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1、圆锥曲线复习题11.已知点M与两定点(1,O),F(4,0)的距离的比为(1)求点的轨迹方程;(2)设点的轨迹为曲线,若经过点。(-2,3)的直线/与曲线有且只有一个公共点,求直线/的方程.(3)若曲线与X轴相交于A、B两点,点P是曲线上不同于A、B的任意一点,直线朋、PB分别交直线x=6于M、N点.当点尸变化时,以MN为直径的圆。是否经过曲线P内的一定点?请证明你的结论.【分析】(1)设的坐标,由题意可得的横纵坐标的关系,整理可得的轨迹方程;(2)过。的直线与曲线相切时,分切线的斜率存在和不存在两种情况,当直线的斜率不存在时显然满足条件,当直线的斜率存在时,设直线的方程,求出圆心到直线的距离
2、,由题意可得参数的值,进而可得切线的方程;(3)曲线的方程中,令y=0,可得横坐标的值,即可得A,B的坐标,设P的坐标,由P在圆上,可得横纵坐标的关系,求出直线朋,PB的方程,与x=6联立,求出”,N的坐标,求出以MN为直径的圆的方程,由P关于X轴的对称性可得定点必在%轴上,令y=0可得X的值,进而可证得结论.【解答】解:(1)设M(x,y),由题意可得,?士马-(x-4)2+y22整理可得:/+J=%即M的轨迹方程为:x2+y2=4;(2)由题意知/是圆/+/=4的切线,(力当切线的斜率不存在时,X=-2满足方程;(方)当/的斜率存在时,设直线/的方程为:y=k(x+2)+3,BPfcc-y
3、+2H3=0,所以圆心到直线I的距离d=华型W由题意可得2=毕堂,解得:左=一J,J1+必所以切线/的方程为:尸一条(X+2)+3,BP5x+12y-26=0,所以圆的切线方程为:=-2或5x+12厂26=0;(3)证明:在J+/=%中,令=0,可得A(-2,0),B(2,0),设P(Xo,yo),则Xo2+州2=4,(y0Q),所以外尸款G+2)PB:尸患(、一2),令X=6,得M(6,N(6,Xq2Xq-2所以圆C为:(-6)2+y-化简可得:x2+y2-12x+36-(圾+)2=2Xq2Xq-2Xq2Xq-2(8y02y032j八(+)yH-y=0,x0+2X0-22-4因为,2+E=%
4、所以普=一1,所以可得f+y2-12+4-(8y0+2y0)y=0,Xq+2Xq2由动点P(,y)关于X轴的对称性可得,定点必在X轴上,令y=0,可得x=64,又(6-42,0)在曲线内,所以可证得:当点P变化时,以MN为直径的圆C经过曲线内一定点(6-42,0).【点评】本题考查求轨迹方程直线与圆的综合,圆恒过定点的证明方法,属于中档题.2.已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在X轴,长轴长为2次,离心率为(1)求椭圆C的方程;(2)经过椭圆的左焦点尸1作直线/,且直线/交椭圆C于P,。两点,问X轴上是否存在一点使得MPMQ为常数,若存在,求出”坐标及该常数,若不存在,说明理由.【分析】(1)利
5、用待定系数法设出椭圆的标准方程,由椭圆的几何性质,列出方程组,求出mc的值,再利用。,A,c的关系求出A,即可得到答案;(2)当直线/与X轴不垂直时,设出直线方程,然后与椭圆方程联立,得到韦达定理,然后利用数量积的坐标表示结合韦达定理化简MPMQ,利用它是常数,求出万的值,得到M坐标及该常数;当直线I与%轴垂直时,求出P,Q的坐标,求出t的值以及常数.结合以上两种情况,即可确定答案._XV【解答】解:设椭圆C的标准方程玲+9=1(b0),由题意可得,所以b2=a2-c2=2,、X2V2故椭圆c的方程为=+二=1;32(2)由(1)可知,Fi(-1,0),假设在X轴上存在一点M60),使得M恒为
6、常数.当直线/与X轴不垂直时,设其方程为y=左(X+1),设P(x,y),Q(X2,y2),y=k(x+1)联立方程组%2y2_,可得(2+32)x2+62x+32-6=0,2二1所以+2=-k23c2-6n%2=7,2+32+3-)故MPMQ=(x1-t)(x2-t)+y,2=(%-t)(%2-t)+fe2(+1)(%2+1)=(c2+1)x1x2+(fe2t)(%+X2)+fc2+t2则有4t+=0,即t=全T此时MPMQ=-当直线/与X轴垂直时,此时点P、。的坐标分别为(-1,竽),(-1,-竽)411当=一郭寸,亦有“PMQ=一苫.综上所述,在X轴上有在定点M(-设0),使得M%M为常
7、数,这个常数为-S【点评】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用,在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时,一般会联立直线与圆锥曲线的方程,利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究,属于中档题.3.在平面直角坐标系Xoy中:已知点A(3,0),直线/.,=竽,动点P满足到点A的距离与到直线/的距离之T21已知点S,T分别在X轴,y轴上运动,且IST1=3,动点P满。P=0S+(。7;已知圆C的方程为x2+=4,直线/为圆C的切线,记点4(百,0),B(-3,0)到直线/的距离分别为力,d2,动点P满足B4=d,PB=.(I)在,这三个条件中任选一个,求动点P的轨迹方程;(II)记(
8、I)中动点P的轨迹为,经过点O(1,0)的直线/交E于W,N两点,若线段MN的垂直平分线与y轴相交于点。,求点Q纵坐标的取值范围.【分析】(1)分别由条件列出4,y关系式,化简即可得轨迹方程;(2)设。(0,州),当/斜率不存在时,yo=O,当1斜率存在时,设直线/的方程为y=k(X-I)(0),M(x,y),N(x2,2),联立直线/与椭圆方程,由根与系数的关系得,x+%2=*j,进而得到线段MN中点(羽,”),则X3,”,线段MN的+4r垂直平分线的方程,令X=O,得yo=3=Y7,再求出范围.1+4r+4c【解答】解:(1)若选,设P(x,y),根据题意,所以动点P的轨迹方程为T+/=1
9、;4J(x-3)2+y2g当vz,,整理得一+41,若选,设P(x,y),S(/,0),T(0,y)则J(%)2+(y)2=3(*).因为。尸2-32-31-3-%yG1-3,_3整理得F,yr=3y22代入(*)得二+y=1,所以动点P的轨迹方程为+y2=1;若选,设尸(x,y),设直线/与圆相切于点则B4+P5=d+d2=2O刊=425=AB,由椭圆定义知点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,所以2=4,2c=AB=23,故=2,C=3,b=1,所以动点P的轨迹方程为了+y=1;4(2)设。(0,yo),当/斜率不存在时,yo=O,当/斜率存在时,设直线F的方程为y=左(-1)(0),M(%,y),N(X2,”),y=k(x1)由79,消去y整理得(1+4Q)/-8+4(2-1)=0(不+y=1一、8A:20恒成立,XI+X2=2,1+42设线段MN中点(X3,3),贝IJX3=%W%2=4y3=k(%3-1)=幺”,21+4/1+4/2设线段MN的垂直平分线的方程为y+=-(%-工刀),1+4k1+411Q当左0时,-+4-4,当且仅当左=W取等号,所以WyoVO,112当左0时,-+44,当且仅当左=押等号,所以Oyo,Q3综上,。的纵坐标的取值范围是-本-.zr4【点评】本题考查轨迹方程及直线与椭圆的综合,基本不等式的应用,考查转化思想与运算求解能力,属于中档题.