第18讲 平面向量横空出世剑指三界谁与争锋.docx
第18讲平面向量横空出世，剑指三界谁与争锋典型例题1,PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点,【例1】已知圆。的半径为那么PAPB的最小值为().A.-4+2B.-3+2C.-4+22D.-3+22【例2】设epe2,为单位向量，非零向量b=xe1+ye2,x,yeR,若e1,e2的夹角为则的最大值等于6bIr,1/【例3】如图18-6所示,在同一个平面内，向量OA.OByOC的模分别为11,JW,O4与OC的夹角为,且tana=7,OB与OC的夹角为45°,若OC=tnOA+nOB(m,R),贝IJm+n=图18-6【例4】(1)给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为120如图18-9所示.点C在以O为圆心的圆弧AB上变动,若OC=XoA+yO3,其中x,yR,则x+y的最大值为.(2)如图18-10所示,在正方形$ABCD$中，E为$AB$的中点，P为以A为圆心，$AB$为半径的圆弧上的任一点,设向量AC=DEAP,M+的最小值为.图18-9图18-10强化训练1 .如图18T5所示，已知在等腰RtZkABC中，ZC=90o,AC=2,两顶点A,C分别在X轴、y轴正半轴(含原点0)上运动,P,Q分别是AC,AB的中点,则0p,°q的取值范围是OQ2 .如图18-16所示，在平行四边形ABCD中，已知4B=8,AO=5,CP=3PO,APBP=2,B则ABAD的值是.解答过程【例1】已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点,那么PAPB的最小值为().A.4÷B.3÷y/2,C.4÷2>2D.3÷22【解析】【解法1如图18-1所示，设PA=PB=x(x>O),ZAPO=at则ZAPB=2a.PO=1+x2,sina=-r1PAPB=/12x+1x+1即x,-(1+y)x2-=0,PAPBcos2a=x2(1-2sin2a)=.X2是实数，.=("y)F-4x1x(-y).O,即/+6y+1.0,解得y,-3-22或y.-3+22.故(E4PB)nW=-3+2,此时=2-1,【解法2】如图182所示，设IOPI=XNAPo=贝IJPA=x2-1,cos2<9=1-2sin2=1-.、V-/.有PAPB=PAPBcos2=IPAI2cos26>=(x2-1)2五-3,当且仅当X2=42时等号成立.图18-2.(4PB)mn=22-3,【解法3】如图18-3所示，设A8$的中点为M且IoMI=X,在RtPAO中，由直角三角形射影定理有IOAI2=IOMI1Op1JM4=|OMPM.-I0P=,PMI=-xxx.PAPB=(PM+MA)(PM+MB)=(PM+M4)(PM-MA)=IPMI2-|M42ZI=IPM2-IOMI1PM=x-xX=2+-y-3.22-3o)×)X当且仅当x2=2y时等号成立，.（R4P3）min=2-3,【解法4】设APB=a<<兀.I33(0、则P4P3=PAP8cos9=-COSe=1-2sin2-=6.2I2jtansin"17I2)2(I-Sin23)(1-2si2'Wsin,一2令x=sin2-,0<x1PAPg=(1X)(12x)=2x+-322-3,2xx如图18-4所示，以OP为X轴，。为原点建立直角坐标系,则圆的方程为f+y2=,设A(X,yJ,3(X,-y1),P(xo,O)PAPB=(X一毛，Y)G一不，一乂)=%22工抵+片一y；,AOJ_以=(石，凹)Gt),yj=°=x；一不抵+)，；=0=x1x0=1.PAPB=M-2x1x0+x-j12=x12-2+x2x2h；3.2,23,故选D同【解法3】，在Ri,PAO中，由直角三角形射影定理有IOAf=IOMI10P,.。尸|=!IOM1PAPB=(PA+PB)2-(PA-PB)21(2PM)2-AB2(2PM)=IPMI2-AM2=(OPI-IOM|)2-(2AMj-(OA2-OMI2)IOMI_(|0AF-IOM12)=2OMF+!-3(IoM1Jv>IOMI2.22-3,当且仅当IoM1=W时等号成立，.(Q4尸3)min=22-3,【答案】D.【例2】设epe2,为单位向量，非零向量b=xe1+ye2,xfyeR,若epe2的夹角为r则i【解析】的最大值等于.【解法1】设e1=(1,0),e2当x=0时,当x0时,的最大值为$2.$Ib1【解法2】设区=f,b=xe+yej,可得b二/十/十血肛二"(+/十b3xy),当0时，r2+/2(¥+(一)=o.有=(3r2)2-4r2(2-1).0.解得r0,2.郎曷的最大值为2.【解法3】如图185所示，设DO=OA=XeI，DE=OB=ye2,OE=b,则TTNoDE=/AOB=.当点E在ZAOB内6时,显然有曷<1;当点E在ZAOB外时,在.QDE中，由正ODsinZOED弦定理知='=b0EsinZEDO出幺毁=2SMNOED,2.sin6当且仅当ZOED=-时，等号成立,故三的最大值为2.2b【答案】2.【例3】如图18-6所示,在同一个平面内，向量OAyOBiOC的模分别为11&,OA与OC的夹角为a,且tana=7,OB与OC的夹角为45°,若OC=tnOA+nOB(tn,R),则h+n=【解析】【解法1】以。为坐标原点，0A所在直线为轴建立平面宜角坐标系，则可知A点坐标为A(1O),由图18-6(T17tana=7,a0,得Sina=,cosa=【2j5应50*，设C(XC,yc),3(,力)则xc=|OCcosa=2×-=,yc525=0Csina=2×=-525,si(a+45)=-解得【解法2】77/ZIC1171又c<÷+45)二皿国二5m=e+57744n=-4由tana=7,a0,得SinaI2jcos(÷45)=×-713-=×-=-,OBOC=54225T=,COSOt=7=5252OC=1×2×-1=-5>25OA03=IXIX35由Oe=WQ4+。8,得OCOA=m-VnOBOA,13即一=mn.同理可得OCOB=mOAOB+nS,联立(1)(2)解得5474,712y2【解法3】tana=7,/.sina=,cosa=1010将mOA和nOB按与OC平行和垂直方向正交分解，得wcosa+7?cos45=2,h.,。八即Wsina-Tisin45=0,也用+变=102_解得,mW=025n=-947n=-4.*.m+n=3.【解法4】过点C作0B的平行线与0A延长线交于点M.如图18-7所示，则OC=OM+MC=mOA+nOB,在.OCM中，由正弦定理得=士”sin45SInaOCsin180o-(a+45°),同【解法1】得sina=-10sin(+45°)=1，即n_2_55/227214故IOO1二23-OBODsin45°<殷=_2=2ADOAODsna7210得m=,n=,:.m-n=3.44【解法5】连接AB交OC于点D,如图18-8所示，:士幽AD同【解法1】得sina=-OD=-OA-i-OB,101212575OC=3OD=-OA+-OB,于是m=-444二加+=3【答案】3.【例4】(1)给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为120如图18-9所示.点C在以O为圆心的圆弧AB上变动,若OC=xOA+yOB,其中x,yR,则x+y的最大值为.(2)如图18-10所示,在正方形$ABCD$中，E为$AB$的中点，P为以A为圆心，$AB$为半径的圆弧上的任一点,设向量AC=DE+AP,则+的最小值为.产AS18-9【解析】（1）【解法1】设ZAOC=aAEB图18-10,作平行四边形0ECD,OC=OE+OD,如图D18-11所示.圆的半径为1,可设x=OE,y=在aoce中由正弦定理得X二y=1,(sin(a+6)Sinasin60，.x+y=.60sin+sin(+60)=2sin(+?D当sina+30=1,=60时，(x÷y)nax=2.故x+y的最大值是2.【解法2】0AOB=|OAHOBcos120°=取$0C$与$AB$的交点M,设OM=(I-4)OA+408OC=tOM=4(1-)OA+OB(t>0),显然x+y=t.IOC2=r2(1-4)21OA12+21OBI2+22(1-AOAOB,二IOQ1OAE图18-11,则两边取模并平方得将已知条件代人得t=_=一.3-32+1IfIYJJ34V12；4当=-时，t取最大值2,故x+y的最大值是2.2【解法3】设NAOC=c,则OCOA=xOAOA+yOBOA,cosa=x-y<.OCOB=xOA-OB-yOBOBi即rnJ19zy1，CoS(INUOCj/.+y=2cosa+cos(120u-a)J=cosa+53sina=2sin故x+y的最大值是2.【答案】2.x+yCC。+"T,2</（2）【解法1】如图18-12所示，以AB所在直线为X轴，A为坐标原点建立平面直角坐标系.设AB=a,则C(a,a),O(O,),(4COSaaSine)E-,01ZPAB=O,P(acos<9,asin)2>则AC=(aia)1DE=-a1P=由AC=DE+AP得2Aa=-a+acos,2a=-a-asinO,3sin61Sine+2COSe3HSin夕+2cos013sin+3+u=Sine+2COSeTT-1,e0,y,令y二,6+6sn-3cos八V=->0(Sine+2CoSO)?3sin6+3sin9+2cos9同"】得5途3_2sin。-2cos6
