圆锥曲线练习题.docx

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1、圆锥曲线复习题1 .在平面直角坐标系XOy中，过X轴上一点尸作两条直线AIB1,AiBi,其中Ai,Bi,Ai,比均在抛物线：/=X上.已知AIB2,42囱分别经过X轴上的点S,T,试比较OSOT与OP2的大小，并说明理由.【分析】设P(X0,0),A1(XI,J1),B1(X2,2),A1(X3,3),B1(X4,4).设直线方程AIB1：X=左y+xo,AiBizX=左2y+x0,联立A1B1与的方程，根据韦达定理，有yy2=-XO.同理可得y3y4=-刈.然后求解S,利用向量的数量积求解推出结果即可.【解答】解：设P(X0,0),Ai(x,y),Bi(X2,2),Ai(X3,3),Bi(

2、X4,泗).设直线方程AiBi：X=左y+xo,A2B2：X=左2y+x0,其中匕，上为任意实数.联立AiBi与的方程，得y2-ky-xo=O,根据韦达定理，有J1J2=-X0.同理可得J3J4=-xo.因此，有直线方程4B2：y=_4(x-x1)+y1.JCXa代入y=0,得S(Xq1U1y4,0).同理可得S(X3：2,丫3,0).yyt)z2-3z3于是，笈加=汕工卫野=由仁班地工=%y2y3y4=302=y-y42-、3yi-y42一丫3九九八八,oOP2,即。SOT=OP2.【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.一X2y22 .如图，在平面

3、直角坐标系xy中，设点(X0,yo)是椭圆C：+=1上一点，从164原点O向圆：(X-X0)2+(y一yo)2=/作两条切线，分别与椭圆C交于点P,Q,直线Oa。的斜率分别记为左1,k.(1)若圆M与X轴相切于椭圆。的右焦点，求圆的方程；(2)若求证：kk=(3)在(2)的情况下，求QPOQ的最大值.【分析】(1)求出椭圆C的右焦点是(23,0),将X=-2旧，代入椭圆方程，求出y=1,可得圆的圆心，进而可得圆M的方程；(2)因为直线OPy=kx,OQ：y=k2x,与圆相切，推出匕，左2是方程(1+2)X2-(2xo+2yo)x+xo2+jo2-=O的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系推出

4、kkz.结1合点M(XO,yo)在椭圆C上，得出左次2=-4;(3)分直线OH00不落在坐标轴上和直线OH0。落在坐标轴上时两种情况，推出OP2+O2=20,即可求出QP1|0。|的最大值.一第2y2【解答】(1)解：椭圆。的右焦点是(23,0),将工=28，代入77+=1,可得y164=1,所以M(23,1)所以圆”的方程为(-23)2+(y1)2=1.(2)证明“因为直线OPy=kx,OQ：y=kvc,与圆H相切，所以直线OP：y=kx与圆M：(x-xo)2+(y-yo)2=上联立，可得(1+左_(2o+2ZIyo)224Cx+xo+yo1=O同理(1+fo2)%2-(2xo+2foyo)

5、x+xo2+yo2-=0,由判别式为。，可得依，上是方程(xo2-)F-2;WoZ+M.=o的两个不相等的实数根，24所以kk2=2-5因为点(X0，JO)在椭圆C上，所以州2=1一4_,一1所以kk=-7.zr(3)解：当直线OP0。不落在坐标轴上时，设P(x,y),Q(x2,”)，因为4hfo+1=0,所以y2y22=-xi2x22,因为P(X1,y),Q(X2,2)在椭圆。上，所以y/”2=(4-)(4-)=x2x2f整理得xi2+x22=16,所以yJ+y22=4所以OP2+O2=20.当直线Oa。落在坐标轴上时，显然有。产+o02=2o,综上：OP2+O2=20所以eP0Q2(OP2

6、+O2)=10,所以QPOQ的最大值为10.【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用，直线与圆相切关系的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题.汽2y23.已知抛物线Cy2=2px(jp0)的焦点尸和椭圆一+乙=1的右焦点重合.43(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)设P(1,2),是否存在平行于OP(。为坐标原点)的直线/,使得直线/与抛物线5C有公共点，且直线OP与/的距离等于T?若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由.【分析】(1)由椭圆的右焦点F(1,0),知:=1,p=2,由此能求出抛物线C的方程和其准线方程.假设存在符合题意的直线/，其方程为21+4由小得-2y+2

7、Q0,由(.y=2x+b直线/与抛物线有公共点，知4=4-8/7与0,由直线OP与/的距离d=知8=土1.由此能导出符合题意的直线/存在，其方程为y=2-1.【解答】解：(1),椭圆的右焦点打(1,0),P=1,0=2,.抛物线C的方程为=4x,其准线方程为X=-1.(2)假设存在符合题意的直线/,其方程为y=2x+A由得-2y+2方=。，iy=2x+b直线/与抛物线有公共点，1/.=4-80,即后,.直线OP与I的距离d=M.嘿=靠,即6=1从而b=-1.符合题意的直线/存在，其方程为y=2-1.【点评】本题考查直线和抛物线的性质和应用，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等

8、价转化./Z114.已知O为坐标原点，直线尸一号上一点0,动点尸满足：。尸，。，而市+丽户=1(1)求动点P的轨迹W的标准方程；(2)直线/：y=Z(x+1)(QO)与轨迹W相交于A,8两点，线段AB的中点为,射线OE交轨迹W于点G,交直线=-3于点D证明：QG12=OQQE.【分析】(1)根据题意，利用两点之间的距离公式即可求得动点P的轨迹W的标准方程；(2)将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得E点坐标，求得直线OE的方程,联立方程组,求得。和G点坐标，由羽=加，即可证明0G2=eDQE.【解答】解：(1)设P(x,y),Q(X0,-孚)由题知：22=1,乙0PIOQI11

9、所以F-+3-1，z+yzXq+-又因为O所以%Q-率=0,Yq=耍(X0)I1X2所以得+藐=1，整理得二+y2=1,x2+y23y1332=2十2r2所以轨迹W的方程为：-+y2=1(x0);(2)证明：由题意：设A(x,y),B(X2,y2),AB的中点为E(Xo,yo),D(-3,m),yk(x1)由2,整理得：(1+3好)2+6d%+32-3=0,(1y2=6Zr2由韦达定理得：X1+X2=-1+3即点E(一-些方，),1+31+3所以o=-3k21+3/c2JZqkx+/C=k1+3必因为oe=-白,所以射线OE：y=靠,;二产得y。=%即D(3,又因为y。Yek1+3/c2121+3公所以羽=V。好，即QG12=O0Q4【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题.