专题3.8 欲证直线过定点结合特征方程验(原卷版).docx
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1、专题8欲证直线过定点,结合特征方程验【题型综述】直线过定点的解题策略一般有以下几种:(D如果题设条件没有给出这个定点,那么,我们可以这样思考:由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立,那么我们根据特殊情况先找到这个定点,再证明这个点与变量无关.(2)直接推理、计算,找出参数之间的关系,并在计算过程中消去部分参数,将直线方程化为点斜式方程,从而得到定点.(3)若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程,观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征,即可找出直线所过顶点坐标,并带入直线方程进行检脸.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点,设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运
2、算.【典例指引】物线及=2y的焦点尸是C的一个顶点.(I)求椭圆C的方程;(II)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线/与C交与不同的两点4,B,线段AB的中点为。,直线OO与过P且垂直于X轴的直线交于点M.(i)求证:点M在定直线上;(ii)直线/与y轴交于点G,记APFG的面积为S,/的,面积为S2,求B1的最大值及取得最大32值时点P的坐标.【解析】类型四抛物线中直线过定点问题例4.【2013年高考理科陕西卷】已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.(I)求动圆圆心的轨迹C的方程;(II)已知点B(-1,O),设不垂直于X轴的直线/与轨迹C交于不同的两点
3、RQ,若X轴是NP8。的角平分线,证明直线1过定点.【解析】【扩展链接】2.已知A3为过抛物线y2=2px(p0)的焦点厂的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),贝!A8=+/+P.223 .已知AB为过椭圆=+27=1(。方0)的焦点/?的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则ahIABI=2-eIx1+x21.4 .已知直线y-y0=女(了一小),当k变动时,直线恒过定点(%,%).【新题展示】【思路引导】(1)对于+也y-2=0,当=0时,y2,即b=也,当y=O,%=2,即=2,再写出椭圆的方程;(2)设直线AB:y=kx+2,(fc0),设4B两点的坐标分别为(乙,%),(%2
4、,、2),则夕(一,力),代入椭圆方程,即根据韦达定理,直线方程,求出直线4过定点Q(0,1),24. 2019福建漳州下学期第二次质量监测】设O为坐标原点,动点M在椭圆C:-+y2=1(1=2,证明:过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F.【思路引导】(1)根据点到直线的距离公式即可求出a的值,可得椭圆方程,(2)由题意M(m,n)N(m,Xi),P(23,t),根据(ON-2。M)*MN=,可得y=2n,由0NNP=2,可得2Sm+2nt=6,再根据向量的运算可得小=0,即可证明.5. ,12019河北衡水十三中学质检】已知抛物线C:y2=2p(po),过其焦点F作斜率为1的直线交抛物
5、线C于A,B两点,且线段AB的中点的纵坐标为4.(1)求抛物线C的标准方程;(2)若不过原点O且斜率存在的直线I与抛物线C相交于D、E两点,且OD_1OE.求证:直线I过定点,并求出该定点的坐标.【思路引导】(1)根据线段AB的中点的纵坐标为4,直线AB的斜率为1,利用抛物线的方程,求解p=4,即可得到抛物线的方程;22)_8by1y2b(2)设宜线I:y=kx+b(bH0),联立方程组,利用根与系数的关系,求得丫m=t12=-*再由OD1OE64k得b=-8k,即可得到结论.22二XyJ26.12019黑龙江大庆二模】已知椭圆C:+1=1(abO)的离心率为1,短轴长为4.2.27ab/(1
6、)求椭圆C的方程;(2)过点N(0,2)作两条直线,分别交椭圆C于A,B两点(异于N),当直线NA,NB的斜率之和为4时,直线AB恒过定点,求出定点的坐标.【思路引导】(1)首先根据题中所给的条件,得到a,b,C所满足的等量关系式,求解即可;(2)分直线AB的斜率存在与不存在两种情况进行讨论,写出直线的方程y=kx+m(k),将其与椭圆方程联立,根据题中的条件,求得m=k-2,从而求得直线所过的定点为(-1,-2),当直线AB斜率不存在时,验证也过该点,得证.7.12019福建漳州班第一次质检】已知动圆P过点FO,j)且与直线y=;相切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)若A,
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