专题04 等式与不等式性质、基本不等式及一元二次不等式大题综合（精选30题）（解析版）.docx

专题04等式与不等式性质、基本不等式及一元二次不等式大题综合（精选30题）考点归纳1 .等式的性质性质1如果=b,那么匕=。性质2如果=/?,b=c,那么Q=C性质3如果=b,那么±c=8±c性质4如果。=匕，那么c=jc性质5如果=8,c0,那么q=2CC2 .作差法比较大小关系a-b>O<>a>bta-b=b=a=b,a-b<O<>a<b3 .不等式的性质性质1对称性a>b=b<a性质2传递性a>b,b>ca>c性质3可加性>=>a+c>+c性质4可乘性a>b,c>0=ac>be性质5同向可加性a>b,c>d=a+c>b+d性质6同向同正可乘性a>b>O,c>d>Oac>bd性质7可乘方性a>b>0=>an>b,(nN1.,2)性质8可开方性>b>0=>ya>,4b(nN+,w2)乂小b+mbbmaa-maa-m>b>O,m>0,则尸o+m；九疗-b*m；b<i"皿4 .基本不等式>0,6>0=土也当且仅当二b时取等号2.其中土心叫做正数。，b的算术平均数，2而叫做正数4,Z?的几何平均数通常表达为：a-b14ab（积定和最小）应用条件：“一正，二定，三相等”基本不等式的推论1基本不等式的推论2a>0,Q0="b（"十"）（和定积最大）4当且仅当。=匕时取等号V«,bR>a2+b22ah当且仅当Q=匕时取等号5 .二次函数的图象与性质y=ax1+bx+c(a0)a>0a<0函数图象4112_I-T7,J79,4,开口方向向上向下对称轴方程X=-b2a最值4ac-b2y-.4a6 .一元二次方程求根公式及韦达定理一元二次方程求根公式x2+Z7x+c=O（O）的根为：x=一一、"C（a0,从一4ac0）韦达定理（根与系数的关系）ar?+v+c=o（w）的两根为当，；则,b再+W=一ac-=-a7 .解一元二次不等式“三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系判别式A=b2-4ac>0=0<0一元二次方程ax2-bx+c=0（«0）的根有两个不等实根X1,X2(X1<X2)有两个相等实根bX,=X、=2a无实数根二次函数y=ax2+bx+c(a>)的图象1/I1卫Cyx,2Xax2+hx+c>()(«>0)的解集(xjxV石或Ox2Rax2+Zjx+c<(>0)的解集xx1<x<x2000r2+bx+c>O(WO)恒成立的充要条件是：d>O且/一4CVO(XR).ar2+bx+cVO(r)恒成立的充要条件是：<0且"一4cV0(xR).8 .解分式不等式g(x)/M/(x)g(x)0/Mog(6>nJ(x)g(x)N°而"°，o9 .解单绝对值不等式Wa(a>)=x-0或x,NVa(a>6)=>-a<x<a真题训练一、解答题1. (2324上.苏州期中)若正数4,力满足。匕=4+2+fjwR.(1)当，=0时，求+4，的最小值；当f=5时，求M的取值范围.【答案】(1)25功之25【分析】(1)根据基本不等式“1”的巧用求解最值即可;(2)根据等式等+b=昉-5,结合基本不等式即可得帅-54疯，解不等式即可得而的取值范围.【详解】(1)当f=0时，有ab=4a+b,14即一+二1ab所以+4)=(+4"(1+)=17+"+254b4当且仅当丝=手，即=5=5时取等号.ab则。+4人的最小值为25；(2)当f=5时，有"=4+h+5,则4+b="-5因为4+b2y4ab=所以-54>ab即cibyjab-5O,解，号ycib5或ab1（舍）当公=力时，即=,b=10时，等号成立所以曲252. （2324上佛山期中）已知乐V为正实数，且4+y2+y=）求个的最大值；（2）求2x+y的最大值.【答案】（1）24【分析】（1）根据题意，化简得到10-刈=4/+丁，结合基本不等式，即可求解；（2）根据题意，化简得到（2x+y）2-10=3xy（2岁）2,即可求解.【详解】（1）解：因为x>O,y>O且4+V+盯=o,所以K）-孙=42+y221T7=4xy,所以X2,当且仅当4/=V,即X=1y=2时，等号成立，所以孙的最大值为2.（2）解：由x>O,y>O且4/+、2+刈=0,可得（2%+月2_3孙=10,所以（2x+y）2-10=3X（笥必2,解得（2x+»16,所以2x+y4,当且仅当2x=y时，即X=1y=2时，等号成立,所以2x+y的最大值4.3. (2324上河南期中)已知集合A=d1-，<xv2，一1"cR,B=xx2-2x+1-m2<).若用=3,且AB,求，的取值范围；12(2)若0vwv2,B=a<x<bt求y=-七的最小值.6a+3b3a-3b【答案】卜8,1【分析】（1）由AB,分类讨论，A=0和AH0,根据几何包含关系列不等式求解.为集合B=WX2-2x+1-W<中的不等式因式分解，可以求出利用基本不等式求解.【详解】Vm=3,B=I-2x-8<0=-2<<4.2又AB,.当A=0时，-t2t-,-,3-t<2t-i25当AN0时，则有n-2,且后两个不等式中等号不能同时取到，可得Q<f.2r-14综上，实数，的取值范围是卜O,I.(2)(2)V0<w<2,x2-2x+1-w2=x-(1-zn)ir-(1+w)<0,.*.=1w<X<1÷/nJ,即=1仅，b=+rn.I211If11y=1=XI1I,6a+3Z?3a-3b9-3m3m33-mm)+=-1-(3-zn+n)3-mm313-mm)4当且仅当m=3-M，即机=1时等号成立，,y的最小值为4.（2324上福州期中）设f（x）="ir2-2mr-3,wR若“VxRj（x）<O”是真命题，求实数m的取值范围；解关于X的一元二次不等式22+。一根）-<0【答案】(1)(-3,0(2)答案见解析【分析】(1)根据一元二次不等式的恒成立的求解方法求解；(2)利用含参一元二次不等式的解法，分类讨论求解.【详解】(1)由题可得，2a-3<0”是真命题,若相=0,则-3v0恒成立，满足题意：若m0,要使“VxeR,Wu*-2a-3<0”是真命题，则必有m<0=4疗+12m<0'解得一3<，”。，综上实数机的取值范围为(-3,0.(2)因为混+(1-?)工一1<0是一元二次不等式，所以相0,又由mx2+(1m)无一1<0可得，(zu+1)(x-1)<O,方程(侬+1)(x-1)<0的两个根为=-,m(i)若-'=1,即切=T时，原不等式的解为0；m(ii)若一1>1,即TVmVO时，原不等式的解集为(-81)4-m-,-m(Hi)若0<-工<1,即时，原不等式的解集为m(iiii)若-,<0,即m>0时，原不等式的解m综上,m<-1原不等式的解集为-00,m?=T时，原不等式的解为0；-1VmVO时，原-,÷j:m>0时，原不等式的解集为w)求ar2+(b-8)x-4b-21x+1(x>T)的最大值.【答案】(1)a=-3h=5一3【分析】根据不等式解的结构，利用韦达定理列出方程组，解出即可:(2)化简表达式，再利用基本不等式求最值即可.【详解】(1)据题意,方程加+他-8卜-0-帅=0的两根为-32由韦达定理结合不等式的解集可得，a<0-=-3+2=-1cicb/c、C/=(-3)×2=-6a(2)据求解知，=-3,b=5,所以ar?+(6-8)x-ab-21-3(x2+x+1)x+x+=-3×(x+1)+1._x+1_因为x>T,所以x+1>O,所以x+1+'r2,当且仅当X=O时等号成立，x+1所以-3x(+1)+J-1-3,_x+1_即所求的最大值为-3.6.(2324上嚷阳.期中)中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到X元.公司拟投入,(/-600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传O费用，投入y万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.【答案】（1）40元；（2）。至少应达到10.2万件，每件定价30元.【分析】（I）设每件定价为/兀，由题设有H8-O2（525）25x8,解一元二次不等式求f范围，即可确定最大值；（2）问题化为425时，。2空+=+!有解，利用基本不等式求右侧最小值，并确定等号成立条件，即可得到结论.【详解】（1）设每件定价为f元，依题意得48-0.2"25）258,则t2-65+1000=-25）（/-40）0,解得25MEM40,所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元1（2）依题意，x>25时，不等式以25x8+50+三（/-600）+=有解，65等价于x>25时，变+J+?有解，X65因为空+I,22J空，X=K）（当且仅当=30时等号成立），X6VX6所以210.2,此时该商品的每件定价为30元，当该商品明年的销售量。至少应达到102万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.7. （2324上浙江期中）（1）已知实数X,），满足-2Vx-1,2y3,求3x-2y的取值范围；2（2）已知实数x>1,求x+一、的最小值.X-I【答案】（1）HN-小（2）22+1.【分析】（1）由不等式的性质求解；（2）由基本不等式求最小值.【详解】（I）因为2x-1,所以6W3x-3,因为2y3,所以-6-2y-4,所以T23x-2y-7,所以31-2），的取值范围是72,-7.(2)x>,则X-I>0,所以