第15讲 数列与不等式齐飞 放缩和构造法.docx

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1、第15讲数列与不等式齐飞放缩和构造法典型例题x0【例1】已知/()为平面区域/：yO内的整点(x,y)(x,y均为整数)的个数,其y-nx+3n中N,记，数列也的前项和为S“，若存在正整数几p,使得SbP*乂成立,则p的值为Se-Pbe16【例2】已知函数f(x)=x-32的最大值不大于又当Xe1,1时,/126_42J8求。的值；(2)设OV41，/+=/(4),WN*,证明:zJ2+1【例3已知数列茗,满足:X1=1i=xn+1+1n(1+xh+1)(hnJ证明:当N*时，(1)0n+1Xn;2s1e牛击麴J%击强化训练1己知数列4中的各项都小于1,q=g,C+-2/+一为(N).记S”=

2、。1+%+%+,则儿().(A(13、(3、A.0,1B.C.,1D.(1,2)2124(4)2 .已知数列4满足4=1a”+=3a+1.证明:是等比数列,并求4的通项公式；一I13(2)证明:一+0【例1】已知/5)为平面区域/：yO内的整点(x,y)(x,y均为整数)的个数,其y-nx+3n中N,记=2,数列也的前项和为S.，若存在正整数,p,使得卢二PM上成立,则p的值为S.+-P%16【解析】【解法1当X=I时,满足为2(1,1),(1,2),.,(1,2)共有2个.当X=2时,湎足为,有(2,1),(2,2),(2,h)共有n个./()=3n,b.=2)=23h=8,.Sn=-(8-

3、1)7Y存在正整数,p,Sn-pbn=7p)8-8,S用-Pbe=1(8-7p)8向一8(8-7p)8n-81;(8-7p)8+,-816.讨论:当P=I时,815,不可能成立,=1.【解法2】同【解法1得S.=8-1),工-Pd7Se-PbNq,气一回r“+p%。,16(8,+-1)-p8h+,.87成立.1581p7x877x8山49631当=1时,一pP=I.5656当几.2时,此时P无整数解,p=【例2】已知函数/(X)=G:-之/的最大值不大于J_,又当Xe11时,f().126_42J8(1)求的值；(2)设043,4+|=/(。“),1,证明：4.【解析】(1):由于f(X)=a

4、x-X2的最大值不大于DM=,，即力又当26366-I-1-21-41-.81-.8/181一.83-2?-33-8-。-4。-2解得a.1.由和得=1.(2)【解法1】(i)当九=1时，041,不等式Oea0,.Xf0,.。2=/(%)”，:，故=2时不等式也成立.k36313O1(ii)假设当=k(k.2)时,不等式Ovqv成立,Y/(x)=X一一X2的对称轴为X=-,知Z+123/(幻在0,1上为增函数,由0gJ7,得0v(%)(._3_13I攵+,八131111%+41bW+,&+12(k+1)2Z+2&+2k+22(k+)k+2)Z+2=Z+1时,不等式也成立.根据(i)和Gi)可知

5、,对任何N*,不等式anV一成立.n+【解法2】(i)当=1时,04不等式04一成立;2+1(ii)假设当n=k(k.)时不等式成立,即0%0,-ak0于是0qt+一,因此当=左+1时,不等式也成立.k+2根据i和ii可知,对任何/?N,不等式qV成立.+1【例3已知数列%/满足:再=1XzJ=/+1n(1+1)(nN)证明:当N*时，(1)0xn+1(N*)当几=1时,=10.(ii)假设二A时,迎0,那么九=2+1时,若迎+1”0,则OVz=+1n(1+J,0,矛盾,故+0,因此七(N).Xn=/+1+1n(1+xzf+1)x,1+1,因此。0),则11-Y(x)=1+;0,(x)=-1=

6、-0,g(x)O,1n(1+x)0)下面用数学归纳法：(i)当n=时,x=x2+1(1+x2)=1=()(O)=O,：X2-%=-1n(1+w)v,故0Z玉(H)假设当=A(k.1,ZN)时,xk+xk成立.那么J(O)/(+)(),0V+2+1即当=Z+1时,不等式OX2XM也成立.由和(ii)可知,0xzf+-1),则Xrt=xn+1+In(1+xn+1)2x,j+1.从而%+吗4，%，？5凡=50,得天0又由玉=Xni+In(1+/+J可知由乙一天+1=七+1+In(1+FJ七X=In(I+/+JO,得/乙.O乙讨0,对Xn+Xn+Xn+一1Xz+0均成立.：,=+(1+怎+J,0,即尢

7、与Z+同号，而玉=10,故zj+0.由上可知 =1+1n(1+)1.,1,+:玉+1，,1/+1O(xO)函数/(x)在0,内)上单调递增x+1/(x)./(0)=Oz因此片+21(1+2)1n(1+)=f(1).0,故2%f,争g)【解法2】综上,I1领k“12(nN)Qn-In，-2/【解法2】Xn=1In(1+)+1=2xn+1,.X+1Xn故当.2时,K出-癖6)和又%=1,.怎.由的结论可得守.2%,七两边同除以Xd川，可得;11182=1+击，故故于丁殁心【解法3】三(eN)2-2递推可得京隹52),由1=1,知当,，/2H2X1七=怎+1+In(1+/+1),X,1+1+怎+1，

8、即H15丫_ZZ-IWX21期Y1“一丁.一三T1Fk对于所证不等式右边左,，白(N*),尝试用数学归纳法证明,但直接证明困难,需证此不等式的加强不等式乙5(N*).2n-2+-2O)当=1时,一!-=1,即当,，1,命题成立；2n2+-2(ii)假设当=4化.1次N)时命题成立,即心,1TkN)此时,14.2a2+-2又由的结论知2xn+1-xnJ-=xn+1梳EN)2；当=%+1时,由王+1麴S=4-2(上述运用放缩法用到了相应函数/(%)=N(Ox1)单调递增的性质).即当-1X=攵+1时,命题也成立.由i和ii可知,%,1(n)因此有玉V!r,U(gn)2n-2+-2,-z+-222综

9、上，击觎白(wN)强化训练1.已知数列4中的各项都小于1,a1=p1-2an+1=-dz,(N4).记C.D.(1,2)Sf1=4+4+%+4,则SK)W).aHj【解析】【解法1】,明4“0,.40由已知得?=1-2%-2q),33j_3)2,4SIO=a2au(a_2q)=1_2%Va *Sga.,，Sg.,.S10【解法24K-2)=q(a“-1),各项都小于1.a与勺+i同号，故。故。(2-)0.又4=4(2-4)-4出(2-%).133故故SIo=q(2-q)-q(2-41)=5*-4(2-ii)- S4.1 u10uI-2【答案】B2.己知数列勺满足q=1,+1=3at1+1.证明

10、:“+；是等比数列,并求勺的通项公式；1 113(2)证明:一+-.a生an2【解析】证明:由an+i=3an+1得%+；=3(%+g)明6+g=T1-12可得a”+g是首项为公比为3的等比数列.通项公式为4=:1 21I【解法1】由得一=,.1时,3一1屋x3”1-QnJ-Ij-1Zxj工曰I1111133于是一+，1+弓+zr=-1-T7-.axa2an332321 113二.一+aa2an2【解法2】由知-=，一,由著名的“糖水不等式(若,加R,且ab,则N丝竺an3-1bb+tn=3-13-1+133”t1.rs11-7于是一+一+3t1二.+aa2【解法3】4%13一3。,得一，%+%+3（q=1）,an-+2+444%+Z3,得11凡4出13+一-42AA+.+2,2+1+-1i2+2+aa2anaWa2an-J44【解