有歹=尸；4氏。,。均为。的子大事，且有P = ABCUD.例4指出下各等式命题是否成立，并说明理由：(1) AB = (B)Bi(2) AB = AJB(3) ABC = ABC ;(4) (AB)(AB) = 0.解成立.(aB)U8 =(AU8)n(耳 U8)(安排律) = (AU8)nS=AUB(2)不成立.若A发生，则必有AU3发生，A发生，必有彳不发生，从而彳5不发生，故8 = AU8不成立.(3)不成立.若而c发生，即C发生且而§发生，即必定有C发生.由于C发生，故不必定不发生，从而彳万仁不发生，故(3)不成立.(4)成立.例5化曾下列大事：(1) (AUB)(AUB); (2) ABJABJAB.解(1) (A U B)(A B)=才(不UB)U耳(U3)(安排律)= (AAAB)U(BABB) = (UX8)U(丽U0)(因 )=A U BA = A.(2) ABJABJAB = ABJABJABJAB = A耳 U 8 U 8J 印方(交换律)=(AB AB) (AB U AB)(结合律)=(411彳)月11不(31)后)=月1)才=而.(对偶律)课堂练习1设当大事A与3同时发生时C也发生，则().(A) A U 8是C的子大事；(B) ABC-或XU A U3；(C) /W是C的子大事；(D)。是的子大事.2.设大事A=甲种产品畅销，乙种产品滞销,则A的对立大事为().(A)甲种产品滞销，乙种产品畅销；(B)甲种产品滞销；(C)甲、乙两种产品均畅销；(D)甲种产品滞销或者乙种产品畅销.6、观看某地区将来5天的天气状况，记A,为大事：“有i天不下雨; 已知P(A,) = i尸(A。),i = 1,2,3,4,5.求下列各大事的概率：(1)天均下雨；(2)至少一天不下雨；(2)至少一天不下雨；5解 明显A),4,&是两两不相容大事且U 4 = 5,/=0(51 = P(S) + P 4go55= Z&Aj)=P(4) + Z 沪(4)=16P(A)/=0/=1于是P(A) = J, P(4) = J, = 1,2,3A5,1616记，,中三个大事分别为A则(0 P(A) = P(4)=，16 P(B)=pfA=l-P(0)=,g )16PQ =ua)=)=/=07 .设A8 = 0, P(A) = 0.6, P(AU3) = 0.8,求大事8的逆大事的概率.8 .设 P(A) = 0.4, P(B) = 0.3, P(AB) = 0.6,求 P(A-3).9 .设A,8都消失的概率与A,8都不消失的概率相等，且P(A) = P,求P(B).10、设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,其次次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.解以4(，= 1,2,3)表示大事“透镜第i次落下打破”，B表示大事“透镜落下三次而未打p网二a¾¾) = P(4)P(414)尸& I a1a2)11、 己知 P(A) = 0.3, P(8) = ().4, P(A 5) = ().5,试求P(BAJB P(AB AB).解 由乘法公式，P(AB) = P(A B)P(B) = 0.5 ×0.4 =0.2,因此尸(0人)=£包=丝=2,又由于3uAU8,所以3(AU8) = 8,从而P(4)().3 3P(BAB) AU8) =0.4,P(AJB) P(A) + P(B)-P(AB) 0.3+ 0.4-0.2 5P(A AB) =P(ABAJB) = -P(ABAjB)=-生也_ =丝P(AJB) 0.5 512、一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随便各取一球(不放回)，求其次次取到的是黑球的概率.解 这一概率，我们前面在古典概型中已计算过，这里我们用一种新的方法来计算.将大事”其次次取到的是黑球“依据第一次取球的状况分解成两个互不相容的部分，分别计算其概率，再求和.记A, 8为大事“第一、二次取到的是黑球”，则有P(B) = P(AB) + P(AB) = P(A)P(B A) + P(A)P(B A)3_72-3由题设易知 P(A) =历,P(A) =, P(B| A) = -, P(B| A)=-,于是P(3)=3 2 7 3 3 L_ V 10 9 10 9 1013、某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06,乙厂每箱装120个，废品率为0.05,求：(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；(2)若将全部产品开箱混放,求任取一个为废品的概率.解 记大事A、B分别为甲、乙两厂的产品，C为废品，则3() 3202(1) P(A) = =-t P(B) = =-, P(CA) = 0.06, P(C B) = 0.0550 550 5由全概率公式，得 P(C) =P(A)P(CA) + P(3)P(C8) =0.056(2) P(A) =3() × 10()3() × 100 + 2()×12()P(8)二20 × 1203() × 100 + 2()×12()P(C A) = 0.06, P(C B) = 0.05由全概率公式，得 P(C) =P(A)P(CA) + P(B)P(CB) 0.056.14、某种小树移栽后的成活率为90%, 一居民小区移栽了 2()棵，求能成活18的概率.解 观看一棵小树是否成活是随机试验E,每棵小树只有“成活”(A)或“没成活”(彳)两种可能结果，且P(A) = 0.9.可以认为，小树成活与否是彼此独立的，因此观看20棵小树是否成活可以看成是P = 0.9的20重伯努利试验.设所求概率为P(8),则由伯努利公式可得P(B) =4 ×0.918 ×0.12 = 0.285.15. 一个袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，每次从中随便取出一球，取后放风(1)假如共取10次，求10次中能取到黑球的概率及10次中恰好取到3次黑球的概率.(2)假如未取到黑球就始终去下去，直到取到黑球为止，求恰好要取3次黑球的概率.解 记A,为大事“第，次取到的是黑球”，则P(4) = 310,i = l,2，(1)记8为大事“10次中能取到黑球“，人为大事“10次中恰好取到上次黑球“(K = 0,l,10),则有P(B) = 1-P(B) = 1-P(B0) = l-(710)10,(2)记C为“恰好要取3次”，。为“至少要取3次”，则P(C) = (710)2(310),P(D) = P(AlA2) = P(Al)P(A2) = (7/10)2.
