概率统计作业.docx
概率论与数理统计第一章作业一、一批产品中有合格品也有废品，从中有放回地抽取三件产品，以4(i = 1,2,3)表示第i次抽到废品,试用A,的运算表示下列大事：1 .第一次和其次次至少抽到一次废品;2 .只有第一次抽到废品；3 .只有一次抽到废品；4 .至少有一次抽到废品；5 .三次都抽到废品；6 .只有两次抽到废品。解答：2. A1 ；3. (AA)U(A4)U(AA)4. AU&U&； 5. a,a2a3；6. (A1 A A) U(A A) U(4 AA)二、计算下列各题：1.已知 P(A) = 0.7, P(A-B) = 0.4,求 P(而);解：由 0.4 = P(A B) = P(A) P(AB),得2043)=0(4)一204 3) = 0.70.4 = 0.3；所以 P(A8) = 1 。(AB) = 1 - 0.3 = 0.72 .已知P(A) = 13, P(BA) = 14, P(AB) = 16,求尸(AU5)；解：P(B) = P()P(B | A) = -×-=；3 4 12又由于'=P( A3) = P(B)P(A ) = P(B) ×-,得 P( 3) = L12621113所以 P(AU5) = P(A) + P(8)-P(A3) = g + -w = 13 .已知P(A) = P(B) = 13, P(AB) = 16,求P(豆);解：由于。043) =。(3)夕04|8)=乂!二-!-3 6 18_ 1 1_ 1尸(彳 豆)二(现)二 1 一尸(A U3)二 1 一P(A) + P(B)-尸(A3)= 1 一% + 3 - 18'=7一 P(B) - 1-P(B) -1-P(B)- l - 12134.设三个大事A,4,A3相互独立，且P(A,) = 2/3, ;1,2,3。求:（1） A,4,4至少发生一个的概率;4J解：尸（AU4U4）= i-P（4U4U4）= i-P（AaA）= i-P（A）P）P（A）222 26= 1-1× 1×1 = 33327（2） 4, A2, A3恰好发生一个的概率;解：P(aaU4AAUAA) =(AA) + (AA) + (A)<2 111×1×2P（A）P（耳）p（A）+p（A）p（4）p（A）+p（A）p（Qp（4）×-×- + -X ×- +<3 3 3) 13 3 3；（3） A,A2,A3最多发生一个的概率。解：P(A12 UA4A U4A U4AA)P(AlA2A3 aia2 AA2A3)÷P(A1A2A3)2- - -= - + P(Ai)P(A2)P(3)92 fY 7F 二9 UJ 275.假设尸(A) = 0.4, P(AB) = 0.9,在以下状况下求P(3)(1) A,8互不相容；解：由于A3互不相容，所以AB = 0,所以P(A8) = (),故:P(B) = P(AB)- P(A) = 0.9 - 0.4 = 0.5(2) A,3相互独立；解：由于A,B相互独立，所以P（AB） = P（A）P（B）,故有 P( A B) = P(A) + P(B)_ P(AB) = P( A) + P(B) - P( A)P(3)P() + P(B)1-P()所以P(5) =皿3心="二”=21 P(A) 1-0.46(3) Au3。解：由于 AuB,所以 AUB = 8,故 P(B) = P(AU3) = 0%另解：由于Au 3,所以P(A8) = P(A),故有：P(A U ) = P(A) + P(B) - P(AB) = P(A) + P(B) - P(A) = P(B)即 P(B) = P(AB) = 0.9o三、将个质点随机地放入N(N)个盒子中，假设每个盒子容量无限，求下列大事的概率:1.某指定的个盒子中各有一个质点;2,恰有个盒子中各有一个质点；3.某指定的盒子中恰有团(加)个质点。解:1 .设A=某指定的个盒子中各有一个质点。个质点随机地放入N (N几)个盒子共有N种放法,而某指定的个盒子中各有一个质点共有!种放法。所以由古典概型知:P(A) =IV.N2 .设B=恰有个盒子中各有一个质点。个质点随机地放入N (N")个盒子共有N"种放法；恰有个盒子中各有一个质点分为两步：第一步，由于个盒子没有指定，故从N个盒子中任取个盒子共有种取法；其次步，对每种盒子的取法均有加种放法，故恰有个盒子中各有一个质点共有种放法。所以由古典概型知：P(B)Nn3 .设C=某指定的盒子中恰有z个质点。个质点随机地放入N (N")个盒子共有N 种放法；某指定的盒子中恰有加个质点分两步：第一步，从个质点中任取2个放入指定的盒子，共有种放法；其次步，把-加个质点随机放入此外(除指定的盒子以外)的N 1个盒子，共有(N-1)”"种放法；所以某指定的盒子中恰有机个质点共有C： (N-1)”种放法，所以由古典概型知:四、甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停靠两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的。假如甲船的停靠时间是一小时，乙船的停靠时间是两小时，求一昼夜内甲乙两艘船到码头时任何一艘都不需要等候码头空出的概率？P(C) =n-m解：设一昼夜内甲船到码头的时刻为X,乙船到码头的时刻为y (单位：小时)。则样本空间为：/2 = (x, ) 10 x 24,0 y 24记A=一昼夜内甲乙两艘船到码头时任何一艘都不需要等候码头空出,则A = (x,y)(y-x)> 1 或(x-y) >2 = (x,y) y >x + 1或y <x-2如图，由几何概型知:P(A) =1 , 9c -(232 +222)S八一 2Sc242*| = 0.8793五、某人到上海参与会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机去的概率分别为0.2,0.1,03和04假如他乘火车、轮船、汽车前去，迟到的概率分别为1/3, 1/12和1/4,假如他乘飞机去就不会迟到。求：1 .这个人去开会迟到的概率；2 .假如他迟到了，则他是乘轮船去的概率。解：设3=这个人去开会迟到, 4=这个人乘火车去开会, 4=这个人乘轮船去开会, A3=这个人乘汽车去开会, A二这个人乘飞机去开会。已知 P(4) = 0.2, P(A2) = O.I, P(A3) = 0.3, P(4) = 0.4,P(B1) = 13, P(A2) = l12 , P(B A3) = l4, P(8 4)=0。所以有41. P(B) = ZP(A)P(8 A。=0.2×l3 + 0.1×l12 + 0.3×l4 + 0.4×0=320k2. P(AJB)= ，2)P&)=O1X112J£p(A)p(8|4)3/2018k=l六、阅历表明：预定餐厅座位而不来就餐的顾客比率为20%,如今餐厅有50个座位，但预定给了 52位顾客，问到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？解：设A=顾客预定餐厅座位而不来就餐, C=顾客来到餐厅而没有座位,以二预定了餐厅座位的52位中不来就餐的顾客数为攵个, = 0,l,2,.,52,依题意有p = P(A) = 0.2, C = 0,o所以尸(C) = P(Bo B1) = P(B0)÷ P(B1) = C2 ×0.2°×0.852 + C2 ×0.2, ×0.85, =0.000127881
