圆锥曲线复习题.docx

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1、圆锥曲线复习题1.已知动点P在X轴及其上方，且点P到点尸(O,1)的距离比到X轴的距离大1.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)若点。是直线y=x-4上任意一点，过点。作点P的轨迹。的两切线QA、QB,其中A、B为切点，试证明直线AB恒过一定点，并求出该点的坐标.【分析】(1)设点P(,y),则IP尸I=IyI+1,通过J%2+一1产=切+1,化简求解即可.(2)对函数y=,/求导数y=2%.求出切线方程，设点Q(r-4),通过切线经过AAAA点Q,推出C-4=一4就，设%)/B(X2,4媛)，则XI，X2是方程2一2比+由-16=0的两个实数根，利用韦达定理，求解AB中点坐标，转化推出直线系方

2、程，得到定点坐标.【解答】解：(1)设点P(,y),则IPn=IyI+1,即尸，6=廿=Iy1+1，化简得f=2y+2y,Vy0,.x2=4y.点P的轨迹方程为=4y.(4分)(2)对函数y=,%2,求导数y=2%.11设切点(%0，评),则过该切点的切线的斜率为5%0，二切线方程为y_/福=0()即y=.o%，就,11设点。(%,%-4),由于切线经过点。，-4=2%ot-就，即Xq2tx0+4t-16=0,设融)，B(X2,%)，则XI，X2是方程/-2比+由-16=0的两个实数根，.*.x+x2=2t,X1X2=4%-16,(8分)设M为AB中点，.xm=I；，-t.I11111*7m=

3、2Q蛭+4%分=:(%1+%2)22工1%2=g4t2-2(4t-16)=-t2-t+4,J点M(t，t2-t+4),又.Jcab=%詈=二詈二5乙一人2a乙1/-直线AB的方程为y(2/t+4)=(%t),即(x-2)+8-2y=0,(*)J当x=2,y=4时，方程(*)恒成立.对任意实数/,直线跖恒过定点（2,4）.（12分）【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线系方程的应用，考查学生分析问题解决问题的数学素养，是难题.2.设椭圆C：长轴的左，右顶点分别为A,B.（1）若P、。是椭圆上关于X轴对称的两点，直线AP,5。的斜率分别为内，k2（kk20）,求心|

4、+|初的最小值;（2）已知过点。（0,-3）的直线/交椭圆。于V、N两个不同的点，直线AAN分别交y轴于点S、T,记DS=4。，DT=DO（0为坐标原点），当直线1的倾斜角为锐角时，求入+的取值范围.【分析】（1）设点P（Xo,yo）,由椭圆的对称性可知点。（X0,-yo）,不妨令yoO,利（2）设点N的坐标，设直线/的方程，与椭圆的方程联立，通过40求出左的范围，表示出直线AM和AN的方程，求出点S和点T的坐标，利用向量的坐标表示，求出入+,结合韦达定理进行化简，由左的范围即可得到答案.【解答】解：（1）设点P（X,州），由椭圆的对称性可知点。（xo,-yo）,不妨令yoO,由题意可知A(-

5、3,0),B(3,0),所以七二JfeB=*，由题意可知，-3VXo3,所以|知+|依=3+3=96?2,3十%03XqV-Xq由点P在椭圆上，则弓-+号-=1,则9一无。2=誓，一1所以I划+|初=比，因为00),ry=kx3联立方程组%2v2,可得(5+9F)X2一54fcc+36=0,+=1从而=(54%)2-436(5+9Q)0,又上0,解得上|,所以+X2=5产，%2=苧,9c+59k+5又直线AM的方程是y=-(%+3),令=0,解得y=,所以点S为(0,-);十5x1+3直线AN的方程是y=焉(+3),同理点T为(0,煞)，所以Z=(0,+3),亦=(0,),DO=(0,3),因

6、为t己。S=2D。，DT=DOf所以言+3=3%券+3=34,所以入坪=於+*+2_cx1-3kx2-3%+3十%2+3十乙_2七2+3(-1)(%1+%2)-18%1%2+3(%1+%2)+9丁乙1011n=FX中+2,74因为ZW，所以入+(g,2),综上所述，所以入+U的范围是G，2).【点评】本题考查了椭圆标准方程的的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时,一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题.3.已知点A,B在直线/：y=x+2上(8在A上方)，P(2,O),AB=2,斜率为总的直线AP交抛物线：/=4%于点N,直线BP交于点R,S

7、.(I)求匕的取值范围；(II)若02),R(X3,3),S(X4,)4),由面积之间的关系，推出S4MPRSbRMNSbSPN7WKmpr-SbSPN=RMNyy2y、2(y1-y2)丫1丫2(1+3)Samon，记H，S到直线AP的距离分别为由44,即可得S尸5ks尸N=-d3d4,用点到直线的距离公式可得点H,S到直线AP的距离曲，d4,分别联立直线AP,BP与抛物线的方程，结合韦达定理可得y+y2,y1y2,*+泗，”必代入Sampr9Saspn,再结合基本不等式，即可得出答案.【解答】解：(I)由题意可设AP：y=k(%-2),由于AP与抛物线，直线均有交点，故匕1,h0,联立直线,

8、与直线曾得至二:V幻,得AM),3c1+1ZC115fc1-1k1-1而MB1=2,得至J5/I)+,坐2_+1)c1-1Zc1-ISk1-I徨“_kT_5cI-I付用2-3匕+1_2_瓦针由于BP与抛物线，直线均有交点，故5七一111+35七一111+3111,11综上，k1(-,O)U(O,W)U1)U(1,+).(II)设(x,y),N(X2,2),R(x3,”)，S(X4,声)，贝USAMpr=2SXRMNSbSPN二=SAMoN，)z1Jz2Jz1-3z2,y1y2故SMPRSbSPN=2SARMNSbMoN，(巧一段)记R,S到直线AP的距离分别为由，d4,则SAMPRSASPN=

9、，力巧IMf2d3.Cf4=rd3Cf4,(力-、2)设AP：X=Tmy+2,其中Tn1=1(5,+8)，与抛物线联立得y2-4my-8=0,由韦达定理得患7=4T(%、2=-8同理设BPX=M2y+2,由韦达定理得p3+y4=47n,皿、4二-822故SAMPRSASPN=2(1+mD-S3鳖7-4+21=2(嗡1一空+y4)-4m2y3y4+(m-斓+光)=16(m1m2)2J由(1)可知，Tn?=故SiS2=16(m1+喘怨y=16On1-5+瓶：:5+8)24096当且仅当3=9,即七=应取等号，故S尸p&spn的取值范围是4096,+8).【点评】本题考查直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.