T60 实变函数.docx

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1、大连海事大学硕士研究生入学考试大纲考试科目：实变函数考试内容一、集合论基础1 .集合及其运算；2 .集合的基数；3 .可数集与不可数集。二、中的拓扑1 .开集与闭集，内点，聚点，导集，闭包；2 .开集的构造定理；3 .康托（Cantor）三分集，完备集，疏朗集，稠密集，紧致集。三、测度理论1 .外测度的概念和基本性质；2 .Zebesgue可测集的概念与Caratheodory条件;3 .e岳SgUe可测集全体C的各种整体性质（如可列可加性等）；4 .不可测集的构造；5 .ZeAesgue可测集的等价概念；6 .代数，/弋数，BOre1集。四、可测函数1 .可测函数及其性质；2 .测函数列的逐

2、点收敛、近一致收敛、依测度收敛；3 .用连续函数逼近可测函数，鲁金Q1USin）定理。五、1ebesgue积分1 .1ebesgue积分的定义与性质；2 .可测函数列积分收敛定理，历SgUe积分的绝对连续性；3 .Zebesgue积分与应助侬积分的关系；4 .重积分、累次积分、他Z加定理；5 .有界变差函数，绝对连续函数，1ebesgue-StieItjeS积分。基本要求一、集合论基础1 .熟练掌握集合各种运算(包括集合列的上、下极限集)；2 .理解集合基数、可数集与不可数集等概念，熟练掌握集合基数的比较和计算方法；3 .理解BernStein定理及CZ”对角线法。二、中的拓扑1 .掌握度量概

3、念，和由此引出的内点，聚点，导集，闭包，开集与闭集等概念及其性质；2 .理解1维与2维以上欧式空间开集的构造定理，并能在后面的测度理论中意识到它们的区别；3 .掌握完备集，疏朗集，稠密集，紧致集等基本概念，并能对康托QCantor)三分集、广义康托(CantOr)集做相应探讨。三、测度理论1 .理解外测度、测度的概念及其区别，能够运用CaratheOdOry条件推导1ebesgue可测集各种性质；2 .掌握不可测集的构造方法与破坏可列可加性的反例；3 .掌握开集、闭集、Gd集、乙集与可测集的关系，熟练运用等测包、等测核概念证明集合的可测性；4 .理解代数、f弋数、%re集的概念，掌握Bare1

4、集与1ebeSgUe可测集的关系。四、可测函数1 .理解可测函数与简单函数之间的关系，并能用可测函数基本概念、简单函数列逼近两种方法证明各种性质；2 .掌握可测函数列的逐点收敛、近一致收敛、依测度收敛的关系及证明方法(包括叶果洛夫(EgOroff)定理，黎斯(Riesz)定理)，理解依测度收敛的重要性；3 .掌握连续函数与可测函数的关系，能够运用鲁金(1USiQ定理解决相关问题。五、1ebesgue积分1 .掌握ZeAesgue积分的定义与性质；2 .能够运用小豆引理、dou引理、控制收敛定理解决可测函数列积分收敛问题，理解Zebesgve积分的绝对连续性；3 .理解积分与我勿a7积分的关系，并能据此进行各种积分运算；4 .理解重积分、累次积分、他切力/定理，并能进行简单的运算；5 .理解覆盖、单调函数的Cebesgve定理、有界变差函数、绝对连续函数、1ebeSgUe-StieItjeS就分。参考书目1 .教材N实变函数论（第三版），周民强，北京大学出版社,2016年。2 .参考书目：实变函数解题指南（第二版），周民强，北京大学出版社，2018年。