概率论与数理统计B试卷A与答案.docx
04级全校概率论与数理统计B(05秋)期末试题A卷备注：1.第一-题只填结论,其余各题必需要有解题步骤,否则不予给分.2.要求卷面干净清晰,字迹清晰,解题步骤完整.一.填空题(每题2分，共18分)1 .设离散型随机变量X具有概率分布律X -10123P 0.20.3 a 0. 10.3则常数。=.2 .已知A、B为相互独立的两个随机大事，P (A) =1,P (AUB) =2,则33P(B)=.3,随机变量X在区间(-2, 6)上听从匀称分布，则X的数学期望£(x)=，标准差 5反)=.4 ,随机变量XN(l,3) , yN(2,4),且X与丫相互独立， 设Z = 2X3Y,则 E(Z)=, D(Z)=.5 .已知随机变量 XN(O,1),且=0.9772 ,则尸网2 =.6 .二维随机变量(X , Y )的协方差Cov ( X , Y ) =0.36,且D(X)=O. 81, D(Y)=O. 64.则相关系数 p(X,V)=.7 .设有4个独立工作的元件，牢靠性分别为小，, P3,幺，将它们并联后的系统的牢靠性为.8 .随机变量X听从参数。二2.5的指数分布，则E(2X)二， D(2X)9 .随机变量 X F(6, l 2),已知瑞侬(6,12) = 10, 5(6,12) = 10,则心995(12,6)=二.计算题（每题7分，共42分）1.甲、乙、丙三人独立进行射击，已知甲、乙、丙各自射击的命中率分别为LLL求:三人中至少有一人击中靶子的概率.3 2 42,设离散型随机变量X具有分布律 -202P 0.4 0.3 0.3求： E(X2);(2)PX<().5.3.设随机变量X的概率密度为fM =J3c(l - x2)- <x 1, 其它.求：（1）确定常数 c; （2）P-3<X04 ,设随机变量X的概率密度为（%） = 2（2X + 1），0 <X1求随机变量X的0, 其它.分布函数7（x）.5 .设二维离散型随机变量（x, 丫）的联合分布律为YX12-1 10.050. 10.30.20. 10.25求：随机变量的函数x+y和x 丫的分布律.6 .设二维随机变量（x, y）的联合概率密度是/(苍 y)= <&(6 x- y),0 < x < 2,2 < y < 4,0,其它.求：（1）确定常数攵;（2）求边缘概率密度;（3） x和y是否相互独立？（需说明理由）三.应用题(每题8分，共40分)1 .三家元件制造厂向某电子设施制造厂供应所用元件，依据以往的纪录有以下数据：元件制造厂次品率供应元件的份额第一家0. 020. 15其次家0.010. 80第三家0. 030. 05假设三家工厂的产品在仓库中匀称混合，且无标志.求：(1)在仓库中随机的任取一只元件，它是次品的概率是多少？(2)在仓库中随机的任取一只元件，若已知取出的元件是次品，则它是由第一家元件制造厂生产的概率是多少？2 .设总体X的均值E(x) = 未知，方差。(X) = 已知。p2是来自总体的一个样本.设参数有两个估量量Lh如下：1513Y, =-X, +-X, ，=-x+二X,1 6 , 6 2- 4 , 4 2(1)试证明X和丫2是的无偏估量量；(2)无偏估量量匕与力哪个较为有效？3 .设X,X2,X是来自总体X的一个样本,且Xr(),今有总体X的一组样本观测值内,，马.试用最大似然法估量参数几的值.4 .在某学校的一个班体检的纪录中随便抄录25名男生的身高数据，测得平均身高为170厘米，试求该班男生的平均身高的置信水平为0. 95的置信区间(假设测身高近似听从正态分布，$ = 12厘米).5 .某厂生产的电子仪表的寿命听从正态分布，其方差为=i.62,改进新工艺后，从新的产品中任抽取9件，测得它们的平均寿命元= 52.8,1 =1.19,问用新工艺后仪表寿命的方差是否发生了显著变化(取显著性水平。= 0.05)。Q05 (25) = 1.7081,Zo.975(9) = 2.7(X),参考数据：Zoos = 1 65, Z0025 = 1.96, f005(24) = 1.7109, 0025 (24) = 2.0639,r0025(25) = 2.0595, £") = 16.919,%嬴=9023,Zo.o5(8) = 15.507,就025(8) = 17.535, 975(8) = 2.180,1.95(8) = 2733,故无偏估量量匕较匕有效。(4分)05秋概率期末A卷参考答案及评分标准一、填空题(每题2分，共18分)k 0. 1 ； 2、0.5； 3、2,肾 4、-4, 48；5、0.9544； 6、0.5 ； 7、1 - (1 - p1 )(1 - 22)(1 - 73)(1 - /74)；8、5, 25； 9、0. 1二、计算题(每题7分，共42分)1、设A、B、C分别表示甲、乙、丙击靶，所求概率为P(AUBUC) (2分)(3分)(2分)则 P(AUBUC)=1-P( AUBUC)=1-P(ABC)2 13 3=一一 =3 2 4 42、e(x2)=2.8(4 分)；PX05=07(3 分)。3、(1) l- f(x)dx = 3c j (1 - x2 )dx = 4c,故 c=l4 (3 分)(2) p -3 < X 0 = fx)dx =£1(1 -2)6x = 1 (4 分)4、(1)当 x0时，F(x) = 0(2 分)(2)当 0<xl 时，F(x) = - £ (2r + l)r = - x2 + - x(2 分)2。22(3)当 x>l 时，F(x)=l(1 分)0,x 0故尸(幻=L2+L,0<l(2 分)5、(4 分)22X+Y-20134P0. 050. 10. 50. 10. 25hx>l(3分)p 05 on 0.05 0.1 0256、由于 l=f f (x,y)dxdy = Sk,所以 k=l8 (2 分)-oo J-00因此 、(6-x-y),0<x<2,2<y<4,I 皿 J(x,y) = J 80,其它.r*o13(2)由于 fx (x) = f (x, y)dy = - + - ,0 < x < 2,j-004413八cx + ,0 < x < 2,所以 (x) = 44(2 分)0, 其它.一15又由于 (y) = /(X,y)dx = -y + -,2 < y < 4,j-4415 ,V H2 < v < 4所以 r(y)=4， 4, 了 9(2 分)0, 其它.(3)由于 f(x,y) f(x) f(y)所以X与不独立.(1分)三、应用题(每题8分，共40分)1、设A一取到的元件是一只次品，用一所取产品是第i家厂供应的(i=l,2,3)由全概率公式 P(A) = E P(ABz)P(Bz.) =0.0125(4 分)/=1(2)由贝叶斯公式 a, | A)=" F)P(4) = 0.02 x0.15 =。四 « 分),P(A)0.01252、(1)证明：因 E(Y1) = z, E(K,) = 9故匕和打都是4的无偏估量量。(4分)135(2)因 D(X) = goJ。区)中2, D(Yl)>D(Y2)1 oo加 e3、最大似然函数(3分)L（a）= p（x =再）=/=，xi!取对数 InL（） = （ ki）ln n Jn xi! （3 分）i=li=l令 "山>（团=旦 r7=0得。的最大似然估量值I=元.d 的最大似然估量量2 = X.（2分）4、已知 = 0.05, - = 0.025, /7 = 25,0 元= 170, 5 = 122因o未知，故用t检验法，t= t（24）（3分）沏、X - 4（）由ps7- <45T）1 = l-0 ,/ 2故的0.95的置信区间为(查表/25(24) = 2.0639 )x-=ta (24)<z< x + rtz(24)(吃乙(24) =4.953) (3 分)yn 2n 22代入数据得所求区间为(165.047, 174.953) .(2分)5、待检假设“。：/ =1.62," "2 Ml"(2 分)2因未知，选取统计量力2 =(一%2(11-1) 以分)o查表 Zo,o25() = 17.535, /.975(8) = 2.180,拒绝域为(0, 2. 180)或(17. 535, + )(2 分)« X 1 1O代入数据计算得#2 = = 3.72,没有落在拒绝域里，故接受"o,即用新工艺后16仪表寿命的方差没有发生显著变化。(2分)
