均值不等式的“十一大方法与八大应用”.docx

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1、均值不等式的“十一大方法与八大应用”目录一重难点题型方法1方法一：“定和”与“拼凑定和”1方法二：“定积”与“拼凑定积”2方法三：“和积化归”3方法四：“化1”与“拼凑化1”4方法五：“不等式链”5方法六：“复杂分式构造”5方法七：“换元法”6方法八：“消元法”7方法九：“平方法”7方法十：“连续均值”8方法十一：“三元均值”8应用一：在常用逻辑用语中的应用9应用二：在函数中的应用9应用三：在解三角形中的应用10应用四：在平面向量中的应用10应用五：在数列中的应用10应用六：在立体儿何中的应用11应用七：在直线与圆中的应用11应用八：在圆锥曲线中的应用12二针对性巩固练习12重难点题型方法方法

2、一：“定和”与“拼凑定和”【典例分析】典例1.（2023陕西省神木中学高二阶段练习）若x0,y0,且2x+3）,=6,则孙最大值为（）3A.9B.6C.3D.-2典例12（2023湖南雅礼中学高三阶段练习）已知0,y0,且+y=7,则（i+）（2+y）的最大值为（）A.36B.25C.16D.9【方法技巧总结】1公式：若。力R,贝!M+S2而（当且仅当=时取“二”）推论：（D若R,贝UM+/24ba+-2（a0）（3）-+-2（/?0）aab2.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”（1） “一正”就是各项必须为正数；（2） “二定”就是要求和的最小值，必须把构

3、成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3） “三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.3.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。与函数有关的题型还会用到配系数法。【变式训练】1. （2023上海高三学业考试）已知x1,y1且1gx+1gy=4,那么Igmgy的最大值是（）A.2B.IC.-D.442. （2023全国高三专题练习）已知Oc-3,则鹏曳的最小值为（）A.2B.

4、4C.5D.6【方法技巧总结】1.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。与函数有关的题型还会用到正负变法、添项法、拆项法等。【变式训练】1. （2023广东惠州市华罗庚中学高一阶段练习）己知函数x）=且/（a）=/,则。+6的取值范围为（）A.（2,+oo）B.2,-z）C.10,-x）D.（10,）42. （2023湖北高一期中）函数/（x）=-7+Mx0,y0,且x+y+q=3,若不等式x+y川-m恒成立，则实数7的取值范围为（）A.-2W1B.-12C.m-2或w/D.z1或/m2【方法技巧总结】1.技巧：根据和与积的关系等式，结合均

5、值不等式可以求出积或和的最值，这样的方法叫做“和积化归”。【变式训练】1.（2023山西师范大学实验中学高二阶段练习）已知正数m满足。+劭+2H=6,则。+4力的最小值为（）方法四：“化1”与“拼凑化1”【典例分析】14典例4-1.（2023河北衡水市第二中学高一期中）若两个正实数苍，满足-+=1,y且不等式有解,则实轲的取值范围为（）121典例4-2.（2023江西宜春高二阶段练习（理）已知。均为正数，且一一十三二：,a+1b-22则2+匕的最小值为（）A.8B.16C.24D.32【方法技巧总结】1 .技巧：化1法流程为：条件化1,与问题相乘，将乘积式展开为四项，其中两个含参，另外两个为常

6、数，对其适用均值定理推论进行求最值。2 .注意：要先观察条件与问题的形式，需满足条件与问题分别为（或可整理为）两个含单参数的单项式相加的形式，且这四个单项式有两个参数在分母，另外两个参数在分子。【变式训练】1. （2023广东广州市第九十七中学高一阶段练习）已知正数4,b满足圾X师=3,则加+劝的最小值为（）A.10B.12C.18D.242. （2023.四川外国语大学附属外国语学校高一期中）设正实数羽），满是3x+=246则f+Tt的最小值为（）Xa1y1方法五：“不等式链”【典例分析】典例5.（2023.全国高三专题练习（文）若x0,yO且x+y=2,则下列结论中正确的是（）A.f+）F

7、的最小值是1B.邛的最大值是:/421C.二7的最小值是4D.五+6的最大值是2【方法技巧总结】1 .公式：誓（力R）1C1b2 .技巧：上式由左至右分别为调和平均数、几何平均数、代数平均数、平方平均数。另外，不等式链可进行平方，会得到一个新的不等式链也可直接适用，注意此时a,beRo【变式训练】1.（2023广东博罗县东江广雅学校有限公司高一阶段练习）若后+从=2,下列结论错误的是（）A.浦的最大值为1B.必的最小值为-1C.+b的最大值为2D.（+与疝的最大值为2方法六：“复杂分式构造”【典例分析】典例6.（2023江苏歌风中学高一阶段练习）设正实数x,Xz满足2.3,+4y2.z=（）,

8、则当应取得最大值时，2+-2的最大值为（）zxyz9A.9B.1C.D.3【方法技巧总结】1技巧:把分式化为齐次式，可通过拼凑和同除的方法进行构造出均值定理的形式再进行求解最值。2.注意：要观察取等条件，看是否满足定义区间。【变式训练】1 .（2023.河北张家口.高二期末）函数力=的最大值是（）方法七：“换元法”【典例分析】典例7.（2023江西南昌二中高三阶段练习（理）已知正数X,3满足381EV+际不，则孙的最小值是（）【方法技巧总结】1方法：代数换元、三角换元。2 .技巧：代数换元：先对等式进行拼凑补形，再进行换元，结合函数以及导数确定单调性进而求解最值。三角换元：结合三角函数知识，将

9、已知多个变量转化为三角变量，进而化归为三角函数，结合三角函数最值求法来求解。【变式训练】1.（2023全国高三专题练习）设0,bOta2+b2-y3ab=,则TJa?-的最大值为（）A.3+B.23C.1+3D.2+3方法八：“消元法”【典例分析】典例8.（2023四川省眉山第一中学高一阶段练习）设人09+匕=1,则日的最小值为（）A.0B.IC.2D.4【方法技巧总结】1.技巧:对含有多元变量的函数求最值时通常要减少变量的个数，减少变量的个数方法有:代入消元，把其中一个变量用其它变量表示后代入消元;对齐次式可通过构造比值消元.【变式训练】1. （2023四川成都三模（理）若实数加，几满足;=

10、j2m-,则2AW+岛_2的最大值为（）.A.2B.3C.23D.4方法九：“平方法”【典例分析】典例9.（2016上海市七宝中学高一期中）已知”,y0,那么华近的最大值为y/x+yA.2B.2C.3D.5【方法技巧总结】1.技巧：当碰到含多个根号的形式或条件与问题次塞不统一时可以尝试对其平方,再进一步构造进而形成可用均值定理的形式。【变式训练】1.（2023江苏苏州高一期中）已知正实数4,。满足+b=1贝IJ+黑的最小值2a+2Z+1是（）方法十：“连续均值”【典例分析】典例10.（2023全国高三专题练习）若小儿C均为正实数，则竺”：的最大a+2b+c值为（）A.三B.-C.立D.在242

11、2【方法技巧总结】1.技巧：连续适用均值定理要注意不等号方向的统一，以及取等情况的合理性。【变式训练】1 4丫2丫21. （2023全国高三专题练习）设正实数x,y满足-y1,不等式+jm2y-2x-1恒成立，则用的最大值为（）A.8B.16C.22D.42方法十一：“三元均值”【典例分析】典例11.（2023河南关洲高二期末（文）已知X,y,zR+,且x+y+z=30,则1gx+1gy+1gz的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【方法技巧总结】1 .公式：段等上y西R,a,b,c都是正实数。【变式训练】1. （2023陕西咸阳市实验中学高二阶段练习（文）己知。也C都是正实数，且ab+bc+ac=,则的最大值是（）A.3B.3C.1D.393应用一：在常用逻辑用语中的应用【典例分析】典例12.（晓豫名校联盟2023届高三上学期第二次联考数学试题）是“sin，-sinx+10在（。上恒成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【变式训练】1. （2023.云南建水实验中学高一阶段练习）若存在M；,2,使得2片-/1%+1O,bO,且则丁二十