差分格式稳定性及数值效应比较实验.docx

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1、差分格式稳定性及数值效应比较试验F09071025090719044一试验目的：1 .以一阶线性双曲线方程为例，使用Matlab工具分析4种差分格式的误差。2 .了解4种差分格式的稳定性二试验问题：对于一阶线性双曲型方程： ut + aux = 0,g、_ 、_ /1 ,x 0u(0,x) - f(x) -(0 ,x 0 a=l,2A h=0.1, =0.08，对不同的差分格式(迎风格式，Lax-Friedrichs格式，LaxWendroff格式，修正迎风格式)及不同的a值进行迭代计算。通过将计算结果与精确解来进行比较，来争论分析差分格式的稳定性。三试验原理：1 .迎风格式：这种格式的基本思

2、想是简洁的，就是在双曲型方程中关于空间偏导数用在特征线方向一侧的单边差商来代替，格式如下：un1-uj, uy-uj!l1+ a：= 0la 0h11n +1 11n11 n 11n iuiUj + -Uj+ a：= 0,a 0un j 1 = (1 + a )ujl - a uj J? ,a ) (1-a,) uf+ (a + l)j Pi4 .修正迎风格式(目标点范围跟踪格式)：u1 = auj-+ (l-a) uj.其中a是a取整数部分，a=a入- a 。依据之后的理论分析可以得到这是一个无条件稳定结构。四四种格式理论分析：通过求差分格式的增长因子G( ,k),来判定差分格式是否稳定。1

3、 .迎风格式：记u? = vneijkh,则 v11 + 1eijkh = v11eijkh - a (vneijkh - vnei -1)kh),vn + 1 = vnl-a(l-eikh)z即 G(,k) = l- a(l-e ikh) = 1 - a (1 - cos kh) - a sin khoo kh所以 G(,k)2 = l-4a(l-a )sinh2yo则在a.l,满意von Neumann条件，格式稳定。以下格式用相同方法求解稳定性条件。2 . Lax-Friedrichs 格式：G(,k) = cos kh - ia sin kh,在a 人 1 时稳定。3 . LaxWen

4、droff 格式：khG(,k) = 1 - 2a2 2sin2 y - ia sin kh,在a 人 1 时稳定4 .修正迎风格式(目标点范围跟踪格式)：G(,k) =e-ita lkhl-a(l-eikh),其中卜-血人叫=1, |1一匕入(l-e-ikh)的成立条件为冏人lo而all恒成立，故格式无条件稳定。五试验结果:a=l (a = 0.8)迎风格式Lax-Friedrichs 格式141.210.80.60.4020Lax-Wendroff 格式修正迎风格式a=2 ( a = 1.6)迎风格式Lax-Friedrichs 格式六总结：本次试验，通过4种差分格式求解T=4时的解并与解

5、析解画图比较，可以看出：(1) a=l (a =0.81)时,迎风格式,Lax-Friedrichs 格式,Lax-Wendroff 格式都消失了比较剧烈的震荡，震荡区域主要在(2,3)的区间内。这三种震荡中，Lax-Friedrichs格式震荡较小，为10”级别，迎风格式与Lax-Wendroff格式的震荡则较大，为1。2 +级别。与之相对应的是修正迎风格式，保持着稳定的性质，不过间断点从4到了 13。 a=4 (a =3.21)时,迎风格式,Lax-Friedrichs 格式,Lax-Wendroff 格式的震荡更加剧烈，分别到达1。35, 1024, 1063的级别。震荡区间也变为(0,

6、3)。修正迎风格式则仍旧保持着原有的稳定性不变，只是间断区间变为(60,90)。由上得出，稳定性对差分格式求解偏微分方程有重大意义。一个差分格式是否好，是否可用，首先要判定它是否稳定并找到稳定性条件。修正迎风格式强大的稳定性在解决一阶线性双曲线方程中有着很强的有用价值。七程序：迎风格式：function yingfeng(a,h,t,minx,maxx)m=(maxx-minx)/h;T=4;P=t/h;n=T/t;ul=ones(m+n+l,l)；ul(n+l:m+n+l)=O;u2=ul;for i=l:l:nfor j=i+l:l:m+n+lu2(j)=a*p*ul(j-l)+(l-a*

7、p)*u2(j);endul=u2;endyl=u2(n+l:m+n+l);xl=minx:h:maxx;plot(xl,yl,-,)Lax-Friedrichs 格式：function Friedrichs(a,h,t,minx,maxx)m=(maxx-minx)/h;T=4;P=t/h;n=T/t;ul=ones(m+2*n+l,l)；ul(n+l:m+2*n+l)=0;u2=ul;for i=l:l:nfor j=i+l:l:m+2*n+l-iu2(j)=0.5*(l+a*p)*ul(j-l)+0.5*(l-a*p)*u2(j+l);endul=u2;endyl=u2(n+l:m+n+

8、l);xl=minx:h:maxx;plot(xl,ylz,-)Lax-Wendroff 格式：function Wendroff(a,h,t,minx,maxx)m=(maxx-minx)/h;T=4;P=t/h;n=T/t;ul=ones(m+2*n+l,l)；ul(n+l:m+2*n+l)=0;u2=ul;for i=l:l:nfor j=i+l:l:m+2*n+l-iu2(j)=0.5*a*p*(l+a*p)*ul(j-l)+(l-a*p)*(l+a*p)*u2(j)+0.5*a*p*(a*p-l)*ul(j+l);endul=u2;endyl=u2(n+l:m+n+l);xl=min

9、x:h:maxx;plot(xl,ylz,-)修正迎风格式：function gaijinyingfeng(a,h,tninx,maxx)m=(maxx-minx)/h;T=4;P=t/h;n=T/t;ul=ones(m+n+l,l);ul(n+l:m+n+l)=0;u2=ul;for i=l:l:nfor j=i+floor(a*p)+l:l:m+n+l2(j)=(a*p-floor(a*p)*ul(j-floor(a*p)-l)+(l-a*p+floor(a*p)*u2(j-floor(a*p)jendul=u2;endyl=u2(n+l:m+n+l);xl=minx:h:maxx;plot(lzyl,-)