第11讲 三角函数抓住图像各类性质一目了然.docx

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1、第11讲三角函数抓住图像，各类性质一目了然典型例题例1已知函数/(x)=sin2x+cos2x的图像关于直线X=-X对称，则实数的值为8若将函数/(x)=sin(2x+0的图像向右平移0个单位,所得图像关于)，轴对称,则。的最小正值为.已知00,函数F(X)=Sin(W+()在上单调递减,则3的取值范围是();A.i,-1Bj131C.f)D.(0,2_24j|_24jI2.设函数/(x)=ASin(r+e)(A,a*是常数，AO,tO),若/(x)在区间H上具有单调性,且佃寸图T闱，求【例2已知函数/(X)=2sifix+Siri1x,则f(x)的最小值是.函数y=a的最大值为.3-COSX

2、函数=sin：+SinB的最小值为,最大值为.cosa-sina-3【例3】已知f(x)=tanx,x(0,g),百、x2(0,y)且x勺，求证:(x1)+(x2)1/(司强化训练1 .图12-5所示为函数），=八$皿（8+8）（40,00,|9|:1）的一段图像,求其解析式.2 .已知OWR,函数/。）=（工-6）2而8,若存在常数惭11,使得/。+0）为偶函数,则出的值可能为（）.3 .已知函数/（x）=ASin（S+）（A,39均为正的常数$）$的最小正周期为万,当X咛时,函数/（力取得最小值,则下列结论正确的是().B(0)(2)(-2)D(2)(0)(-2)A.(2)(-2)(0)C

3、.(-2)(0)0,函数/(x)=Sin上单调递减,则0的取值范围是O;D.(0,2_52,4设函数/(x)=ASin(的+/)(A他0是常数,4。,口。)，若/(x)在区间上具有单调性,且MMC,求/(%)的最小正周期.(1)【解法1】0y=y+a2sin(2x)=arctana),/Jyy+a由正弦函数图像的性质知当X=-工时=iTU.8即一(-1)2=1+/,/.a=-1.2【解法2】EI函数y=/(Ar)=sin2x+acos2x的图像关于直线x=-对称,8/.-Xj=/(x),即sin2-Xj+cos2-XJ=sin2x+cos2x.cos2xsin2x=sin2x+acos2x,即

4、(a+1)(sin2x+cos2x)=O故=-1.【解法3】Y函数图像关于直线x=-工对称,且(0在原函数的图像上,点(U)关于x=-工的对称88/(O)=/(-?),即4=$112(-71+4(：032(一5),故=一1.【解法1/(x)=sin(2x+(的图像向右平移0个单位,得函数y=sin(2x+?-2,的图像,由函数y=sin(2x+(-2”的图像关于y轴对称,可知Sint-2)=1.即Sin(2_*)=1,故28-7=4万+宗/2,即8=券+1次2,又*0,.外的=【解法2】根据正弦定理的对称性,只要找到y轴左侧第一条对称轴,由2x+工=&不+2(AZ)42得到Y+筝取-1,得Ad

5、即将函数/(X)=SinRx+%的图像向右平移四个单位,故。的最小正值为主.k4J88【解法1】函数/U)在区间H上具有单调性，.工解上=K,./.又6222633)=sin(3+马的图像可看作是由函数/(x)=S浓的图像先向左平移三个单位442,.长度得/(幻=Sin(X+?)的图像,再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的处纵坐标不变得至IJ的,而函数/(x)=sin卜+力的减区间是+与，所以要使函数/(x)=sin+j在(M上是凌函数,广一，需满足？Q514【解法2】函数/(x)=sin(5+?)在名上单调递减,在30的前提下,需同时满足下列条件:0y,2.4k+*kZ),2+-(Z)41,

6、coH.2k五H(&Z),即2427tC.341TCG)+2k兀+(kZ)综上解得！强姐工,故选A.24【解法3】将3=2代入函数f()=sin(3+?)的解析式,f(x)在(?)上非单调递减,故排除D;再将O=I代人/(X)=Sin+?)的解析式,/(%)在信乃)上单调递濡排除B、C;【答案】A.【解法1】在区间匹马上具有单调性,且/(马=/(二),1=工和=3,.=匹和A型62232323江+24均不是了的极值点,其极值应该在工=&口-=|处取得./图=-/闺?也不是函数/(X)的极值点,又/3在区间上具有单调性,则看-倍-升专为/(X)的另一个相邻的极值点.故函数fx的最小正周期T=21

7、T212【解法2,佃一。(x)2=3sin2cos63226434c2%22%23smcos+cos-+cos2222427T.X=?就是函数/(X)的图像与X轴的一个交点.(引且与W%=浮就是和*f在同一个周期内的一个极值点.整合上述信息画出大致图像如图12T所示,可知；=卷-?=?,，函数/的最小正周期T=兀图12-1【解法3】工一三=工,二一工=工工而/(X)在区间任,刍上具有单调性,且263326362B=-/3cosx+sinx)2f(x)=2sinx+2sinXCoSx=2sinx+2sinXCOSx+(sin2x+cos2x-13cosX+sinx=0,3sinX+=0,2=GC

8、OS2+2Sinxcosx+即X=2*7-(4Z)时J(X)的最小值为【解法5】f(x)=2sinX+sin2x,/.f(x)=2cosx+2cos2x=4cos2x2cosx-2=4cosx(cos+1)由/(x).0得osx1,即22万一军领k2k+-,keZ.由f(x)0得一1,cos;,-2332JTJTJT2k+-k2攵/T+乃或2左乃一超*2%-q,AZ.当二2左万一5(&2)时/3)取得最小值.(x)Jmun=/(2攵兀-yj=2sin2k-yj+sin2(22乃一=./(x)的最小值为-手.解法6,f(x)=2s1nx+sIn2x=2sinx(1+cosx).(x)2=4sin

9、2x(1+cosx)2=4(I-CoSX)(I+cosx),设CoSX=f,则y=4(1-r)(1+z)3(-111).y=4-(1+/)3+3(1T)(I+r)2=4(1+O2(2-4,).当Tvf0;当1fv1时,y0.22.函数)，=4(1-，)(1+似-剧1)在W)上单调递增,在惇1)上单调递减.127?7当=Q时，ax=彳；当，=1时，ynin=。,二脸即啖(x)f弓一手颈(幻手J()的最小值为一手(2)【解法1】(利用三角函数的有界性),，=生化简得sin”mx=4-3y.3-cosxSin(X-)=走号,由正弦函数的有界性知J亍号.解得经历，故函数的最大值为区.4【解法2(数形结

10、合)观察函数y=土的外形结构,可以联想到斜率的表达式，即可看作定点3-cos,P(3,4)与动点(COSa,siw)(0a=0!的最大值为生巡.44y-13-COSx42tun1-tan.【解法4】(万能置换,判别式法),sinx=2_,cos=2.将其代入y=ZX1,化简得1+tan21+tan2,3-cos22(2y-2)tan2tan+y-2=0.tan2eR,当2y-2w0时,由A.0得到纥西效卜史逅.244故函数y=上皿的最大值为处通.3-COSX4【解法5】(运用柯西不等式),j=4smx,整理得COSX-sinx=3y-4.3-COSX利用柯西不等式得到(3y-4尸=(ycosX-sinx)2,(cos2x+sin2x)y2+(-I)2Jz化简得(3)，-4)2,/+,解得生/邠6+/644故函数y=上电丝的最大值为空区.3cosX4(3)【解法1】(代数法)去分