射频与微波电路—习题及答案汇总 李兆龙 第1--8章 传输线波导集成与互连---射频与微波系统导论.docx

第一章传输线一波导一集成与互连1 .请用较为严格的数学推导证明麦克斯韦方程与基尔霍夫电压定律/电流定律之间的联系。(参见Ba1aniS的Ae1VanCedEngineeringE1ectromagnetics)麦克斯韦方程组中的一个方程:法拉第电磁感应定律。它描述了磁场的变化会产生电场。具体来说，当磁场的磁通量发生变化时，会在空间中产生一个电场。这个电场的大小和方向与磁场变化的速率和方向有关。基尔霍夫定律。它描述了电路中电流的分布规律。具体来说，对于一个闭合电路，电流的总和等于零。这是因为电流是由电荷的流动产生的，而电荷是守恒的，因此在一个闭合电路中，电流的总和必须等于零。2 .脉冲发生器产生一锯齿脉冲P(t)=10tT(01T),其中T=W8So脉冲发生器内阻Rg=200Q,连接到长为I(单位为m)、阻抗Zc=50Q的传输线上，其终端接一负载电阻R1(波的传播速度为3x103ms)o问:D当传输线长1=3m且负载电阻RI=200Q时，求出负载电压与时间的函数并画出其关系图；当负载电阻R1=12.5。时，重复问;当传输线I二12m且负载电阻R1=200Q时，求出负载电压的解析表达式;绘制中传输线上电压的距离-时间图。答案略。3 .一传输线参数如下：Z。=600N-6°,a=2.0x105dBm,vp=2.97x108ms,f=1.OkHzo波沿传输线Z方向传播，在Z二。处电流最大值为O.3mA,且在t=0时电流达到最大正值写出矢量V(Z)和I(Z)及其相应的瞬时值。根据题目提供的信息，可以得到以下结论：1 .传输线的特性阻抗：Zo=600N-6°。(即阻抗的幅值为600。，相位角为-6。)。2 .传输线的衰减常数：a=2.0x10-5)dB/m(即每米衰减2.0x10-5)dB)。3 .波的传播速度：vp=2.97x108m/so4 .信号频率：f=1.0kHz=1.0x103Hz。5 .在Z=O处的电流峰值：ImaX=0.3mA。根据传输线的性质，我们可以使用复数形式来表示电压和电流。设传输线上的电压为V(z)=VOe(-jz),其中VO是振幅，B是传播常数。由于传输线的特性阻抗是复数，我们可以表示为ZO=ROe(j),其中RO是特性阻抗的幅值，O是特性阻抗的相位角。将传输线的特性阻抗、传播常数和传输线上的电压代入传输线的特性方程中，可以得到以下关系：V(z)=VOe-(-jz)=VOe(-j(t-z)=VOe(-jt)e(jz)=VOe(-jt)e"(jOz)e'(-j0)其中，=2f是角频率，是传播常数的实部，O是特性阻抗的相位角。根据以上关系，我们可以得到传输线上电压和电流的瞬时值：矢量电压：V(z)=VOe*(-jt)e"(jB0z)e(-j0)矢量电流：Kz)=(VOZO)e(-jt)e(jz)e(-j0)将给定的电流峰值Imax=0.3mA和传输线的特性阻抗ZO=600Z-6o。代入矢量电流的表达式中，可以得到：VO=Imax*ZO=(0.3x10(-3)*600Z-6o=0.18Z-6oV因此，瞬时电压和电流的表达式为：瞬时电压：v(z,t)=0.18cos(t-BOZ-00)V瞬时电流：i(z,t)=(v(z,t)/Z0)=(0.18/600)cos(t-Oz-0)A请注意，上述表达式中的角频率3、传播常数实部BO和特性阻抗相位角00可以通过给定的频率f、波的传播速度vp和传输线的衰减常数a进行计算。=2f=2(1oX1oC3)_28x103rad/sPO=vp=(6.28x103)/(2.97x1(8)=0.0212rad/m0=-6o以上即为矢量电压和电流的表达式及其相应的瞬时值。4. 一传输线长为30km,终端接阻抗为(IoO+j200)Q的负载，输入端接电压为v(t)=15cos(8000t)Vx内阻为75。的正弦波信号源，传输线的特性阻抗为75Q,信号相速为2.5x1(ftn/s。求出输入端和负载端的总电压。首先，我们需要确定信号的角频率和传播常数。根据输入电压的函数形式V(t)=15cos(8000nt)V,我们可以确定角频率为=8000rad/s«>然后，计算传输线的传播常数B=vp,其中vp是信号的相速度。根据题目中的信息，vp=2.5x108ms所以，二(8000)/(2.5x108)R0.080rad/m。接下来，根据信号源和传输线的特性阻抗，计算输入端的电压。输入端的电压可以表示为：Vin=Vs*e"(-j1)+Is*Zc*(1-e(-j1)其中,V_s是信号源的电压幅值,I_s是信号源的电流幅值,Z_c是传输线的特性阻抗，1是传输线的长度。根据题目中的设定，V_s=15V,Z_c=75Q,1=30km=30,000m(>代入计算可得：V_in=15*e(-j*0.080*30,000)+(15/75)*75*(1-e(-j*0.080*30,000)接下来，计算传输线末端负载端的电压。负载端的电压可以表示为：V_1oad=V_in*e(-j1)+I_in*Z_c*(1-e(-j1)其中，I_in是输入端的电流,根据Ohm's1aw,I_in=V_in/Z_c«代入计算可得：I_in=V_in/Z_cV_1oad=V_in*e(-j*0.080*30,000)+(V_in/Z_c)*Z_c*(1-e(-j*0.080*30,000)另外，根据题目中的设定，终端接阻抗为(100+j200)现在可以将上述计算步骤总结如下：1 .计算角频率：=8000rads<,2 .计算传播常数：二vp二(8000)/(2.5x1'8)Q0.080radio3 .计算输入端电压：V_in=15*e(-j*0.080*30,000)+(15/75)*75*(1-e(-j*0.080*30,000)04 .计算输入端电流：T_in=V_in/Z_c«5 .计算负载端电压：V_1oad=V_in*e(-j*0.080*30,000)+(V_in/Z_c)*Z_c*(1-e(-j*0.080*30,000)。5. 一传输线长2.5m,若其一端短路，则另一端的阻抗为(j5);当其一端变为开路时，另一端的阻抗变为(T500)。已知正弦波信号源的频率为1.9MHz,传输线长度小于1/4个波长。求出传输线的特性阻抗和信号的相速。根据题目提供的信息，我们可以得到以下关键点：1. 传输线长度为2.5m。2. 一端短路时，另一端的阻抗为(j5)Q。3. 一端开路时，另一端的阻抗为Qj500)Qo4,正弦波信号源的频率为1.9MHzo我们可以利用这些信息来计算传输线的特性阻抗和信号的相速。首先，根据给定的传输线长度小于1/4个波长的条件，可以推导出传输线的特性阻抗和信号的相速之间的关系式：ZO=(Z_short*Z_open)其中，ZO是传输线的特性阻抗，Zshort是一端短路时的阻抗，Zopen是一端开路时的阻抗。代入题目提供的数值，我们可以计算出特性阻抗Z0：ZO=(j5)*(-j500)=(500)=22.36Q接下来，我们可以使用下面的公式来计算信号的相速v_p：v_p=*f其中，入是信号的波长，f是信号的频率。由于传输线的长度小于1/4个波长的条件，我们可以知道传输线的长度1满足以下关系：1<4然后，我们可以通过以下公式计算出波长X：=41代入传输线的长度1=2.5m,我们可以得到波长X：=4*2.5=IOm最后，我们将波长和信号的频率f=1.9MHz代入计算公式，即可计算出信号的相速v_p：v_p=*f=10*1.9*106=19*106m/s=19MHz因此，传输线的特性阻抗ZO为22.36,信号的相速v_p为19MHz。6. 一特性阻抗为75Q的无传输线连接在阻抗为(37.5-j15)Q的负和内阻为75的信号源之间。求出:距离负载015人入处的电压反射系数:传输线上的驻波比VSWR；距离负载1.3入处的输入阻抗。根据题目中提供的信息，我们可以得到以下关键信息：传输线特性阻抗ZO=75负载阻抗Z1=37.5-j15Q信号源内阻Zs=751 .距离负载0.15处的电压反射系数：电压反射系数可以通过以下公式计算：=(Z1-Z0)/(Z1+Z0)将题目提供的数值代入计算：=(37.5-j15-75)/(37.5-j15+75)=(-37.5-j15)/(112.5-j15)分子和分母同时乘以该复数的共枕，可以得到：=(-37.5-j15)*(112.5+j15)/112.5-只52计算分子的乘积：(-37.5-j15)*(112.5+j15)=(-37.5*112.5)-j(37.5*15-112.5*15)-j(37.5*112.5+15*15)计算分母的模的平方：112.5-j152=(112.5)"2+(-15)"2代入计算并整理，可以得到电压反射系数的值。2,传输线上的驻波比VSWR：驻波比VSWR可以通过以下公式计算：VSWR=(1+I|)/(1-|)根据上述第一步计算得到的电压反射系数,可以代入计算并求得驻波比VSWRo3.距离负载1.3处的输入阻抗：输入阻抗Zin可以通过以下公式计算：Zin=ZO*(Z1+jZ0*tan(1)/(Z0+jZ1*tan(1)其中，是信号的相位常数，1是传输线的长度。由于我们没有提供频率或波长的具体数值，无法计算相位常数o但我们可以通过正余弦函数的关系得到tan(1)的值。根据tan(1)=sin(1)/cos(1),我们可以使用相关三角函数求得tan(1)o将步骤中得到的tan(1)的值代入公式，并将其他已知值代入计算，可以得到距离负载13处的输入阻抗Zin0请注意，这里提供的计算结果是复数形式的，可以根据需要提取其幅值和相位信息。7 .一无耗传输线的特性阻抗为750,终端接一阻抗为(150+j150)Q的负载。分别求出Zin(75-j120),(75-j75),17.6Q时的传输线的最短长度。答案略。8 .矩形波导的宽为a,高度为b,内部均匀填充介电常数为£的媒质，证明其截止频率fc=c2a£r"(其中，C是光在真空中的速度，£r是相对介电常数)。并证明媒质填充的波导中的波导波长比空气填充的波导中的波导波长小。要证明矩形波导的截止频率为fc=c(2ar),可以使用波导的截止条件和相位匹配条件来推导。首先，根据波导的截止条件，截止频率发生在波导中的电场分布模式无法在波导中传播时。对于电场分布模式TE_(mn),其中m和n是整数，对应于波导中的横向模式和纵向模式。当频率达到截止频率何，对应的波长无法在波导中容纳，因此电场无法传播。对于TE_(mn)模式，横向模式数为m,纵向模式数为n,对应的截止频率fc_(mn)可以表示为：fc_(mn)=(c/2a)(m2+n2)此处，c是光在真空中的速度。我们需要证明矩形波导的截止频率为fc=c(2ar)<>根据相对介电常数Sr来替换真空中的光速c,即c替换为c/VSr0然后，根据横向模式数m和纵向模式数n,将波导的截止频率fc替换为c/(2aEr)(m2+n2)。根据矩形波导的特殊形式，可以令横向模式数m=0,纵向模式数=b得到对应