第09讲 任凭题型千般变 一招化解用导数.docx

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1、第09讲任凭题型千般变，一招化解用导数典型例题【例1】设函数/(x)=In(I+x),g(x)=十(x),x20,其中广(乃是/(x)的导函数，(1)令g(X)=g(x),gt1+1*)=g(g“(幻),N,求g*)的表达式；若/(x)20g*)恒成立,求实数。的取值范围；(3)设wN*,比较g(D+g+gS)与一/()的大小,并加以证明.例2已知函数/(x)=x-1-1nx.(1)若/(x)0,求CF的值；(2)设m为整数，且对于任意正整数，(1+1)1+1+(ITj1时,对XW(OM-1有(K)VO,以幻在(OM-1上单调递减，Sa-1)1时,存在xO,使叭好0时0.式可化为a(I+-+二

2、1 +xX,八/、(1+x)In(1+x)/./、“、X-In(I+x)设(x)=UO)z则a9(x)min，/(%)=O，XXT令(X)=X-In(1+X)(X0),则x)与hxJ号.Yh,(x)=O,/.函数力(x)在(O,oo)上为增函数.1+x：.h(x)A(O)=O,.*(x)0函数夕(X)在(0,+qo)上为增函数.1. /(1+x)1n(1+x)(1+x)1n(1+x)z1n(1+x)+1.m(x)=Iim=Iim=Iim=1(洛必达法x0x0Xx0,x01则)，.此时aW1Y式对元O恒成立,团将(i)和(ii)所求。的范围求交集即可.团实数。的取值范围是(,1(1Y解法3In(

3、X+1)2在X2O时恒成立,即(X+1)In(X+1)-分2O恒成立.x+1设力(X)=(X+1)In(X+1)-0v,(x)=1n(x+1)+1-。.若W1,当X(0,+8)时,“(X)O,函数(X)在(0,+8)上是增函数，*)(0)=0,0+1)In*+1)-翻2O成立.若1,存在X(0,+oo)使In(X+1)+1=0,即XO=ert1-1.当XW(O,Xo)时,(x)O,函数A(x)在(O,a)上是减函数,又A(O)=O,当X(0,/)时,h(x)n-1n(n+1).证明如下：【解法1】上述不等式等价于白+,+,x0.1+xa1/_*r1.1令X=一(N),WJIn.nv,n+1n下

4、面用数学归纳法证明.(vi)当=1时,一1n2,结论成立.2(ii)假设当=%时结论成立,即,+1n(Z:+1).23&+1那么,当=a+i时,+!+231n(A+1)+k+21n(A:+1)+1n=In(A+2).即结论成立.k+由(i)和(ii)可知,结论对nN*成立.【解法2】上述不等式等价于,+1+!,xO,令X=，(N),则.1+xnv,nn+W2-1n1,In3-1n2,，1n(w+1)-1n7，23/7+1上述各式相加可得1n(+1)1+1+.结论得证.23+1【解法3】上述不等式等价于1n(+1)-(二+；+HO.+(23n+J设k(n)=1n(n+!)-+-+(23*.*kn

5、+1)-k(n)=In+2!,构造函数h(x)=Inx-n+1n+2X2O(仅X=1时等号成立)得h(x)在1,+)上单调递增且(1)=O.令X=上工,则有Inn+1n+1/1+20,即kn+1).I24又&=In2=In-=In./-0,故攵()02eVe即1n(+1)f+40对N*成立.【解法4】（利用逐项比较法证明）12g+g(2)+g(n)=-+-+(3n-f(n)=n-1n(z+I)=-1n12-1+n+1(34-In2+1n-+1n-+1nI23需要比较一与InW的大小.21n在中取1=1,则有1n(1+x)上,令X=1得In四一.x+1nn+1故g(D+g(2)+g()-/()【

6、解法5】上述不等式等价于1n(+1)+-1)0.(23n+)设4=1n(n1)-+-1+1则,=皿+2)-；+；+*+*,z.z1,n+24+-an=】n(+2)-1n(w+1)=In-n+2n-在中取=1,则有1n(1+x)(x0).4,x=-(wN*),则有In,.Jn+2_!/nn+1n+2I1n+2n+2即an11故数列j为单调递增数列可4=1n2-I=In2-1n0,即In(12)IJ4,i-1(+1).v723H+1即g+g(2)+g()=-(w).【解法6】由题设知g+g(2)+n-f(n)=/1-1n(w+1).问题转化为比较白+2+.+/_与1n(+1).23/2+1我们猜想

7、工+2+-n-f(n).23/7+1先将不等式左边看成数列凡的前项和，则4=再将右边看成数列也的前项和，S”=In(+1).当t2时，2=S”-S,I=In(+I)-In.当=1时，Z1=S1=1n2,适合式.因此，bn=1n(n+1)-1n=In-(N*),nv,)0).则ckht,-(x0).由数列的前0项和公式得,+2+n-f(n).【例2】已知函数/(x)=x-1-1nx.若;(x)0,求O的值；(2)设m为整数，且对于任意正整数，(1+；)(1+最)(1+另(1+5卜，求m的最小值.【解析】(1)【解法1】/W的定义域为(0,+8).当0时，.3=-g+1n2vO,不满足题意；当。0

8、时，由尸(X)=I-Z=土工知，当x(0,。)时，f(x)0.(x)在(0,)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.故X=G是/W在(0,+8)上的唯一最小值点,由于加)=0,，当且仅当=时,/(x)0,故=1.【解法2】已知/W=X-I-Hnx,x0,则/(力=1=三,且HI)=0.XX当,0时/*)OJ(X)在(0,+8)上单调递增.当00时，若0x0,此时f(x)a,此时F(X)0,则力x)在+8)上单调递增.若。,/(M在g,1)上单调递增，当xg,1)时，M1,加)在(1,)上单调递减，当x(1,。)时,(1)=0,矛盾；若。=1,HM在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，JW项1)=0,满足题意.综上所述,0=1.综上所述，a=1.图9-3【解法3联想1nxx-1,可将不等式/(x)0转化为1(X-I)nx.a考察直线片1(X-I)与函数y=1nx.如图9-3所示可