第02讲 集合观点分析条件结构思想是核心.docx

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1、第02讲集合观点分析条件，结构思想是核心典型例题【例1】判断命题“若a.0,则x2+x-a=O有实根的逆否命题的真假.【解析】【解法1】原命题：若.0,则x2+x-a=O有实根,逆否命题:若x2+x-a=O无实根，则a0.判断如下,-x2x-tz=O无实根,=1+40.a0.若4x2+x-a=0无实根，则a0.方程x2+x-a=0的判别式A=4z+10,.方程x2+x-=0有实根.故原命题“若4.0,则x2+x-a=0有实根”为真.又;原命题与其逆否命题等价，”若.0,则x2+x-a=0有实根”的逆否命题为真命题.【解法3】命题P:2.0,命题q:x2+x-a=0有实根.p:A=aeRa.0,

2、q:B=aeR方程x2+x-a=0有实根=(xRIa.-即Aq8,若pt则q为真若p,则q的逆否命题“若-q,则p,为真.【例题2(1)己知=x1-,=xx2-2x+1-w2,m.若ftA是CRB的充分不必要条件,求实数m的取值范围.(2)求关于X的方程/+(22-1)工+公=0的两个实根均大于1的充要条件.【解析】(1)【解法1】%c/c6661-21一小m110x图2-11-1-i-3-x1?9o333一2张Ik10,.CrA=xx10f2x+1w轰。(x1)nT0/n0,.n-1m-trcm+._RB=xXV1-m或xm+.CrA是CrB的充分不必要条件，又m0f把不等式的解表示在数轴上

3、,如图2-1所示.m0,I-/W.2,解得01,10,W,%-10,u。,x2-10(x1-1)(x2-1)02,x1x2-(x,x2)+10(2k-)2-4k2.0k2+2k0解得-2,故所求的充要条件是k2【解法3】记f(x)=x2-(2k-)x+k2t所求充要条件为【例3】已知p3+qy=2,求证：p+q,2.【解析】【解法1】(反证法)假设p+q2,则p2-q,:.p3(2-q)i.p38-12g+6cf-q3:.p3=2,.,.+1O.-1)22=p3+q32.下面证逆否命题为真：2,且P?_pq+q2=P+(7202)4.p3+q3=(p+q)(p2_pg+q2)2(p2_pg+q

4、2)=2(p+q)2_3pq.2(P+/?-3(g)=g(p+q)22.p3+q32成立.逆否命题为真，利用逆否命题与原命题的等价性知，p2+3=2时，p+q,2成立.强化训练1.已知函数/(x)=0t+2(1).X+1(1)证明：函数f(x)在(一1,内)上为增函数;(2)用反证法证明方程/(x)=0没有负数根.2.已知集合A=r+1ur+4,r+910Az若存在正数4,使得对任意aeAf都有4A,则t的值是a参考答案1.证明.任取Xy,x2(-1,+)z不妨设xi0,*2f1,且aXOy:.ax2-a21=ax(ax2x-1)O又.x1+1O,x2+1O马-2_M_2=(工2-2)(%+1

5、)(%-2)(+1)=3(T1)0x21X1+1(x1+1)(j+1)(x1+1)(x2+1)故函数/(X)在(一1,+8)上为增函数(2)【解法1】假设存在0(-1)满足/()=0,即设方程/(x)=0有负根X0,则优。=矛盾.即1x02,与假设xo0故方程/(x)=0没有负数根.【解法2】假设存在0vO(0wT)满足/()=0z(I)若一1/。，则区二2-2,d1(与)一1与/()=0矛盾;X。+1(i)若x00,优。0,/./(%)0与f(xo)=O矛盾.Xo+1故方程/(x)=0没有负数根.2.【解法1】当r0时,若h+1,则r+4+9ztz+4+9,则-r+1a=t时，r+9；当a=

6、r9时，.,即=(r+9).a=t+时，./+4；当a=t+4时，r+1z即=(+1)(r+4).(+9)=(+1)(+4),解得t=1当r+10r+4时，若aj+1,贝IJr+1z若+4j+9,则.(f+1)=(r+4)(f+9),解得t=-3当z+90时，同理可知无解.综上，t的值为1或-3.【解法2】对任意4,把y=看成关于。的函数,y=在r+1和r+4+9上都是单调递减函数,eBt又A,.BA,f+9f+4D+t把人A看成解关于a的两个不等式组：瓒JZr+1和r+Jr+9aaa由y=4的函数图像可知,上述不等式组的解集也为B.a.对任意A,有aB,根据子集与推出关系,得AB.综上，有A=B,即存在正数4,使得1ur+4+9=,-1u-,-1成立，11j_t+9r+4J+1t_222J从而对应区间端点重合,于是有=r且-=t+it或=r且-=t+9tz+9r+4z+1r+4即=r(r+9)=(r+i)(r+4)或2=r(r+1)=(r4)(r+9),解得t的值为1或3.