专题3.6 定值计算并不难构建函数再消元（原卷版）.docx

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1、专题6定值计算并不难，构建函数再消元【题型综述】在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值.【典例指引】例1.已知圆0:d+y2=4与坐标轴交于4、4、B、B2(如图).(1)点。是圆。上除A、4外的任意点(如图I),AQ、与直线y+3=0交于不同的两点M,N

2、,求MN的最小值；(2)点P是圆。上除4、4、与、与外的任意点(如图2),直线与尸交X轴于点尸，直线4层交A2P于点E.设A2尸的斜率为k,E/的斜率为2,求证：2加-2为定值.(1)设出4Q,A。的直线方程，联立直线y+3=0,分别得出M,N的坐标，表示出MN=3Z+3-4,k求其最值即可；(2)分别.写出E,F的坐标，写出斜率加，即可证明2阳-2为定值.试题解析：(1)由题设可以得到直线A2Q的方程为y=Z(x-2),直线AQ的方程为y=-(x+2)MWok31y=k(x+2a,x=2-v=(x+2)j,x=3k-2),解得k：由k),解得C.y+3=0o,oy=-3Jy=-3y+3=0所

3、以，直线42。与直线y+3=0的交点“(2-3,-33直线A。与直线y+3=0的交点N(3k-2,-3),所以MN=3攵+4k当上0时，MN=3k+346-4=2,等号成立的条件是人=1.k3当女80)的离心率为乂一，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的ab3圆与直线2%一收+6=0相切.求椭圆C的标准方程；己知点A、B为动直线丁=女(1-2)(20)与椭圆C的两个交点，问：在X轴上是否存在定点E,使得EAEB为定值?若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由.【思路引导】以原点。为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x-J5y+6=0相切，求出a,b,由此能求出椭圆的方程.

4、,4-I(U)由62,得(1+3k2)X2-12k2x+12k2-6=0,由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已y=k(x-2)7知条件能求出在X轴上存在点E,使EAEB为定值，定点为(一,0).3试题解析：(I)由e=返，得=返，即C=返a,3a33以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2,此圆与直线2x-2y+6=0相切，/.a=5,代入得C二2,(4分)22.b2=a22=2,椭圆的方程为三一丁621任W1(II)h62-1得(1+3k2)X2-I2k2x+I2k2-6=O,(6分)y=k(x-2)191r19V2-A设A(x,y),B(x2,y2)，X1+X2=7，

5、12=y1+3k21+3k根据题意，假设X轴上存在定点E(m,0),使得证标为定值，则有血EB=(x-m,y)(x2-m,y2)=(x-m)(x2-m)+y1y2=(x1-n)(x2)+k2(x12)(x2-2)=(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x+x2)+(4k2+n2)=(k2+1)W-(2k2+m),(4k2+m2)1+3k21+3k2(3id，T2rHO)k2+(IrJ-6)3k2+1要使上式为定值,即与k无关,则应有3m212m+10=3(m2-6),即,此时氤-应=IDJf二一I为定值，定点为(1,O)22例3.已知椭圆。：*+/点评：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值

6、来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21=1(。80)上的点到两个焦点的距离之和为一，短轴长为一，直线/与椭圆32。交于M、N两点.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线/与圆0:/+y2=_1相切，探究NMoN是否为定值，如果是定值，请求出该定值；如果不25是定值，请说明理由.【答案】(1)9x2+16y2=1(2)ZMON=-2【思路引导】2 1(1)由已知得20=W,26=,由此能求出椭圆C的方程

7、.3 2(2)当直线MNIX轴时，ZMON=-.当直线MN与X轴不垂直时，设直线MN：y=kx+b,直2线MN与与圆0：x2+/=的交点M(x,yjNT,yz),由直线MN与圆。相切，得25=公+1,联立?ykx+.，得（9+16/）2+32+16Z22-1=0,由此能证明NMoN=工为定值.9x2+6y2=221I1试题解析：（1）由题意得2a=-i2b=-a=-1b=-3234.9x216/=1(2)当直线/_1x轴时，因为直线与圆相切，所以直线/方程为x=J5当时，得M、N两点坐标分别为化口化5(55八55).OMoN=O,.ZMON=-2当/:R=一!时，同理NMoN=工；52当/与X

8、轴不垂直时，设/:y=Ax+九M（XN（%，必），由=/同,=，1A:25.25m2=1+2,联立，得（9+1622）Y+32加优+16疗-I=O9x216/=11）=（32to）2-4（9+1642）（16帆2-1）0,x1+x,=32km_16m_1,I八71-9+16/,-9+16F.OM0N=x,x2+y1y2=（1+A2）xix2+hn（xi+x2）+aw2=-=O.ZMON=-2综上，ZMON=-（定值）2【点.评】本题考查椭圆方程的求法，角为定值的证明，线段的取值范围的求法等.解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用.例4.已知户是圆：（K+1）.J=16上任意一点，点人的

9、坐标为（1.0），直线所分别与线段入I交于M、，V两点，且而,（而+而）,|所方+不同词肝I（1）求点V的轨迹。的方程；3（2）直线/.=h+与轨迹C相交于48两点，设O为坐标原点，JKb=:,判断&4O8的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由.22【答案】（1）+=1；（2）3（定值）43【思路引导】（1）化简向量关系式可得MWKP=O,所以MN是线段KP的垂直平分线，所以IMKI=IMP|，转化为椭圆定义Mg+IMzH片P=4,求出椭圆方濯；（2）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系求出AB,再由点到直线的距离公式求三角形高，写出三角形面积化简即可证明为定值.试题解析：由MN

10、=；(ME+MP)可知N是线段鸟尸的中点，将INM+旦尸卜加一鸟P1两边平方可得，(NM+F2P=(NM-EP得：NMW=D,即NMJ,鸟P,所以MN是线段EP的垂直平分线，所以IM周二IMP所以+1MKHKH=4,点M的轨迹是以6,乙为焦点的椭圆，ft2=4,所以a=2,=3,所求椭圆方程为：+-=1.4 322_+2_=(2)设4(石,乂)3亿，丁2)，由43得(3+4%2)x+8,成+(40-3)=O,y=kx+m由二(即成一16(3+4/)(?2-3)()得病0,=(1+2)(x1+x2)-4x1x2=点O到直线/的距离d=-1,所以S=1X1AB1Xd=1XJ型=百(定值)ViTF2

11、112丫3+4公【扩展链接】2015全国新课标II理20题深度分析已知椭圆U9+y2=加2(团0),直线/不过原点O且不平行于坐标轴，/与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与/的斜率的乘积为定值；(2)若/过点延长线段。M与C交于点P,四边形04P8能否为平行四边形？若能，求此时/的斜率，若不能，说明理由.(2-3)3(w2-4Z:2)24(1+F)3+4/“一百Ff=E1且有.二高考试题落实运算求解能力考查的方式：1 .考查分析运算条件：平行四边形的判定定理选.择，为何不选有关平行与长度的定理来判定平行四边形，而要选择对角线相互平分来判定平行四边形，这种处理方

12、式的优点在于弦中点的运算量更小(需要平时训练有这种认识)2 .考查遇障碍而调整：若第1小问使用点差法，如何求中点坐标，需有目标分析及方程思想来指导，利用中点在直线上这个条件列出另一个方程.3 .考查确定运算程序：相交求尸坐标，中点关系构建斜率方程这种程序；中点关系求尸坐标，点尸在椭圆上构建斜率方程这种程序如何选择？实际上运算难度大体相当.考查据算理正确的变形与运算：无论选择何种运算程序都具有过硬的运算技能，需要发现特殊代数结构的能力，在运算中要有求简的意识.运算求解过程中，大体会涉及到以下代数式运算与化简：(1)中点9x2+y2=m9x+ky=092平+6(3丁=加2,特别是如何正确解出第2个方程;特别要注意到相约加2,%2+9,3伙+9)1+9_9及公因式4(Z-3)2,然后约因式%?+9才会得到二次方程：k2-Sk+9=04 .解法的几何变换化简析：设f=3x,y=y,则椭圆92+y2=m2变为圆：xt2+y,2=w2,A(x1,y1)A,(x1yi(x2,y2)1(x2,y2,),原.二包，原“二4近n5 .问题一般化22设直线1y=h+m（k即WO）与椭圆+W=1（。匕0）相交于点A5,且线段AB的中点为M,直线OM与椭圆交于点尸，若四边形OAPB为平行四边形，则参数.）,2,加满足4/i=/+/,易知中点M（XoyO）满足,旦+纽=0/b2=%=k+ma2hn%0=