专题3.13 探究代数表达式函数方程来发力（原卷版）.docx

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1、专题13探究代数表达式，函数方程来发力【题型综述】探究代数表达式包括以下若干.类型：(i)参数值的探索，根据题中的条件将参数转化为关于直线与圆锥曲线的交点的坐标的方程或函数问题，若利用设而不求思想与韦达定理即可求出参数的值即存在，否则不存在(2)等式恒成立问题，根据题中条件和有关向量、距离公式、平面几何知识等方法，转化为关于直线与圆锥曲线的交点的坐标的方程或函数问题，若利用设而不求思想与韦达定理即可求出参数的值即存在。【典例指引】类型一参数值的探究例1【2016年高考四川理数】(本小题满分13分)己知椭圆E：+4=1(。0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线Crb1y=-x

2、+3与椭圆E有且只有一个公共点T.(I)求椭圆E的方程及点T的坐标；(II)设。是坐标原点，直线/平行于07；与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线1交于点P.证明：存在常数Q使得IPTf=刃尸4卜归8|,并求义的值.【解析】类型二恒等式成立探究2/T例2.12015高考四川，理20如图，椭圆E：与=1(80)的离心率是、一，过点P(0,1)的a1Zr2动直线/与椭圆相交于A,B两点，当直线/平行与X轴时，直线/被椭圆E截得的线段长为2、/5.(1)求椭圆E的方程；QApA(2)在平面直角坐标系Xoy中，是否存在与点P不同的定点Q,使得匕=恒成立？若存在，求一出QBPB点Q的坐标；若不存在，请

3、说明理由.【解析】类型三面积最小值存在性-例3【2015高考湖北，文22】一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕。转动,长杆MN通过N处较链与ON连接，MN上的栓子。可沿滑槽AB滑动，且ON=ON=1,MN=3.当栓子。在滑槽AB内作往复运动时，带到N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C以O为原点，AB所在的直线为X轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(I)求椭圆。的方程；(II)设动直线/与两定直线4:x-2y=0和4:x+2y=0分别交于P,。两点.若直线/总与椭圆。有且只有一个公共点，试探究：AOPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.【解

4、析】类型四面积关系探究例4.(2011湖南理21)如图7,椭圆G:*+乐=1(。b)的离心率为坐M轴被曲线C2：=一截得的线段长等于G的长半轴长.(1)求。1,。2的方程；(II)设G与y轴的交点为M,过坐标原点。的直线/与C2相交于点A&直线MAMB分别与G相交于点D,E.(i)求证:MoJq17(ii)记AMAB,AMOE的面积分别为SPS,.问:是否存在直线/,使得=U?请说明理由.S232【扩展链接】【思路引导】VX（1）可设椭圆C的方程为彳+w=1（bO）,由题意可得C=2,由椭圆的定义计算可得内进而得到儿arb1即可得到所求椭圆方程；（2）设直线AE：y=c（x-）+,代入椭圆方程

5、，运用韦达定理可得E的坐标，由题意可将攵换为一亿可得尸的坐标，由直线的斜率公式计算可得直线印的斜率，设出直线/的方程，联立椭圆方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0,可得直线/的斜率，进而得到所求斜率之和.X2V22.12019河南新乡二模】设椭圆7+-=1（bO）的右顶点为4上顶点为丛已知椭圆的焦距为24，ab2直线AB的斜率为一（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线2:y=匕（AVO）与椭圆交。于M,N两点，且点M在第二象限.，与AB延长线交于点P,若ABNP的面积是ABMN面积的3倍，求A的值.【思路引导】（1）利用椭圆的焦距和48的斜率列方程组，解方程组求得。力的值，由此求得椭圆标准

6、方程.（2）设出M,P两点的坐标，利用SBNP的面积是ABMN面积的3倍”得到PN=3MN,转化为向量PN=3Mn,并用坐标表示出来，求得M,P两点横坐标的关系式.联立直线48的方程和直线2的方程，求得P点的横坐标；联立椭圆的方程和直线珀勺方程，求得M点的横坐标，根据上述求得的M,P两点横坐标的关系式列方程，解方程求得A的可能取值，验证M点横坐标为负数后得到k的值.3.【2019陕西汉中3月联考】顺次连接椭圆C：,+-=I（Qb0）的四个顶点恰好构成了一个边长为5ar且面积为2也的菱形.（1）求椭圆C的方程；（2）A,B是椭圆C上的两个不同点，若直线。4OB的斜率之积为一;（0为坐标原点），线

7、段04上有一点M满足二不=1连接并延长交椭圆C于点N,求的值OA3BN【思路引导】（1）由菱形的面积公式可得2必=2业，由勾股定理可得+护=3,解方程即可得到所求椭圆方程；（2）设A(x,y),B(X2,y2),1-7i=,N(X3,y3),由向量的坐标表示和点满足椭圆方程，结合直线的斜率公IBN1式，化简变形，即可得到所求值.V24.12019东北三省三校一模】已知椭圆C1：+y2=的左、右两个顶点分别为4B,点P为椭圆C1上异于4J的一个动点，设直线P4PB的斜率分别为与加2,若动点Q与4口的连线斜率分别为与，储，且卜344=就#2(20),记动点Q的轨迹为曲线(1)当a=4时，求曲线。2

8、的方程；(2)已知点M(1,直线4M与BM分别与曲线。2交于瓦F两点，设A4M”的面积为ABME的面积为S2,S1若A1,3,求不的取值范围.S2【思路引导】。22(1)由题意设Pao，先)Q2),设Q(%,y)2),再表示出途&和得出+=1(x2).然4后求得结果.(2)由题求出直线4M的方程为：x=6y-2,直线BM的方程为：x=-2y+2,然后分别与曲线。2联立，求S19+1得点E、F的纵坐标，然后再代入面积公式表示出不=丁丁再利用函数的单调性求得范围.5.12019安徽江南十校3月检测】已知抛物线E的准线方程为y=-；.(1)求抛物线E的标准方程；(2)过点Q(0,-2)作斜率为蜀的直

9、线交抛物线E于48两点，点P(0,1),连接4P,BP与抛物线E分别交于C,O两点，直线Co的斜率记为与，问：是否存在实数1使得/+入&=0成立，若存在，求出实数入的值；若不存在，请说明理由.【思路引导】(1)根据标准方程与准线的关系，可直接求得；(2)假设存在，通过假设4SG。四点坐标，可以表示出如和与，然后利用韦达定理求解出人22C6.2019安徽六校联考】已知椭圆C：-+-=1(ab0)的左、右焦点分别为F/2,离心率为上，直线I：y=2xa2b2242与椭圆交于M,N,四边形MF1NF2的面积为(I)求C的方程；(H)作与I平行的直线与椭圆交于A,B两点，且线段AB的中点为P,若PF/

10、F2的斜率分别为勺a，求勺+k2的取值范围.【思路引导】(1)运用椭圆的离心率公式和四边形的面积求法，以及椭圆中a,b,c的关系，列出对应的方程组，即可求得结果；(2)设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，利用判别式大于零，得出范围，利用韦达定理以及中点坐标公。28Y0Yo2x0Y08m2=式，得到kjk2=+=：81(m0),根据m的范围求得结果.o+1o-1xn2-181-16m21m7.12019安徽黄山一模】已知，点M(1,m)抛物线y2=2p(p0)上，且M到抛物线焦点的距离为2.直线I与抛物线交于A,B两点，且线段AB的中点为P(3,2).(I)求直线I的方程.(H)点Q是直线y=x

11、上的动点，求dC的最小值.【思路引导】(I)由点M到抛物线焦点的距离等于到准线的距离，得到1+上=2,可以求出p,即可得到抛物线的方程，然2后利用点差法，根据直线I与抛物线交于AB两点，且线段AB的中点为P(3,2),可以求出斜率，从而得到直线方程；(II)A,B都在直线I上，设A(Xp(I-1加&2-1)，设Q(m,m),可以表示出QA6b,然后将直线与抛物线联立，可以得到关于X的一元二次方程，结合QAC的表达式，可以求出最小值。228.12019湖南株洲统一检测(一)】已知F,F2分别为椭圆u+*=1(abO)的左、右焦点，点P(1ycj)在a2b2椭圆上，且PF?。涮,APFJ2的周长为

12、6.(I)求椭，圆的标准方程；()过点T(0,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,设O为坐标原点，是否存在常数人，使得OB+入TB=-7恒成立？请说明理由.【思路引导】(I)由三角形周长可得PFj+PF2=4,求出a,再根据b2=a22即可写出椭圆标准方程()假设存在常数人满足条件，分两类讨论(1)当过点T的直线AB的斜率不存在时，写出A,B坐标，代入OAOB+TATB=-7可得入=2(2)当过点T的直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1,设A(Xi，yJ,B(ry2),联立方程组,利用根与系数的关系代入oOB+ataTB=2+ViY2+12+(y1-i)(y2-训中化简即可求出入

13、=2.【同步训练】221 .已知A为椭圆ar+J=1(abO)上的一个动点，弦AB,Ae分别过左右焦点B，F2,且当线段AF12k2ab的中点在y轴上时，CosZFiAF2=I.3(1)求该椭圆的离心率；(2)设AF；二1F1B,AF；二试判断+2是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请,说明理由.【思路点拨】(1)当线段AB的中点在y轴上时，AC垂直于X轴，AAFFz为直角三角形.运用余弦函数的定义可得IAR1=3AF1,易知AF2=i,再由椭圆的定义，结合离心率公式即可得到所求值；a(2)由(1)得椭圆方程为2+2y2=2b2,焦点坐标为B(-b,0),F2(b,0),(1)当AB,AC的斜率都存在时，设A(xo,yo),B(x,y),C(x2,Q求得直线AC的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由向量共线定理，可得+2为定值6；若AC_1x轴，若AB_1X轴，计算即可得到所求定值.【详细解析】222 .(2017邯郸二模)已知Fi(-c,0)、F2(c、0)分别是椭圆G：+-=1(0bab0)的离心率为9,直线y=被椭圆C截得的线a2b22段长为创5r(1)求椭圆C的方程；(2)过原点的直线与椭圆C交于两点(A,B不是椭圆C的顶点)，点D在椭圆C上，且AD_1AB,直线BD与X轴、y轴分别交于M,N两点.设直线BD,AM斜率分别为