数列求和常见方法和技巧.docx
数列求和常见方法和技巧姓名：指导：日期：一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式s=3詈2 =叫+nal2、等比数列求和公式用 =-q I -q2(4=1)(1)c313S =k = -n(n + )=-h(A7÷ 1)(2/7+ 1)412I6+ 1)2可基础训J公式法1. 2 + 4÷6 + + 2= ( + 1)2.l÷i÷l÷.2 422例 1已知 lg3 =求x + x + 3 + + " + .的前n项和由等比数列求和公式得C _ r l 2 31一1J一X十 X ÷ + + X = 1I 1 I 22广即时小结在什么情况下，用公式法求和？公式法求和的前提是由已知条件能得到此数列是等差或等比数列，因此，要求不仅要牢记公式，还要计算准确无误。产3例题分析二、分组求和法S = (2 + ；) +(4 + ；) + + (2n + ：)1. 2 + 4 + 6hf2 =c 1 112. IF H =2 4T 解：s =(2 + > + (4 + >+(2n + 3242分组求和A7(2÷27) i 21-(jr= w(w + l) + l-(-)w即时小结求前n项和关键的第一步:分析通项在什么情况下，用分组求和？cn = an ±4其中an是等差数列也是等比数列例3求数列的前11项和：1 + 1,JL + 4,3+ 7,工+ 3一2,.解：设 Sn = (1 + 1) + (÷4) + (-y + 7)÷ + (÷2)将其每一项拆开再重新组合得s” =(1 + L + *) + (i + 4 + 7 + 3”2)(分组)、14 C(3 - 1)(3 + 1) ,八，rq、当a=l时，Sfl=n+v-j- =尸-(分组求和)当"I时'4工+空尸变式训练V!变式训练1：求和1+ (1 + 2) + (1+ 2 + 2?)+ (1 + 2 + 2? + -+27)解：设以=1 + 2+2”Tl-2w1-2S = 671 + 6Z2÷ + 6Z7= (2-1) + (22-1) + ÷(2w-1= 2 + 22+ + 2一 分组求和=2-1 2(|一2二)_ = 2川_21-2三、倒序相加法如果一个数列劣,与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.例4、设(x) 二,求S = /(二一)+ /(二一)+4 A + 220122012z.z2011 ÷ /()2012提示:函数/(*) =具有一个特征，即满足(-.v) +,/() = I,可种H这一特征，解决求和的相关问题°并项求和法把数列中的相邻几项合并，进而求和的方法称为并项求和法.例 1.求数列 l2,-22,32,-42,52 ,(-1)w+12, 的前100项和.点评：此题的关键是把相邻两项分别合并、分解因式后，转化为等差数列求和.练习.一1 + 3 - 5 + 7-9 + 95-97 + 99= 50五、裂项相消法一例题分析一 甲I例2求S,1 1 1 111F H2×3 3×4 4×5(/7 + 1)(/7 + 2)分析：此数列为特殊数列，其通项的分母是两个因式之积，且两数相差1,若把通项作适当变形为裂项("+l),+2)+五、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.技巧小结：常见的裂项变形若为是等差数列，则一=I（-L-_）,44+ d % +W）；1 = 1_!_。必+2 a 。+2（w + 1） n w + 1心+ 4）中二1）后+折二了工（士一）(2-1)(2 + 1) 2(2-1 2 + 1)1 _ 1 1 1"( + 1)( + 2) 2 ( + 1) ( +1)( +2)例题分析c 1 1 1 1求和s =+"2x3 3×4 4×5 (w + l)(w + 2)1 1 1解：=an = 777：7 =77(w + 1)(z7 + 2) + 1 + 21、/1、J1、,11、. S = () + () + (1-().233 44 5+1 4+22 + 22(+ 2)裂项相消个变式训练4111求 1+ + +1+2 l÷2+3 1+2+3+4l+2+3+w解：由题意设。=-=2×!nn + )( + 1)1 + 21 + 2 + 3+ +z72222=11h H1×2 2x3 3x4(+ 1)1 1 1 11=2+11×2 2×3 3×4 n(n + ).*. S? = 1 HF 4= 2(1.l÷l.l÷.+l2 2 3 n1 、 c 2)=2 (1)= + 1 + 1 + 已知Q -尸I 9若q 前n + 7 + 1项和为10,则项数n为120六、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.二号例题分析V2 4 62_=.上例3.求数列5-s 前n项的和2 22 23T解:设s =二+ 4-+ 2 +出22 22 32 -s =三+：+.+生二L1+C （发廿错自）222232n 2w+,-（2）W（l- =乙+二+2+二+二_更（错位相减）2 n 2 22 23 242" 2,+1c 12=2 -2 2 4 1. S =4-2 "-1在什么情况下，用错位相减法求和?g=（也其中/提等差数列也J是等比数列<*S* = 1 + 2x + 3/ + 4/ + +5+i)%"的值【解析】(I)当x=l时，S= +2+3 + .÷(7÷l)=包 + 率 + 2)当x0且xwl时,因为S=l +2x+3x2+4,3+ .+(/?+!) xn9 所以xS=x+2%2+33+ .+ x"+(n+l) x"".由一得(1 x)S=1 +x+x2+x3+. +x,7-(+l)x"1 _ 丫"+1=1(什1)不叫1 -x所以s=1一£用 _( + 1)./用(1 7r七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.I例1求1 + 11 + 111 + 1111之和.解：由于1111 = -x9999 = 1(10A-1)(找通项及特征)-'9 Z 9- 1 + 11 + 111 ÷ +JJ1=J i(io, -i) + -t(io2 -i) + -(io3-i) + + -(ion-i)9999(1 o' ÷ 10* +10° + +1 o ,)(! +1 +1 j +!)L i(Wj J。910-19 81练习1 .数歹 J 1,35i,7,(2w-l)÷r,.的前项之和为s,则s的值等于（A）(A)/ +12(B) 2-h + 1-2n(0 "+T(D) n2-n + l-42练习：求下列数列前n项的和S”：(1)1 1 1 11×3 2×4 3×5( + 23,求和：5Z/ =l + 3x + 5x2 +7x3 + + (2w-l)x',解：由题可知，(2-1)-7的通项是等差数列2门-1)的通项与等比数列f的通项之积设tS = lx + 3x2 + 5x' + 7x4 +÷ (2n 一l)x (设制错位)_得(1-x)S = 1 + 2x + 2x2 + 2.v3 +2x4+ + 2fl (2- 1)x"（错位相再利用等比数列的求和公式得:1 _ n-x(-x)Sl1 = + 2x-(2n-)xn1 -xS =(27-l)f"-(27 + l)x"+(l + x)(i-)21 + /2 x2 + 3 -3 ÷ 4n ÷ >/ + 1
