妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题.docx

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1、妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题【题型归纳目录】题型一：定值问题题型二：范围与最值问题题型三：求参问题以及其它问题【知识点梳理】(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：DC一2aBa+bf+a-bf=2(af+bf)证明：不妨设A8=4,AO=b则AC=a+，DBabAC2=AC2=(+b)2=同+2电+,DB=DB=a-b=H-2Z?+1/?|两式相加得：AC2+DB2=2W+W)=2(2+1ADpj(2)极化恒等式：上面两式相减，得：J(+b)2极化恒等式平行四边形模式：677=1ac12-db2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线

2、与“差对角线平方差的4三角形模式：2=2iDB2(M为BO的中点)AXNBMC【典型例题】题型一：定值问题例1.（2023全国高三专题练习）如图，在SABC中，。是BC的中点，E、尸是Ao上的两个三等分点，BACA=4,3Fb=-1，则BEC巨的值是（）ciD.例2.（2023全国高三专题练习）如图，在A8C中，。是BC边的中点，E,尸是线段A。的两个三等分点，若BAcA=7,BEeE=2,则MCr=（）C.1D.2例3.（2023全国高一假期作业）如图，在平行四边形ABCD中，A6=1,AO=2,点E,产,G,H分别是AB,BC,CDA。边上的中点，则EFFG+GHHE=AEB题型二：范围与

3、最值问题例4.（2023山东师范大学附中模拟预测）边长为1的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点尸为正方形四条边上的动点，当弦MV的长度最大时，PMPN的取值范围是例5.（2023湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCO中，E/是Co边上长为6的可移动的线段，4）=4,AB=3/,BC=12,则BEB尸的取值范围为例6.（2023陕西榆林三模（文）四边形ABCO为菱形，NBAC=30。，A8=6,尸是菱形ABC。所在平面的任意一点，则PAPC的最小值为.例7.（2023重庆八中模拟预测）JA8C中，AB=3f3C=4,AC=5,PQ为二A8C内切圆的一条直径，M为一ABC边上的动点

4、，则MPMQ的取值范围为（）A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9题型三：求参问题以及其它问题例8.（2023春江苏扬州高一期末）在一ABC中，AC=2BC=6,NACB为钝角，M,N是边48上的两个动点，且MN=2,若CMCN的最小值为3,则COSNAC8=.例9.（2023全国高三专题练习）在二ABe中，AC=2BC=4,NACB为钝角，M,N是边48上的两个动点，旦MN=1若CN的最小值为力则cosZAC8一例I。.（2。23全国高一）设三角形ABC,%是边钻上的一定点，满足神小5,且对于边AB上任一点P,恒有PBPCE乃/C,则三角形ABC形状为.【同步练习】一、单选题1. （202

5、3春江西高三校联考阶段练习）己知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则PA.PB的最小值为（）2. （2023秋浙江湖州高三安吉县高级中学校考期末）已知正方形ABC。的边长为2,MN是它的外接圆的一条弦，点夕为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PMPN的取值范围是（）A.-1,0B.,2C.12D.-1,13. （2023春四川广安高三校考开学考试）如图，在边长为4的等边1BC中，点E为中线8。的三等分点（靠近点3）,点尸为BC的中点，则/EEC=（）4. （2023贵州贵阳统考模拟预测）如图，在.,ABC中，AB=6,AC=3,BC=gBD=2DC,则

6、A8AO=（）A.18B.9C.12D.65. （2023广东高三校联考阶段练习）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的林泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如ACD）为等腰直角三角形，点O为四心，中间部分是正方形且边长为2,定点A,8所在位置如图所示，则A&AO的值为（）D.166.

7、 （2023秋辽宁葫芦岛高三葫芦岛第一高级中学校考期末）如图，在四边形ABCQ中,C=4,BAB。=12,E为AC中点.bE=2ED,求。4QC的值（）R7. （2023秋重庆南岸高三重庆市第H一中学校校考阶段练习）如图，在ABC中,NABC=60。，AB=3,BC=4,M是BC边上的中点，P是AAf上一点，且满足BP=BA+nBC,则8PAf=（）8. （2023浙江永嘉中学校联考模拟预测）已知ABC是边长为1的正三角形，bD=2OC,AB+AC=2AE则AEAO=（）333A.-B.-C.5D.1428（2023四川绵阳统考二模）如图，在边长为2的等边.ABC中，点E为中线8。的三等分点（

8、靠近点3）,点尸为BC的中点，则EC=（）二、填空题9. （2023春河北邢台高三邢台市第二中学校考阶段练习）如图，在梯形ABCQ中，ABUDC、JTAD=BC=;AB=2,ABC=-f七是BC的中点，W1DBAE=10. （2023秋河北石家庄高二统考期末）已知AB为圆Ua-I）2+产=1的直径，点尸为直线x-y+2=0上的任意一点，则PApA的最小值为.11. （2023全国模拟预测）己知在AABC中，NBAC=60。，点D为边BC的中点,Et尸分别为BD,OC的中点，若AD=1,则A8A尸+ACAE的最大值为.12. （2023浙江校联考模拟预测）在iABC中，E为边BC中点，若忸C=8

9、,A4CE的外接圆半径为3,则A82+AC2的最大值为.13. （2023全国高一专题练习）在平行四边形ABCO中，ZA=y,边4B、A。的长分别为14. （2023秋江苏苏州高二统考期末）己知圆。的直径A。上有两点8、C,且有IAB1=忸CI=ICq=2,MN为圆。的一条弦，则BMC7V的范围是.15. （2023秋天津静海高三静海一中校考期末）在等腰梯形ABC。中，已知ABDCA3=2,BC=1NABC=60。，动点E和尸分别在线段BC和O。上，且BE=4BC,DF=DC,则AEA尸的最大值为.Oa16. （2023秋天津南开高三统考阶段练习）已知平行四边形ABCO中，AB=2D=2,ND

10、AB=45,E是BC的中点，点P满足AP=2AE-AD，贝IJ1PD|=PE-PD=.17. （2023秋天津南开高三校考阶段练习）如图在&ABC中，ZABC=90,8C=8,B=12,尸为48中点，E为CF上一点.若CE=3,则4M=；若CE=4CF（021）,则4EB的最小值为.三、解答题18. （2023高一单元测试）在RfABC中，已知斜边8C=,若长为2a的线段PQ以点A为中点，求BP。的最大值.参考答案【典型例题】题型一：定值问题例1.（2023全国高三专题练习）如图，在JABC中，。是BC的中点，E、尸是AO上的两个三等分点，BACA=4，BFCF=-I,则BECE的值是（）73

11、A.4B.8C.-D.84【答案】C【解析】因为。是BC的中点，E,尸是AotI的两个三等分点，所以5户=BO+OF，CF=CD+DF=-BD+DF，BA=BD+DA=BD+3DFCA=CD+DA-BD+3DF所以B尸CF=(BO+DF)(-BZ)+DF)=DF2-Bd=-fBACA=(BD+3DF)(-BD+30F)=9DF2-BIf=4,2S213可得OF=、BD=，OO又因为BE=BD+DE=BD+2DF，CE=CD+DE=-BD+2DF/2.25137所以5ECE=(8O+2Oj(-3O+2OFj=4D产-BD=4-y=-,故选：C.例2.(2023全国高三专题练习)如图，在“8C中，

12、。是5C边的中点，E,尸是线段AO的两个三等分点，若8AC4=7,BECE=2,WJfiFCF=()【答案】B【解析】依题意，D是BC边的中点，E,是线段A。的两个三等分点，rm(1”一，1“4AD2-C236FIf-BC贝IJBAC4=-BC-AD-BC-AD=7,(2)2)44BECE=-BC-AD-BC-AD=-Aiy-BC2一=2,(23八23J944因此FO2=15。2=8，BFCF=BC-FDBC-FD=bDBC=4x8=-1.故选：B.例3.(2023全国高一假期作业)如图，在平行四边形ABCQ中，A8=1,AD=2,点E,G,分别是A8,BC,CD,A。边上的中点，则EFFG+

13、GHHE=AEB【答案】A【解析】取HF中点0,则斡2=所3=a2-0好2=1-(景=(,GHHE=GHGF=GC)-OH=1-2=,因此E/G+GE=；,选A.题型二：范围与最值问题例4.（2023山东师范大学附中模拟预测）边长为1的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点尸为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PMPN的取值范围是【解析】如卜图所示:设正方形ABa）的内切圆为圆0,当弦MM的长度最大时,MN为圆。的条直径，PMPN=（PO+OM）（POOM）=IPO一|OM=|Po一；，当P为正方形ABCO的某边的中点时，I。P1=4，IImin2当产与正方形48C。的顶点重合

14、时，|。P1=也，即Jop立，I1a22II2因此，PMPN=PO-e0,-.II4_4故答案为：。，；.4例5.（2023湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABa）中，E尸是Co边上长为6的可移动的线段，4）=4,=83,BC=12,则3石.4户的取值范围为【答案】99,148【解析】在BC上取一点G,使得BG=4,取E/的中点P,连接。G,BP,如图所示：则。G=8J,GC=S,CD=J82+(83)2=16,tanNBCD=晅=5即NBCO=608BEBF=+BF)2-(BE-BF)2=2BP)?-FE：=BP2-9f当BPJ_CD时，网取得最小值,此时网=12xsin60=6J,所以(8E8产)=(6石一9二99.当产与。重合时，CP=I3,BC=12,则网*=122+132-21213=157,当E与C重合时，CP=3,BC=12,则2=122+32-2123=117,所以(8E8F)a=157-9=148,即底取的取值范围为99,148.故答