专题3.8 欲证直线过定点结合特征方程验（解析版）.docx

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1、专题8欲证直线过定点，结合特征方程验【题型综述】直线过定点的解题策略一般有以下几种：(1)如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关.(2)直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点.(3)若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检脸.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化

2、运笄.【典例指引】类型一椭圆中直线过未知顶点问题例1【2017课标1,理20已知椭圆C：:+=1(ah0)f四点P1(1,1),P2(0,1),P3(-1,Y3),a2h22Pa(1,储中始有三点在椭圆C上.2(1)求C的方程；(2)设直线/不经过P2点且与C相交于4,8两点.若直线PM与直线上8的斜率的和为-1,证明：/过定点.【解析】(D由于月，与两点关于y轴对称，故由题设知C经过g,N两点.又由1+g+耳知，C不经过点P，所以点上在C上.crIrar4b上二1S1ttff&,解得131*=1174bz故C的方程为1+V=14(2)谩直线PIA与直线PiB的斜率分别为h,h,如果/与X轴垂

3、直,设八户“由题设知20,且f0设工(X1,yi),B(X2,J2),则X1M=一；呼;,Xm=%三14/C*+14C*1而用+总K二二1一七二1%X：Ax1+m-1Ax2m-1%X2_2x1x2+(m-1)(X)W由题设匕+k2-1,故(21)XX:(ZM-I)(x1x2)0Rn八？1、4洲：一4.1、-8AtmgP(27+1)-r-+(w-1)-i-=042+14*1解得4=一写.2当且仅当洲一1时，A0,欲使/：J=一当1+刑，即y+1=-号i(x-2),所以/过定点(2,-1)类型二椭圆中直线过已知定点问题2例2.12017课标,理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1,过M作X

4、轴的垂线，垂足2为M点、P满足NP=C.NM。(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线X=-3上，且OPPQ=1,证明：过点尸且垂直于OQ的直线/过。的左焦点几【解析】设出点P的坐标，利用NP=近NM得到点P与点,M坐标之间的关系即可求得轨迹方程为/+/=2。学科&网(2)利用方.丽=1可得坐标关系-3m-+m-M=1,结合(1)中的结论整理可得而赤=0,即OQPF,据此即可得出题中的结论。试题解析：设尸(XJDM(不,),设“(卬)，标=(x-fj),而=(Oj0)。由诉=亚而得%=XtyQ=gy因为A,(j,%)在C上，所以+r=1o因此点P的轨迹方程为x2+j2=2o(2)由题意知尸(

5、TO)。设Q(-3j),尸(见),则OQ=(3),尸产二(一1一机,一)，。尸产=3+3阳一m,OP=(m,n),PQ=(-3-m-n)。由。PPQ=1得一37根2十一2=1,又由(1)知z+=2,故3+3加一S=O“学科&网所以OQ.PE=0,即00_1尸户。又过点尸存在唯一直线垂食广OQ,所以过点PI1垂RJoQ的直线/过C的左焦点几类型三点在定直线上问题例312016高考山东理数】平面直角坐标系戈Oy中，椭圆C三+=1(0b0)的离心率是等，抛物线E：f=2”的焦点尸是C的一个顶点.(I)求椭圆C的方程；(ID设尸是上的动点，且位于第一象限，E在点尸处的切线/与C交与不同的两点A,B,线

6、段AB的中点为O,直线0。与过P且垂直于X轴的直线交于点M.(i)求证：点M在定直线上；(ii)直线/与)，轴交于点G,记aPFG的面积为S,ZXPOM的面积为S2,求W1的最大值及取得最大值时点P的坐标.【解析】(I)由题意知如土=g,可得：a=2b.a2因为抛物线E的焦点为尸(Ot),所以所以椭圆C的方程为X2+4y2=1(II)(1)设P(w,gm0),由=2y可得y=x,所以直线/的斜率为洲，22因此直线，的方程为y-三-二w(x-w),即y=mx-三m2V=true设Aa,%),8。2，%)，0(/，孔)，联立方程J2X2+4y2=1得(4f2+I)X2-4n3x+m4-1=0.由(

7、)，得OcmYJ2+6且再+/=,Ij4/rr+1因此再=巧玉=:,学科&网24m2+1将其代入y=w彳得J0=-1in，22(4w+1)因为=一4一，所以直线。方程为N=-1Xxq4m4w联立方程k2x2-(8-2A)x+2=0.y=KXD(其中A=-32防+640)设产(再,烟+bQ(x2,kx2+b)若X轴是NPBQ的角平分线，则,_%+b也+6_(烟+b)(x2+1)+(Ax2+b)(再+1)_Axp+(k+b)(%+x2)+2bqbpbjq+1x2+1(+1)(x2+1)(+1)(x2+1)=/8与十=0,即k=T故直线1方程为产小-1),直线1过定点.(1,0).k(甬+1)(x2

8、+1)【扩展链接】1 .对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两条直线，若直线斜率之积为定值，两直线交圆锥曲线于4,8两点，则直线A3过定点.2 .已知AB为过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的弦，A(x1,j1),B(x2,y2)9贝!|431=+/+P.,V23 .已知AB为过椭圆二+4=1(a60)的焦点方的弦，A(x1,y1),y2),则aZrIAB=2a-ex-rx1,4 .已知直线y-%=&(X-X0),当A变动时，直线恒过定点(%,九).【新题展示】1.12019福建备考关键问题指导系列适应性练习】设O为坐标原点，动圆P过定点M(4,0),且被y轴截得的弦长是8.(I)求圆心P的轨迹

9、。的方程；(II)设是轨迹C上的动点，直线。4。B的倾斜角之和为7求证：直线4B过定点.4【思路引导】(I)设动圆圆心Pay),由题设条件，利用圆中的特殊三角形，推导出点P的轨迹方程；(H)设出直线AB的方程为=my+儿与y2=8%联立，消元得到y28my-8n=0,利用韦达定理，最后得到直线AB恒过定点(-8,8).【解析】(I)设P(x,y)动圆半径为r,则产=PA2=(x-4)2(y-O)2,由动圆被y轴截得的弦长是8得/=/+42,消去7*得y2=8%,故圆心P的轨迹C的方程y2=Qx(H)设直线力口方程为：=my+九，A(x1,y1)s/必)，联立方程得7ft，消去%得，丁-8my-

10、8=0.则为+V2=8m,y1y2=-8n.设直线040B的倾斜角分别是。,夕tana+tan,a+=,tn(+5)=1,-=1,41-tanatany188*.*kAo=tana,同理=tan,yi丫288+Xiy285+y2)=1,*=1,1,8_8%及-64Xi为.8(y1+y2)=y1y2-64,：.SxSm=-Sn-64,:n=-88m.AB方程为：%=m(y-8)-8,故直线48过定点(-8,8).2.12019河南郑州1月质量预测】设M点为圆c+y2=4上的动点，点M在X轴上的投影为N,动点P满足2PN=a3MN,动点P的轨迹为E.(I)求E的方程；(II)设E的左顶点为D,若直

11、线1:y=kx+m与曲线E交于两点A,B(A,B不是左右顶点)，且满足DA+DB=DA-DB,求证：直线I恒过定点，并求出该定点的坐标.【思路引导】(I)设尸(-y),M(xo,)，由已知条件建立二者之间的关系，利用坐标转移法可得轨迹方程；(2)由向量条件结合矩形对角线相等可得QA,垂直，斜率之积为-1,再联立直线与椭圆方程，得根与系数关系，逐步求解得证.【解析】(I)设点M(Xo,yj,P(,y),由题意可知N(XOQ)V2PN=椀n,.*.2(x0-x-y)=3(0,-y0),2即0=,y0=-y又点M在圆C：X?+y2=4上：,+Yq=422代入得上+上=143即轨迹E的方程为1+1=I

12、43(H)由(【)可知D(-2,0),设A(X,yJ,B(x2,y2),y=k+m联立/y2得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0一+=143=(8mk)2-4(3+4k2)(4m2-12)=16(12k2-3m2+9)O-8mki6(12k2-3m2+9)3+4kz-m2012=2(3+4k2)-8mk4(m2-3),5、223m-12k*y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k12+mk(x1+2)+m=-3+4k2VDA+DB=DA-DBDA1DB即DADB=O即(x1+2,y1)(x2+2,y2)=12+2(x1+2)+4+y1y2=O4m2-12-8mk3m2-12k2

13、+2+4+O3+4k23+4k23+4k2*7m2-16mk+4k2=O解得m=2k,m?=,且均满足即3+4k2-r0当m=2k时，I的方程为y=kx+2k=k(x+2),直线恒过(2,0),与已知矛盾;2,222当m,=-k,I的方程为丫=1(+-1(=1(仅+-)，直线怛过(-,0)27777所以，直线I过定点，定点坐标为(,0).73.12019新疆乌鲁木齐一模】椭圆C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过。的长轴，短轴端点的一条直线方程是+也y-2=o.(1)求椭圆C的方程；(2)过点P(0,2)作直线交椭圆C于4B两点，若点B关于轴的对称点为4,证明直线48,过定点.【思路引导】(1)对于+5y-2=0,当=0时，y=y2f即b=也，当y=0,x=2,即=2,再写出椭圆的方程;(2)设直线4B:y=kx+2,(fc0),设4B两点的坐标分别为(勺,%)，(%2)2)，则夕(