圆锥曲线复习题及答案.docx

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1、圆锥曲线复习题1 .已知双曲线C：今,=1(O,b0)的离心率为且该双曲线经过点尸(旧，孝).(1)求双曲线C的方程；(2)设斜率分别为匕，左2的两条直线/1,/2均经过点Q(2,1),且直线1,/2与双曲线。分别交于A,B两点(A,B异于点。)，若左1+左2=1,试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由.【分析】(1)由离心率及隐含条件可得。2=3射，/=2ZA得到双曲线方程为J7=2b2b21 .把点P的坐标代入求解江即可得到双曲线。的方程；(2)当直线AB的斜率不存在时，点A,3关于X轴对称，A(xo,yo),B(xo,-yo),由匕+左2=1,得XO=

2、0,不符合题意，故直线AB的斜率存在.不妨设直线AB的方程为y=kx+t,代入双曲线方程，化为关于X的一元二次方程，利用匕+左2=1及根与系数的关系可得或-1-2左.再把“弋入直线AB的方程，即可得到直线AB过定点.Cj6【解答】解：(1)由离心率为一=一，且c2=+72,得。2=3贬,a2=2b2,a2比2y2即双曲线方程为不二-=1.2b2b2B31又点尸,2)在双曲线C上，五一五I=1解得庐=1,/=2,r2双曲线C的方程为5-y2=1；(2)当直线AB的斜率不存在时，点A,3关于X轴对称，设A(X0,yo),B(X0,-yo)，则由匕+比=1,得y01+y01=1,Xq-2Xq-2即二

3、-=1,解得犹=0,不符合题意，故直线AB的斜率存在.与一2r2不妨设直线AB的方程为y=丘+%,代入万-y2=,整理得(22-1)x2+4to+22+2=0(22-10),0.设A(x,y),B(X2,2),贝Ux1+亚=4产，x1x2=2k-12k-1y-,y-，c%1+t-kx2+t-由k+k2=1,-+=1,即+=x2%2-2x2%2-2整理得(2左-1)X1X2+Qt-2+1)(xi+%2)-4%=0,9-2,19/1ktJ（2一）廿+（-2k+1）.（一瓷）-4t=0,整理得：?+（2左一2）11+2左=0,即（11）（什2左一1）=0,二%=1或=1-2k.当斤=1时，直线AB的

4、方程为y=fcv+1,经过定点（O,1）；当1-2左时，直线AB的方程为y=左（工-2）+1,经过定点。（2,1）,不符合题意.综上，直线AB过定点（0,1）.【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，考查运算求解能力，是中档题.Xyz32.如图，椭圆Ci：应+9=1（abO）的一个顶点为尸（0,-1）,离心率为q.,h是过点P且互相垂直的两条直线，其中，/1交圆C2：/+=4于A,B两点，/2交椭圆C1于另一点D（I）求椭圆Ci的方程；（II）求aABO面积取最大值时，直线Zi的方程.【分析】（I）利用椭圆的一个顶点求出b的值，由离心率

5、得到Q和c的关系，结合c2=/一房，求出，b,即可得到椭圆的标准方程；（II）由题意，设直线/1,/2的方程，利用点到直线的距离公式求出直线/1被圆X2+/=4所截的弦AB的长，联立直线/2与抛物线，得到韦达定理，利用弦长公式求出DP,然后求出AABD的面积，利用基本不等式求解最值，即可得到答案.【解答】:（I）因为椭圆的一个顶点为P（0,-1）,则8=1,又离心率为竺，则=，2a2结合。2=2_y,解得a=2,b=1,所以椭圆的方程是丁+y2=1；（II）因为直线且都过点尸（0,-1）,则设直线/1：y=fcr-1,即AX-厂1=0,直线/2：y=-rx-1x+ky+k=,故圆心（0,0）到

6、直线/1的距离为d=百I2所以直线Zi被圆x2+=4所截的弦B=24d=2+4k,J1+后%+cy+/C=O联立方程组=炉工2+4/+8c%=0,匕+y2=故IDP1=所以%。+Xp=(1+72)2=77k(c2+4)k+4-4+nJ4k2+n32+34c2+32+3当且仅当4H+3=I=k2=1k=乎时等号成立，2+3此时直线Zi的方程为y=乎%-1.【点评】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与圆的位置关系的运用，直线与椭圆位置关系的应用，弦长公式以及点到直线距离公式的运用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中

7、档题.久2y23.设P是椭圆Cf+77=1（。人0）上异于长轴顶点A1,42的任意一点，过尸作Cazbz1的切线与分别过4,A2的切线交于5,比两点.已知IA1A2|=4,椭圆。的离心率为1（1）求椭圆C的方程；(2)以31瓦为直径的圆是否过X轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点;如果不过定点，说明理由.1【分析】(1)由IA1A21=4,椭圆。的离心率为5,列方程组，解得4,b,C,进而可得答案.(2)设P(XO,yo),设过P的椭圆的切线为y=x+4联立直线与椭圆的方程，=0,得左与人之间的关系，求出B点坐标，再计算M1M2=0,解得答案.(1A2=2=4【解答】解：(1)由题可

8、知c1e=一=解得。=2,c=1,所以2=2+c2=3,X2V2所以。的方程为一+一=1.43(2)设P(xo,州)，由于P是异于长轴顶点Ai,A2的任意一点，故切线斜率存在.y=kx+b设过P的椭圆的切线为y=fcv+4联立方程/y2_,E+m=得(3+4F)x2+8+4fe2-12=0,=(8劭)2-4(3+4F)(42-12)=0,由于分别过Ai,A2的切线分别为=-2,%=2,解得Bi,比的坐标为B1(-2,竺也)，B2(2,史浊)，2y02y0一11-t6+3x0T6-3x0在X轴上取点0),则MB1=(-2-),MB2=(-2+%,2y02y0所以MM2=t2-4+3622=t21，当=1时，MB1MB2=0,所以，以B132为直径的圆过X轴上的定点为为(-1,0),F2(1,0).【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力,属于中档题.第5页共5页