概率与统计的综合运用.docx

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1、概率与统计的综合运用【命题规律】概率统计在高考中扮演着很重要的角色,概率统计解答题是新高考卷及多数省市高考数学必考内容，考查热点为古典概型、相互独立事件的概率、条件概率、超几何分布、二项分布、正态分布、统计图表与数字特征、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差的实际应用等.回顾近几年的高考试题，可以看出概率统计解答题，大多紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，注重知识的综合应用与实际应用，作为考查实践能力的重要载体，命题者要求考生会收集，整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，建立数学模型，再应用数学原理和数学工具解决实际问题.【核心考点目录】核心考点一：求概率及随

2、机变量的分布列与期望核心考点二：超几何分布与二项分布核心考点三：概率与其它知识的交汇问题核心考点四：期望与方差的实际应用核心考点五：正态分布核心考点六：统计图表核心考点七：回归分析核心考点八：独立性检验核心考点九：与体育比赛规则有关的概率问题核心考点十：决策型问题核心考点十一：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式【真题回归】1. （2023全国统考高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.求甲学校获得冠军的概率

3、；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.2. （2023全国统考高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图:(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间40,50),求此人患这种疾病的概率.(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确至Ij0

4、.0001).3. (2023全国统考高考真题)甲、乙两城之间的长途客车均由A和8两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？2n(ad-hc)2I：K=,(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K1k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.6354. （2023全国统考高考真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成

5、了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：mD,得到如下数据:样本号i12345678910总和根部横截面积Xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量力0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.910IOIO并计算得=0038,ZN=6158,EXB=O.2474.i=1i=1i=1（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.0

6、1）；1. ）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186n.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.（i-）（yi-y）附：相关系数厂=Gr”.Ti丽*1.377.5. （2023北京统考高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m以上（含9.5Om）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9

7、.25；乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；丙：9.85,9.65,9.20,9.16.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率：(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X的数学期望E(X);(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)6. (2023全国统考高考真题)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中

8、随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据:不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件”选到的人卫生习惯不够良好”，8表示事件“选到的人患有该疾病黄磊与缁今的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为RO证明.K=吗包也包.73P(A1B)P(AB),(H)利用该调查数据，给出P(A8),P(A豆)的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值.附心图E)P(K*k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【方法技巧与总结】(一)涉及的

9、概率知识层面主要考查随机变量的概率分布与数学期望，一定要根据有关概念，判断是等可能事件、互斥事件、相互独立事件还是独立重复试验，以便选择正确的计算方法，进行概率计算及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，也要掌握几种常见常考的概率分布模型：离散型有二项分布、超几何分布,连续型有正态分布.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，1、离散型随机变量的期望与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为XX1X2XiXnPP1P2PiPn称E(X)=NP1+.P?+4亿为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.称D(X)=(xr.-E(X)%为随机变量X的方差，它刻画了随机变量

10、X与其均值E(X)/=I的偏离程度，其算术平方根师T为随机变量X的标准差.(1)离散型随机变量的分布列的性质亿.0(i=1,2,)；1+P2+Ar=1(2)均值与方差的性质若y=izX+Z?,其中4,人为常数，则y也是随机变量，且E(aX+b)=aE(X)+b;D(aX+b)=a2D(X)(3)分布列的求法与排列、组合有关分布列的求法.由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列.与频率分布直方图有关分布列的求法.可由频率估计概率，再求出分布列.与互斥事件有关分布列的求法.弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列.与独立事件(或独立重复试验)有关分布列的求法.先弄清独立事件的关系

11、，求出各个概率，再列出分布列.(4)常见的离散型随机变量的概率分布模型二项分布；超儿何分布.2、常见的连续型概率分布模型正态分布.（二）概率分布与不同知识背景结合考查对实际问题的解决能力1、与数列结合的实际问题2、与函数导数结合的实际问题3、与分段函数求最值、解不等式结合的实际问题4、与统计结合的实际问题5、与其他背景结合的实际问题【核心考点】核心考点一：求概率及随机变量的分布列与期望【规律方法】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，

12、要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）【典型例题】例1.（2023.陕西宝鸡统考一模）甲、乙两个代表队各有3名选手参加对抗赛.比赛规定：甲队的1,2,3号选手与乙队的1,2,3号选手按编号顺序各比赛一场，某队连赢3场，则获胜，否则由甲队的1号对乙队的2号，甲队的2号对乙队的1号加赛两场，胜场多者最后获胜（每场比赛只有胜或负两种结果）.已知甲队的1号对乙队的1,2号选手的胜率分别是0.5,0.6,甲队的2号对乙队的1,2号选手的胜率都是0.5,甲队的3号对乙队的3号选手的胜率也是0.5,假设每场比赛结果相互独立.（1）求甲

13、队仅比赛3场获胜的概率；（2）已知每场比赛胜者可获得200个积分，求甲队队员获得的积分数之和X的分布列及期望.例2.（2023春云南昆明高三云南师大附中校考阶段练习）我校举办“学党史知识测试活动,每位教师3次测试机会，规定按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则3次测试都要参加.甲教师3次测试每次合格的概率组成一个公差为5的等差数列，他第一次O1Q测试合格的概率不超过;，且他直到第二次测试才合格的概率为S,乙教师3次测试每次z32测试合格的概率均为1,每位教师参加的每次测试是否合格相互独立.（I）求甲教师第一次参加测试就合格的概率尸；（2）设甲教师参加测试的次数为?，乙教师参加测试的

14、次数为小求4=，+的分布列.例3.（2023春.云南曲靖.高三校联考阶段练习）受新冠肺炎疫情的影响，某商场的销售额受到了不同程度的冲击，为刺激消费，该商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满300元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖的规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中：红色小球1个，白色小球3个，黄色小球6个，顾客从箱子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的3个球的颜色分成以下四种情况：A：1个红球2个白球；B：3个白球；C恰有1个黄球；D：至少两个黄球，若四种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖.（1）

15、写出顾客分别获一、二、三等奖时所对应的概率；（2）己知顾客摸出的第一个球是白球，求该顾客获得二等奖的概率；（3）若五名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立.记中奖的人数为X,求X的分布列和期望.核心考点二：超几何分布与二项分布【规律方法】超几何分布与二项分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决.一般地，在含有M件产品的N件产品中，任取件，其中恰有X件次品，则事件X=2发生的概率为P(X=6=C(A=0,1,2,m),其中7=minM,且CN展WMNm,M,NwN,称为超几何分布列.一般地，在次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为2，则P（X=Q=C：P1-