专题3.5 参数范围与最值不等建解不宜迟（原卷版）.docx

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1、专题5参数范围与最值，不等建解不宜迟【题型综述】参数范围与最值问题解题策略一般有以下几种：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质构造含参数的不等式,通过解不等式解出参数的范围和最值.(2)代数法：在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.学科网参数的范围问题，是解析几何.中的一类常见问题

2、，解决这类问题的关键是构造含参数的不等式，通过解不等式求出参数的范围，韦达定理、曲线与方程的关系等在构造不等式中起着重要作用.【典例指引】类型一参数范围问题例1【2016高考江苏卷】(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系冗。y中，已知以何为圆心的圆M:f+/一一1+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与X轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程：(2)设平行于OA的直线/与圆M相交于氏C两点，且8。=OA,求直线/的方程；(3)设点7,0)满足：存在圆M上的两点P和。,使得7+TP=42,求实数，的取值范围。(ff18)类型二方程中参数范围问题例2.12016高

3、考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系XOy中，已知直线/:x-y-2=0,抛物线C:y?=2X（P0）（1）若直线/过抛物.线C的焦点，求抛物线。的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线1对称的相异两点尸和Q.求证：线段PQ的中点坐标为（2-p,-p）.；求的取值范围.【解析】类型三斜率范围问题例3【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设椭圆+上=1（3）的右焦点为尸，右顶点为a311rXp4,已知一+一=一竺，其中。为原点，e为椭圆的离心率.OFIQA1FA（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线/与椭圆交于点3（B不在X轴上），垂直于I的直线与/交于点M,与y轴交于点

4、H,若BF上HF,且NMQ4NMAO,求直线的/斜率的取值范围.【解析】类型四离心率的范围问题2例4.12016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆+V=（aD.a（I）求直线产奴+1被椭圆截得的线段长（用。、Z表示）；（II）若任意以点4（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值【扩展链接】1 .若椭圆方程为E+=1(力)，半焦距为C，焦点K(-c,O),玛(c,0),设ab过G的直线/的倾斜角为a,交椭圆于A、B两点，则有：a=，忸耳|=-；IABI=222a-ccosaa+ccosaa-ccosa若椭圆方程为，g=1(bO),半焦距为c-,焦点E(-c,0),

5、6(c,),设2 过鸟的直线/的倾斜角为0,交椭圆于A、B两点，则有：3 .过椭圆1+方=13。0)左焦点的焦点弦为AB测AB2a+叫+x2)；过右焦点的弦A5=2-+x2).4 .抛物线y2=2p(p0)与直线y=+o相交于A(%)以七)且该直线与y轴交于点(7(06)，则有11I+=一yy2y34.设AB为过抛物线y?=24”(夕0)焦点的弦，A(xi9yi).B(x2ty2),直线AB的倾斜角为。，则口=。川=-优(2) .AF=x1-=E,忸F1=X-K=E1 112I-CoSe11221+cos+.：1（bO）的左右焦点，点P（2,3）为其上一点,a2b2PF1-+PF2=8.（1）

6、求椭圆C的标准方程；（2）若直线Ay=h-4交椭圆C于4、B两点，且原点。在以线段AB为直径的圆的外部，试求A的取值范围.【思路引导】（1）由椭圆的定义及点在椭圆上，代入椭圆方程可求得a、b,进而得椭圆的标准方程。（2）设出A、B的坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出R4C0,代入得到关于k的不等式，解不等式即可得k的取值范围。X2y22.12019江苏南通基地学3月联考】如图，在平面直角坐标系0y中，己知椭圆C：方+=1（，0）的a2b2离心率为亭，且左焦点F1到左准线的距离为4.5（1）求椭圆C的方程;(2)若与原点距离为1的直线11：、=k+血与椭圆。相交于人，B两点，直线1

7、2与11平行，且与椭圆C相切于点M(O,M位于直线H的两侧).记AMAB,()AB的面积分别为SI,S2,若1=芯2,求实数2的取值范围.【思路引导】S1(1)根据椭圆的几何性质得到,b,c关系，求解得到标准方程；(2)设Gy=kx+凡根据2=不可知，S2m-n.n,a=WT又0与原点距离为1即Im1=/必+1,可把;I化简为：卜一蓝，根据与椭圆相切，联立可得2=5必+4,由此代入化简可得下的范围，再进一步求解出义的范围.X2V23.12019湖北恩施2月质检】在直角坐标系Xoy中，椭圆。的方程为方+J=I(OO),左右焦点分别a2b2为尸2,R为短轴的一个端点，且ARF1尸2的面积为小.设过

8、原点的直线，与椭圆C交于4B两点，P为椭圆C3上异于的一点，且直线P4PB的斜率都存在，kPAkPB=-.(1)求。力的值；(2)设Q为椭圆。上位于工釉上方的一点，且QF11%轴，M、N为曲线C上不同于Q的两点，且MQQ=乙NQF设直线MN与y轴交于点。(0,d),求d的取值范围.【思路引导】(1)设点A(x,yi)、P(X2,y2),则B(-x,-y),将点A、P的坐标代入椭圆C的方程，得出两个等b23式，将两等式相减，结合直线PA、PB的斜率之积，得出T7,再利用ARFF2的面积为近，得出bc=5,(T4联立两个方程，可求出a、b的值；(2)设直线QM的斜率为匕结合已知条件得出直线QN的斜

9、率为-k,将直线QM的方程与椭圆方程联立，求出点M的横坐标，利用*代替k得出点N的横坐标，然后利用斜率公式得出直线MN的斜率为-；，于是得出直线MN的方程为y=-；x+d,将直线MN的方程与椭圆C的方程联立，由A0并结合点Q在直线MN的上方可得出d的取值范围.22TXy14.12019江苏扬州一模】在平面直角坐标系Xoy中，椭圆M：+=1(ab0)的离心率为-，左、右顶点2.2Oabz分别为A、B,线段AB的长为4.点P在椭圆M上且位于第一象限，过点A,B分别作IIJPA,21PB,直线52交于点C(I)若点C的横坐标为i,求点P的坐标；(2)直线与椭圆M的另一交点为Q,且Ah=入A,求人的取

10、值范围.【思路引导】(1)先求出椭圆的方程，设直线AP的方程为y=k(x+2).分别表示出直线AC与BC的方程，联立方程组，求出点11 y=-+2)C的坐标，利用点C的横坐标为-1,求出k=上进而可求出点P的坐标；(2)联立22消去y，整理得2 Xy+=1438k2-6+2_6k2-8c+24k2+37(3k+4)x+16+16-12k=0求得XQ=二一由AC=入ACb可得入=-=1+一；一,结3k2+4Xq+26k2-812k2+9+23k2+4合0kbO)的离心率是1,过点P(0,1)做斜率为k的直线12.20ab$椭圆E与直线I交于A,B两点，当直线唾直于y轴时IAB1=33.(I)求椭

11、圆E的方程；(II)当k变化时，在X轴上是否存在点M(m,0),使得AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由.【思路引导】J5-)4-,+=1/3J3(I)由椭圆的离心率为1得到b2=2,于是椭圆方程为f4).有根据题意得到椭圆过点-二1，将39a-a212/9坐标代入方程后求得a?=9,进而可得椭圆的方程.(H)假设存在点M(m,O),使得AMB是以AB为底的等腰三角形，则点M为线段AB的垂直平分线与X轴的交点.由题意得设出直线AB的方程，借助二次方程的知识求得线段AB的中点C的坐标，进而得到线段AB的垂直平分线的方程，在求出点M的坐标后根据基本不等式可求出m

12、的取值范围.22CXy.36.12019辽宁沈阳一模】椭圆C:+1=1(abO)的左、右焦点分别为F2,离心率为上，过焦点F2且a2b22垂直于X轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(I)求椭圆C的方程；()点P(Xo,yMyo0)为椭圆C上一动点,连接PF1,PF2,设a/F2的角平分线PM交椭圆C的长轴于点M(m,0),求实数m的取值范围.不JOMFjX【思路引导】(1)由题意分别确定,b的值求解椭圆方程即可；(2)利用角平分线到两边的距离相等，结合椭圆方程分类讨论求解实数m的取值范围即可.2237.12019广东惠州三调】已知椭圆+=：1(abO)过点P卜，-J,且左焦点与抛物线y?=_4

13、x的焦点重合。(I)求椭圆的标准方程;（2）若直线=1+1（1（。0）与椭圆交于不同的两点1/1、N,线段MN的中点记为A,且线段MN的垂直平分线过定点G（j,01求k的取值范围。【思路引导】（1）由左焦点与抛物线的焦点重合，可以求得c,再利用椭圆过点Pp,3求得a、b,从而求出椭圆方程。（2）由直线与椭圆交于不同的两点，可以由A0得到k与m的不等关系，再由AG直线与直线垂直，斜率乘积为得到k与m的等量关系，将等量关系代入不等关系来限定k的取值范围。22后8.12019陕西彬州一模】己知椭圆（：:一+-=1（2130）经过点（也骂，离心率为-.a2b222（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆

14、C的右焦点为F,右顶点为A,经过点F的动直线I与椭圆C交于BQ两点，记AOB和AOD的面积分别为S和S2,求S-S2的最大值.【思路引导】（1）由题意，列出方程组，求的a2=4,b2=3,即可得到椭圆的标准方程；6m（2）由（1）,设直线I的方程为X=my+1,联立方程组，利用根和系数的关系，得到S-S2=一，利3m+4用基本不等式，即可求解。【同步训练】X2V2离心率为e.1.已知椭圆方+-=Kab0）的右焦点为尸2（3,0）,q2b2（1）若e=g,求椭圆的方程;（2）设直线y=H与椭圆相交于43两点，M,N分别为线段小尸2,8/2的中点，若坐标原点。在以MN为直径的圆上，且乎e,求k的取值范围.【思路点拨】（1）结合所给的数据计算可得Q=2,M=3,所以椭圆的方程为+Y=联立直线与椭圆的方程，集合韦达定理和平面向量数量积的坐标运