初等几何问题解决策略之.docx
第五章初等几何问题解决策略之（下）在第四章中主要介绍了根据平面几何问题可能出现的各种形式如何选择解决问题的策略。本章从另一个侧面研究初等几何问题解决策略，即根据具体的数学方法的视角进一步研究了初等几何问题解决的一些策略。学习指导1 .要掌握数形结合的解决问题的策略：比例法、代数法、三角法、解析法。2 .要掌握其他学科的方法解决初等问题的策略。3 .要掌握用高等数学方法解决初等几何问题的一些策略：微积分方法、向量方法、仿射变换方法。4 .要掌握用抽屉原则解决一些初等几何问题的策略。第一节数形结合的证题方法数形结合的证题方法一般有比例法、代数法、三角法、面积法和解析法等。一、比例法例1如图5-1,在A3C中，M是BC的中点，AD是NBAC的角平分线,过A、D、M三点作圆交直线A8、AC于E、F0求证BE=C产。证明：AB.AC.BC都是圆的割线，4。是NBAC的平分线.BEBA=BMBD,即BE=BM-BA:.CFeA=CDeMCF=CM.也CA根据角平分线定理知孚=孚，即CDCABDCDABCA又BM=MC.BE=CF例2如图5-2,AQ是ABC的中线，NAO3、NAoC的平分线交A3、CA于E、F0求证Mv8E+b.证明1：DE、。产分别为NAo8、ZADC的平分线，AD.EF交点、为GEBEBDCFCDAEADAFADBECF又BD=CD,则一=AEAF于是EFBC,EG=GFBECFBE+CFCDBDEGEFAEAFAE+AFADADAGAGBE+CFEF,AE+AF2AGBE+CFAE+AF-'EF-2AG如图5-3,在AABC中，AG为族上的中线,AE+AF>2AG图5-2BE+CFEF>1.EF<BE+CF图5-3证明2：此题还可利用旋转变换和平移变换方法证明。（如图5-4）二、代数法例3如图5-5,圆内三弦PPi、QQx、RR1两两相交于A、B、C,且4R=BP=CQ,AQ1=BRI=CA0求证A45C为正三角形。证明：设AR=BP=CQ=in,AQ,=BR1=CI=n,BC=x,CA=y,AB=z则根据相交弦定理，m(z+)=(y+7%)图5-5w(x+n)=(z+)m(y+n)=n(x-n)、左右两边分别相加，得(x+y+z)="(x+y+z)代入、，得x=y=z,即命题成立。思考：试用其它方法证明此题。例4如图5-6,AABC的内切圆切48、BC、AC于。、E.ACBC=2ADBD.求证：AC±BCa证明：设。切BC于E,切AC于尸，切AB于.AD=AF,BD=BE,CE=CF则2CE=AC+BC-AB.AC=AF+FC=AD+CE,BC=BE+EC=BD+CE又.ACBC=2ADBD/.(AD+CE)(BD+CE)=2ADBD图5-6CE?+(AD+BD)CE-ADBD=O解之C耳2-(AD+BD)±y(AD+BD'+4ADBD代换得CE=g(-AB±AB2+2ACBC故AC+BC-AB=-AB±yAB2+2ACBC即AC+3C=±yAB2+2ACBC两边平方，得AC2+2AC.BC+BC2=AB2+2AC-BC得心+叱=.,aZACB=90即AC1BC三、三角法例5如图5-7,正三角形AABC内接于。，尸是BC上任意一点。求证:PA=PBtPC.证明：该圆半径为R,NPBC=a,则NPAB=60a,ZPBA=60+a:.PA=2/?sin(60+a),PB=2?sin(6()-a),PC=2Rsina故PB+PC=2Rsin(60-cr)+sincr2R2图5-7sin30(cos30cosa+sin30SinaH=2/?-2sin30cos(3()-a)=2/?-sin90-（30-a）=2RSin（60+a）=PA例6如图5-8,点P是NXOy内任意一点，1oX于A,23_1_。丫于8。求证也空OA+OB为一定值。证明：设NXOP=,YOP=图5-9PA+P8PA+PB_op_sincr+sinOA+OBOA+08cosa+cosOP.a+a-2sn-cos-22Ca+a-2cos-cos-22ta号为定值.命题得证。例7如图5-9,在AABC中，AB=AC,P是AABC内任意一点，且ZAPB>ZAPC.求证：PB<PCZAPC=a2,ZABP=,ZACP=miABAPACAP则=->=Sina1sinsinor2smAB=AC.sinax_sina2sinsin又ZAPB>ZAPC,即>%且a1+a2>180o得90<%v180,0<cr2<180在此区间sin%非单调函数，分类讨论 490a1>90,且%，则Sin<sina2:.sin<sin,AyV90,则/7vy <90a1>90,则180-囚<90,又名+2>180得>180%则Sina=sin(180-aj<sin%.,.sin7<sin/,/7,<90,则尸Cy由题意，ZABC=ZACb,APBC>APCB.PB<PC证明2：根据余弦定理AB2=PA2+PB2-2PAPBcosaC2=PA2+PC2-2PAPCcosa2则PB1-PC2-2¼(PBcosax-PCcos2)=0(PB+PC)(PBPC)=24(PB8S«PCcos%)用反证法若PB=PC，则PBcosa1-PCcosa2=O,即cosax=cosa290Va1VI80,0<a2<180,则%=%，与假设矛盾.PB丰PC：若PB>PC，则PBcosa1-PCcosa2>0,即PZJcosa1>PCcosa2a1>90,则4<%与题设矛盾综上，PB<PC.四、解析法BDC例8如图5-10,在mAABC中，ZA=90,Ao_13C于O,DE1ABF££>尸，4。于尸。求证：AB3:AC3=BE:CF证明：以AB为X轴，Ae为y轴建立坐标系，A(0,0),B(c,0),C(0,Z?)根据截距式可得直线BC方程：图5-10+-=1,BPbx+cy-hc=0(1)cb.直线AO的方程为y=(2)b,0联立(1)、(2)得D.网3=M'3»舄=号忸目二T+从二iCF/C2+/?2而陷=c,IAcI=1例9如图5-11,E为正方形ABCD内一点,ZEAD=ZEDA=15,求证EBC为正三角形。证明：取坐标系如图，设E(Xy)tan15=2->3.AE的方程为y=(2-0卜(1)忸目=.E冏/2,OE的方程为y=(26)(xa)联立(1)、(2)得X=J。，J=/.BE=CE=BC图5-11图5-12.AEBC为正三角形。第二节用其它学科的方法证明几何题例10如图5-12,P为ABC内任意一点，连AP、BP、C尸并延长，分别交对边于。、E、Fo4丁TDPEPF求证：F+=ADBECF丝+丝+名=2；ADBECFAPBPCP-PDPEPF组图027°PDPEPF证明：设A、B、C三点放置的质量分别为A(),B(b),C(c),则。、E、尸、尸点的质量分别为。优+。)、E(a+c)、F(a+b).P(+Z?+C)由杠杆原理可知PDPEPFabc.十+=+=1；ADBECFa+b+ca+b+c+b+cii.APBPCPb+ca+ca+bC+=+=2；ADBECFa+b+ca+b-ca+b+cAPBPCPh+ca+ca+bh11=PDPEPF一+b2+2+2=6;ADBECFa+b+ca+Z?+ca-vb+cPDPEPF第三节用高等数学方法证明几何题一、微积分证法例11如图513,在AABC中，求证四幺一ACZA+ZC证明：设NA=,NC=6,BC=CI,AC=b,当c匕时，-1,而一<1,显然成立；ba+M4csi"AB当CVb时，一=；r=bsin(a+7)AC设/()=W(O<XV%),讨论其增减性图5-13形在单位圆中，X所对弧长X与tanx的关系是XVtanX(X)Vo.,./(X)=电”是减函数sin(+-)sin尸Sin夕、a+sin(a+ajr-ABZC>ACZ+ZC例12设圆半径为人求证圆周长=24尸。证明：设圆内接正边形的周长为与，边长为。P11=na=2nrsinn.sin.,.IimP=2rm-=2rMH0冗n设圆外切正边形的周长为片，边长为bTrP;=nb=2nrtanntan.*.IimP'1=2;TrIim-=2rTQO0n.半径为r的圆的周长尸=2万尸二、矢量证法用矢量法证明几何题，其主要思路可用如下框图表示:从题设的几何条件出发，在适当选取基本矢量的基础上，把这些条件转化为矢量关系式，再通过一系列矢量运算，得出新的矢量关系式，从而证明结论。（一）证明线段相等问题用记号Kq或而表示矢量AQ的模，要证明AB=CD,即可转化为证B=CDo一般有以下两种途径:只需证AB=CO根据矢量相等的定义，若4B=CO,则IAN=ICO只需证a/=。？其中A8?表示矢量AS与其本身的数量积，根据数积定义，ab2=ab2,cd=cz）2,若Ab?二。，则网2=ICO1即M=ICq例13证明等腰三角形两腰上的中线相等。已知：如图5-14,等腰AAOB中，两腰。4、AB上的中线分。:B别为BC、OD°图514求证：IBq=IoU证明：取基本矢量O4=,OB=b则O0=g（4+Z?）,BC=a-2bOD=-a+2ab+b）BC=-c-4ab+4b41-2=a41-2+21b+b+3（-21b+广）OA=A,即,卜卜-6.<7=p-,=（-Z?）,BP-2ab+b=0例14如图5-15,已知正方形ABCO中，E为BC上任意一点,NEAO的平分线交OC于尸。图5-15求证：BE+DF=AE证明：设NEAb=NEW=6AE=AB+BE式两边同时数乘矢量A户即AEAF=AB+BEyAF=ABAF+BEAF设IAq=IA4=4,ZBAF=-BEHAMCoSeAEAFcos6>=ABAFcos11+又I
