专题3.6 定值计算并不难构建函数再消元（解析版）.docx

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1、专题6定值计算并不难，构建函数再消元【题型综述】在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值.【典例指引】例1.已知圆。：/+丫2=4与坐标轴交于4、4、耳、B2(如图).(1)点。是圆。上除4、4外的任意点(如图1),AQ、&。与直线y+3=0交于不同的两点M

2、,N,求MN的最小值；(2)点P是圆。上除A、4、4、与外的任意点(如图2),直线与尸交X轴于点尸，直线4层交A2P于点E.设A2尸的斜率为k,E/的斜率为2,求证：2加-2为定值.【思路引导】3(1)设出4Q,AQ的直线方程，联立直线y+3=0,分别得出M,N的坐标，表示出MN=3攵+4,k求其最值即可；(2)分别写出E,F的坐标，写出斜率加，即可证明2根-2为定值.试题解析：(1)由题设可以得到直线A1O的方程为y=k(x-2),直线AQ的方程为y=(+2)0k31由忙2),解得产2与J由1苦+2),解得广=3无;2.y+3=0V=-3y+3=0,=3所以，直线A2O与直线y+3=0的交点

3、此2-,-31，3直线4Q与直线3=0的交点N(3k-2j-3),所以MV=3Ar+y-4当左0时，MN=立+2-46-4=2,等号成立的条件是k=1.当左60)的离心率为业，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的a2b23圆与直线2天一血丁+6=0相切.求椭圆C的标准方程；已知点A、B为动直线y=k(x-2乂Aw()与椭圆C的两个交点，问：在X轴上是否存在定点E,使得EAEB为定值?若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由.【思路引导】(I)由e=g,以原点o为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x-J5y+6=0相切，求出a,b,由此能求出椭圆的方程.(II)由菅,与=1

4、,得(1+3k2)2i2k2+12k26=0,由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已y=k(x-2)7知条件能求出在X轴上存在点E,使E4EB为定值，定点为(一,().3试题解析：由考得洛,即C率以原点。为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2y2a2,此圆与直线2x-后丫一二0相切，.,.a=6代人得c=2,(4分)/.b2a2-c22,椭圆的方程为2+*二.(H)由62一，得d+3k2)X2-I2k2x+I2k2-6=O,(6分)y=k(-2)191f21912设A(x,y),B(X2,y2)，X1+X2=x1x2=钎1+3k2乙1+3根据题意，假设X轴上存在定点E(m,0),使得氤五为定

5、值，贝IJ有前而二(x-m,y)(x2-m,yz)=(x-m)(X2-m)+y1y2=(x1-n)(x2-m)+k2(xj-2)(x2-2)=(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x+x2)+(4k2+n2)191.21q1.2=(k2+1)(2k2+m)-(4k2+m2)1+3k21+3k2_(3z2-12m10)k：+(in?-6)3k2+1,要使上式为定值，即与k无关，则应有3r2-I2m+1=3(m2-6),即此时血而-6二为定值，定点为()学科*网393点评：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问一题涉及的几何式转化为代数式或三角问题

6、，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.V2v221例3.已知椭圆C：r+r=13b0）上的点到两个焦点的距离之和为一，短轴长为一，直线/与椭圆a-h32C交于M、N两点.（1）求.椭圆C的方程；.（2）若直线/与圆0:/+,2=J_相切，探究NMoN是否为定值，如果是定值，请求出该定值；如果不25是定值，请说明理由.【答案】（1）9x2+16y2=1（2）NMoN=I【思路引导】21（1）由已知得2。=,2力=一，由此能求出椭圆。的方程.32（2）当直线MNIX轴时，4M0N=%.当

7、直线MN与X轴不垂直时，设直线MN：y=kx+b,直线MN与与圆0：x2+/=的交点M（x,y）NN,y2）,由直线MN与圆。相切，得25=公+1,联立?y+?,得（9+16&2）2+32+162-1=0,由此能证明NMoN=工为定值.9+16y=122111试题解析：（D由题意得2a=；,2b=；3234.9x2+16j2=1；=+丁得(9+16F)X?+32爪+16-i=o9x+16y=1,=(32to)2-4(9+16k2)(16m2-1)0,x+x2=32km=16tn1,25m2-k2-i八7=U9+16/八7129+16/1-9+16/;.OM.ON=x1x2+yiy2=(12)+

8、也，(玉+/)+机?.NMoN=-2综上，ZMON=H（定值）学科*网2【点评】本题考查椭圆方程的求法，角为定值的证明，线段的取值范围的求法等.解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用.例4.已知是圆：（1）.J=16上任意一点，点工的坐标为（I,0），直线洲分别与线段EP、Fp交于、V两点，且而,（诟标川丽7于H丽-月AI（1）求点V的轨迹c的方程；3（2）直线H+M与轨迹（?相交于48两点，设。为坐标原点，JKb=一;判断A/I08的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由.【答案】+-=1：3（定值）43【思路引导】化简向量关系式可得MW书=0,所以MN是线段鸟尸的垂直平分

9、线，所以IMK1=IMP转化为椭圆定义IMg|+|MzH4H=*求出椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系求出AB,再由点到直线的距离公式求三角形高，写出三角形面积化简即可证明为定值.试题解析：(D由诙=；(诟+荻)可知N是线段用尸的中点，将I版+居列=|而一月同两边平方可得，(w+p)2=(而一EA得：两.9=0,即两_1耳，所以MN是线段用尸的垂直平分线，所以MEI=阳刊，所以M周+1岬I=区P=4,.点M的轨迹是以耳玛为焦点的椭圆，目2=4,所以=2,=3,所求椭圆方程为：W+J=1.43+zi=(2)设Z(再,必)3(孙必)，由43得(3+4M)x+8/WAX+(4(-

10、3)=0,y=kx+m由A=(8疝1)2-16(3+4门(混3)0得加273+4巳且有8mk4(/-3)3(m2-4A:2)再+巧=一彳记再第EW且有必=3+相333(w2-4:2)34前,-3)因为cqa-%=得y=xx2，即一+4.夕-=一；-3+4Y化简得：2冽2-4M=3满足A0,=J(I+M)(再+x2)2-4甬.nJ2：*),点O到直线/的距离d=-r吗，所以s=0),直线/不过原点O且不平行于坐标轴，与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与/的斜率的乘积为定值；(2)若/过点延长线段。M与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时/的斜

11、率，若不能，说明理由.高考试题落实运算求解能力考查的方式：1 .考查思路引导运算条件：平行四边形的判定定理选择，为何不选有关平行与长度的定理来判定平行四边形，而要选择对角线相互平分来判定平行四边形，这种处理方式的优点在于弦中点的运算量更小（需要平时训练有这种认识）2 .考查遇隙碍而调整：若第1小问使用点差法，如何求中点坐标，需有目标思路引导及方程思想来指导,利用中点在直线上这个条件列出另一个方程.3 .考查确定运算程序：相交求P坐标，中点关系构建斜率方程这种程序；中点关系求P坐标，点P在椭圆上构建斜率方程这种程序如何选择？实际上运算难度大体相当.4 .考查据算理正确的变形与运算：无论选择何种运

12、算程序都具有过硬的运算技能，需要发现特殊代数结构的能力，在运算中要有求简的意识.运算求解过程中，大体会涉及到以下代数式运算与化简：（1）中点；（2）点尸坐标:M(XO,%)坐标：韦达定理：9x(kx+h)2=m22k(k-3)m3(2+9)*Or解斛率方/若二为=m2,特别是如何正确解出第2个方程;特别要注意到相约机2,r+9,9及公因式4代-3）2,然后约因式二十9才会得到二次方程：/8Z+9=04 .解法的几何变换化简析：设x,=3x,y,=y,则椭圆9x2+y2=a2变为圆：Xr2+yt2=w2,A(x,y,)A,y1,)iB(x2,y2)B,G2,y2,),心3=比泣,怎E=%二3=卢今同理可得：1W=；勺犷，在圆中易知心wSr=T,%一%2X1-X23x1-3x233则可得：砥8球。M=-9,在圆中易知OA,P,B,为菱形，且NAoP=O，则易得：_4y1-4+7,B-3，AA8-工Y/5 .问题一般化设直线/:y=H+z住即工0）与椭圆*+=1（60）相交于点A,B,且线段AB的中点为M,直线OM与椭圆交于点尸，若四边形。AP8为平行四边形，则参数4。,加满足4机2=/+。2%2,+J-0易知中点M（XOyo）满足,。十，一Uarh=%=5+加akm。=b2+a2k2/2/km2b%、b2m=h2+a2k2b2+a2k2j