周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用.docx
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1、周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用【命题规律】从近五年的高考情况来看,本节是高考的一个重点,函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容,重点关注单调性、奇偶性结合在一起,与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查,解题时要充分运用转化思想和数形结合思想.【核心考点目录】核心考点一:函数单调性的综合应用核心考点二:函数的奇偶性的综合应用核心考点三:已知/)=奇函数+M核心考点四:利用轴对称解决函数问题核心考点五:利用中心对称解决函数问题核心考点六:利用周期性和对称性解决函数问题核心考点七:类周期函数核心考点八:抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性核心考点九:函数性质的综合【真题回归】
2、1. (2023全国统考高考真题)已知函数/O)的定义域为凡且22f+y)+f(-y)=(y)(D=1,则/(%)=()*=!4.-3B.-2C.0D.I2. (2023全国统考高考真题)已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,且/(x)+(2-X)=5,8(x)-/(x-4)=7.若y=g*)的图像关于直线x=2对称,g(2)=4,则()=0且/(x)为增函数,则函数Jf(X)为增函数,为减函数;/(x)若/(x)O且/(%)为减函数,则函数为减函数,一为增函数.2、奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数/)是偶函数=函数/Cr)的图
3、象关于y轴对称;函数/)是奇函数。函数/*)的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数y=(x)在x=O处有意义,则有/(0)=0;偶函数y=f(x)必满足/U)=/(IX|).(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反;奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数/(x)的定义域关于原点对称,则函数/(%)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记g()=g()+/(f),MX)=g()-/(一x),则/()=g()+A(X).(6)运算函数的奇偶性规律:运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数,如/(x)+g(x),(x)-g
4、(x),(x)xg(x),(x)g(x).对于运算函数有如下结论:奇土奇=奇;偶士偶=偶;奇偶=非奇非偶;奇x()奇二偶;奇x()偶=奇;偶x()偶=偶.(7)第合函数y=力以幻的奇偶性原来:内偶则偶,两奇为奇.(8)常见奇偶性函数模型奇函数:函数/(x)=m()(O)或函数fx)=m(-).函数/(制=一。函数/(x)=Iogrt史乌=Iogw(1+且-)或函数/(X)=Iogw%=Iogw(1-2-)x-mX-mx+nx+m函数fix)=1ogrt(7x2+1+)或函数f()=Iog(J(JX.注意:关于式,可以写成函数/(幻=+3-(工工0)或函数/()=m-21(meR).0A-Iax
5、+偶函数:函数f(%)=+尸).函数f(x)IOgz+1)-.函数f(x)类型的一切函数.常数函数3、周期性技巧函数式满足关系(xgR)周期f(x+T)=f(x)Tf(x+T)=-f(x)2T/(x+T)=(x+7,)=fWf()2Tf(x+T)=f(x-T)2Tfx+T)=-fx-T4Tf(a+x)=f(a-x)f(b+x)=f(b-x)2(b-a)f(a+x)=f(a-x)J(X)为偶函数2af(a+x)-f(a-x)f(b+x)=-f(b-x)2(b-a)Vf(a+x)=-f(a-x)/(幻为奇函数2af(a+x)=f(a-x)f(b+x)=-f(b-x)4S-a)f(a+x)=f(a-
6、x)J(X)为奇函数4f(a+x)=-fa-x)/(幻为偶函数44、函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数y=(x)有两条对称轴x=,x=b(ab),则函数f(x)是周期函数,且T=2(b-a);(2)若函数y=(x)的图象有两个对称中心(0,c),S,c)(b),则函数y=(x)是周期函数,且T=2g-a);(3)若函数y=f)有一条对称轴x=a和一个对称中心S,O)(b),则函数y=f(x)是周期函数,且T=4S-).5、对称性技巧(1)若函数y=(x)关于直线x=对称,则f(a+x)=(4-x).(2)若函数y=(x)关于点(,Z?)对称,则/(+x)+(4-x)=2h.(3)函数y=
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