数列专题2教师版.docx

数列专题2通项公式一体验高考题型1. (2014,19)(本题满分14分)己知数列“和也?满足的2q若为等比数列，且6=2,a=6 +2.(1)求。与2；(2)设q,=一 "(eN*)。记数列g的前项和为S”.4 b(i)求 S“；(ii)求正整数Z,使得对任意wN*,均有S*S".解答：本题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、求和公式、不等式性质等基础知识、同时考查运算求解能力。满分14分。(I )解：由题意一(逝声也4=6知q = (0)与-与=8又由4 =2,得公比q = 2 ( = -2,舍去)，所以数列%的通项为%=2"5N*)n(n+)所以 ala2a3.an = 2 一(几£ N* ) (ii)因为C = 0,。2 >。，G > °，g > 0 ； = (V2),7(,7+l)故数列2的通项为bi = nn +1)(/2 N*)(II)由(I)知 =-!-=% bn-(-1)5eN*)n H + 1当 5时,1/?(/? +1)(+i) r-12n(n+l)( + 2)<5(5 + l)25<12+】>0( + l)2"所以，当5时，cn<0综上，对任意M恒有S4S”,故 = 42. (2013, 18)(本题满分14分)在公差为d的等差数列&中,已知a = 10,且五2&+3. 5科成等比数列.(1)求"，(2)若 d<0,求| a | + |+ | 全| H- |.18.：(1)由题意得5a&=(2改+2)2,6-3-4 = 0,d= -1 或 d=4.以a=+11,或&=4+6, 2N*.解即故所设数列a的前项和为£.因为 dVO,由(1)得 d= -1, aft=n+H.I21则当 711 时; 11 ÷ | a2 + I a3 ÷+ I afl =Sll=n2 Hn.22121当 212 时，当+ |4|+ a3 4b an = -S,÷25= n2n +110.22f 1 2 21nr + n,n<,综上所述，I & I +1a| +1所| +1&| =« 22一nm÷110, m12.1223. (2011,19)(本题满分14分)己知公差不为。的等差数列%的首项为。(R),设数列的前n项和为S，, , L成等比数列。4 2 。4（I）求数列q的通项公式及s；(II ) 记 A -11+h, B = F11 h， 当 n 22 时，试s S2 S3 S. 4 a2 % 比较4与纥的大小。”9）本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考存分类讨论思想。满分M分。（I）解:设等差数列小的公差为乙由（；）2=：'% 。1得（+d）2=Q（4+3d）因为 d#0,所以 d=%=Q（口）解旧为土=十（十扁）,所以=+-*+一+2z1 ¼=°Fx当心2 时,2'C/yi+C>"l,即 I一本<1-彳，所以，当>0时，儿<反;当"。时A>8.二对点题组练习（一）定义法（等差、等比型）：由等差、等比数列的定义直接求出通项公式1 .在数列%中，已知q =15,3%+ =3%-2,则数列4的通项公式为册=2 47 H3 32 .在数列%中，已知为 =3,且对于任意大于1的正整数，点（向，击匚）在直2线工一 y 一 J = 0上则数列* 的通项公式为册=3、3 .等差数列%是递增数列，前n项和为S，且1，%，。9成等比数列，S5=aj.则4 .等比数列%满足q + % = 33 , % % = 32 ,且公比q （0,1）.求数列册的通项公式G =（二）累加法（递推公式0+1 - 0 = /（）型）1 .在数列% 中，已知% = 0,w+1 =网产，则数列"的通项公式为4 =n -n2 .在数歹J 4中，已知4 = 2,h+1 =all +ln（l + i），则数列4的通项公式为=2 + ln3 .已知数列"满足4=：,金讨=册+，_,则数列“的通项公式为% =2 + 3 _£2 几（三）累乘法（递推公式&±1 = /5）型）an1 .已知数列册满足。+|=/，则数列的通项公式为。=3，2 * I23m2 .设数列是首项为1的正项数列，且5 + 1）。3-%+。/1。“=0,则通项公式为 a= fl 3 .已知数列q满足勺=1, =Q +%+&Z3 + （-l）zzQ 2）,则通项公式1, n-u 4 ！、-为。= - n>22（四）公式法（品与s“关系型）：'X-,-1,H21 .已知数列的前n项和为S”，且S,=2-3",则数列%的通项公式为all =41-52 .己知数列,J的前n项和为S” ,且S = 3 +6则数列%的通项公式为册=_ 3 + ¼ = 12x3t n2 3 .已知数列%的前n项和为S，且勺=l,w+1 = 2Sn.n N*,则数列%的通项公1, n = 式为册=一2×3"2 n24.已知各项均为正数的数列的前n项和S满足与 > 1,且65=（册+ 1）（册+2）,则fla =3 15 .设各项均为正数的数列%的前n项和为S，对于任意正整数n,都有等式：an2 + 2an = 4Sn成立，则数列%的通项公式为a,l =2716 .己知数列%满足+。2 +«3 + + = n2all ,则通项公式为。 =2n（n +1）（五）构造新数列法（构造等差、等比数列型）1.已知数列%满足则通项公式为% =1 +12n-2 .在数列“”中，若q=l, a,al,+l = 22n+,则该数列的通项|2ts为奇数），an = %= ”向5为偶数）ab.aljall+i =2 "（几）取自得“生=8,% =1 .% =8.n n _ 02+3- %+l4+2 一 4 +得： * = 4（"N*）4.4中的奇数项q,生，。5,是以外为前项，4为公比的等比数列，偶数项是以2的前项，4为公比的等比数列A0,¾a-i = 4 /I = 22a22t（为奇数）a2k=a2k-x=22ku -一12向（为偶数）3 .在数列中，已知%=1,且当 2时，其前项和S 满足S：=%（S“-；）,1则 s=-2h-14 .己知数列%满足叼 =1,。+1 =2a,+2'i ,则通项公式为册=（ + 1）.2"-25 .已知数列,J 满足 al = 1 ,%=3" + 2%_I（x2）,则 atl =3+i _ 2+26 .在数列4中，若4 =1, 6Z,j+1 = 2an +3（"1）,则该数列的通项an =2+i7 .已知数列%的前项和为S，若“ =2,n an+l = Sn +(h + 1),则数列*的通项公式 an -2n解：(1)令 =1, 1<79 -ax +12 , BPa1 - a, =2n an+l =S+( + l)(一 1)% =S_I +h-1)n %+ ( 1必 =% + 2 n atl+l - atl = 2(n 2)。2-。| =2,%+14=2(2N*),即数列是以2为首项、2为公差的等差数列，/. an = 2n28 .己知数列clt的前项的和为 S，且 4= Sll S,-1 ( 2,S 0),=-,求数歹 U an的通项公式.解：(1)当 2时，an = Sn - Sn_., .,. Sll - Sn_ = Stl Sn,1,= T("2), .数列、-为等差数列.11-27?当 2时，a11 211 -2n 13 -2n (11 -2t)(13 一2)( =1),(1 l-2)(l 3-2/?y52)9 .已知=2,点(,斯.|)在函数U)=x2+2x的图象上，其中n=l, 2, 3,求数列 的通项解：(1)由已知+=；+ 2% ,/.an+l +i = (an+l)-al=2f .6irt+l>l,两边取对数得lg(l + 4+) = 2ig(l + 4),即 "2 = 2(l + ¾) lg( 1 + 4)是公比为 2 的等比数列 lg( 1 + 4) = 2t lg( 1 + 6) = 2"T .g3 = lg3产.l + q=32'i10.数列%满足 = 2,a2 = 5,an+2 =3。+ - 2%.求数列 * 的通项公式；解：由题意知：4+2 。+ = 2(。+ 4).""2 一。川=2,故数列%+ - % 以是a2-a=3为首项，an+ an以2为公比的等比数列，所以。用% =32"T,故 a2a=32°,所以 23a2=32, a4-as=32 9解：(I )当 =1 时，al = Sl = (a +1)，。 = 1. s“=；m+i)2,. S,=%j+1)2 (n2).，得 /=S-ST=；(a“+l)2-；(%+l)2，整理得,(4 + %- 2) = 0 , ,* an > °* an + an- > ° ' % - % 2 = 0 ,即。一 an,i = 2( 2).故数列“是首项为1,公差为2的等差数列.*.an - In -1.(六)周期转化法1.己知数列卜两足 0 = % = l,""+2 = at+l a ,则。1()0 =1, ., an -an_x - 32h-2,所以 为 一 = 3"言)=3(2'i -1).即/ = 3 . 2t _ L1 911.设正数数列册的前项和S满足S = -an +1)2,求数列册的通项公式；2 .已知数列%满足 q =>0),4"+ =二，则。2。12 =。 +1 + 13 .己知数列%满足%=1,与=-2,。+2=-二,则该数列的前26项的和为 l10三熟能生巧练习1 .设等差数列q的前n项和为s，若4 = S3